2025年九年級中考數(shù)學復習專題：二次函數(shù)綜合之角度問題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考二次函數(shù)綜合題之角度問題一、解答題1．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，點在拋物線上，點P是拋物線上一動點．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，若上方拋物線上有一點P，且P到直線的距離為，求點P的坐標；(3)如下圖，連接，拋物線上是否存在點P，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，拋物線交x軸于、兩點，交軸于點．

(1)求出拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖，將拋物線的圖像先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，在平移后的拋物線上有一點，連接，射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點，若時，請寫出所有符合條件的點的橫坐標，并寫出其中一個值的求解過程．3．已知拋物線(a，b為常數(shù)，經(jīng)過兩點，與y軸交于點C，其頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)求四邊形的面積；(3)若P是直線上方該拋物線上一點，且，求點P的坐標．4．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，連接．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，直線：經(jīng)過點A，點為直線上的一個動點，且位于軸的上方，點為拋物線上的一個動點，當軸時，作，交拋物線于點（點在點的右側(cè)），以，為鄰邊構(gòu)造矩形，求該矩形周長的最小值；（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點為，在（2）的條件下，當矩形的周長取最小值時，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．5．已知拋物線y=的圖像與軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點為B，與軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．（1）求二次函數(shù)的解析式和點D的坐標；（2）若點M是拋物線在軸下方圖像上的一動點，過點M作MN∥軸交線段BC于點N，當MN取最大值時，點M的坐標；（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點D落在x軸上，原拋物線上一點P平移后的對應(yīng)點為Q，如果∠OQP=∠OPQ，試求點Q的坐標．6．已知拋物線與軸交于點．(1)求拋物線的解析式（結(jié)果化成一般形式）及頂點坐標；(2)設(shè)拋物線與軸的正半軸的交點為點①若點是拋物線上一點，它的橫坐標是5，在拋物線的對稱軸上有一點，使最小，請求出此時點的坐標．②點為軸上一動點，點在拋物線上．點滿足，．求點的坐標．7．如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是直線上方拋物線上的動點，過點P作軸交直線于點E，作軸交直線于點F，求E，F(xiàn)兩點間距離的最大值；(3)如圖2，連接，在拋物線上求出點Q，使．8．已知拋物線經(jīng)過點，點，與x軸交于另一點C，頂點為D，連接．（１）求該拋物線的解析式；（２）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設(shè)點P的橫坐標為t，①當點P在直線的下方運動時，求面積的最大值；②該拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請直接寫出點P的坐標若不存在，請說明理由．9．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD，OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標．（3）如圖2，點E的坐標為（0，），在拋物線上是否存在點P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，拋物線與x軸交于點A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，若點M為直線BC上方拋物線一動點（與點B、C不重合），作MN平行于y軸，交直線BC于點N，當線段MN的長最大時，請求出點M的坐標；(3)如圖2，若P為拋物線的頂點，動點Q在拋物線上，當時，請求出點Q的坐標．11．如圖，已知拋物線經(jīng)過A(，0)，B(，)兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接CD．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設(shè)點P的橫坐標為t．①當點P在直線BC的下方運動時，求的面積的最大值及點P的坐標；②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．(1)(2)(3)存在，點的坐標為或【分析】（1）代入和，直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點的坐標，得到的解析式，作交于點，軸交軸于點，交于點，通過證明是等腰直角三角形，得出，再設(shè)點P的坐標為，表示出的長度，解方程求出的值即可解答；（3）將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，可得，，則，進而得到的解析式，結(jié)合圖形和題意可知直線上存在符合題意的點，聯(lián)立拋物線和直線的解析式得到一個點的坐標；連接、，過點作交于點，通過證明得到，結(jié)合圖形和題意可知直線上也存在符合題意的點，再根據(jù)點在拋物線上可知點與點重合，得到另一個點的坐標，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：代入和，得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：令，則，，，，，又，，設(shè)直線的解析式為，代入和，得，解得：，直線的解析式為；作交于點，軸交軸于點，交于點，軸，軸，，，，，，是等腰直角三角形，，由題意得，，，設(shè)點P的坐標為，則點N的坐標為，，解得：，，點P的坐標為．（3）解：存在，理由如下：令，則，解得：，，，如圖，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，則，，，由（2）中的結(jié)論得，，，，直線上存在符合題意的點，設(shè)直線的解析式為，代入和得，，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，；如圖，連接、，過點作交于點，，，軸，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，又，，，，，直線上也存在符合題意的點，又點在拋物線上，點與點重合，即；綜上所述，點P的坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，學會利用數(shù)形結(jié)合思想和正確添加輔助線求解是解題的關(guān)鍵．2．(1)；(2)點的坐標為，的最大值為；(3)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求出直線的解析式為，過點作軸，交于點，得出，，進而設(shè)，則，求得的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最值，即可求出的最大值；（3）求出平移后的拋物線解析式為，畫圖象如下，過點作軸于，過點作軸于點，可證，得到，，分在第二象限和第一第二象限解答即可求解；本題考查了二次函數(shù)的幾何問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的平移，解直角三角形，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：、把代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：把代入得，，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，∴，∴直線的解析式為，、如圖所示，過點作軸，交于點，∴∵，∴∴，∴，∴，∴當取得最大值時，取得最大值，設(shè)，則∴∵，∴當時，取得最大值，此時點的坐標為，∴的最大值為；（3）解：∵，∴平移后的拋物線解析式為，畫圖象如下，過點作軸于，過點作軸于點，則，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，，設(shè)，當在第二象限時，點在第一象限，，，∴，把代入得，，整理得，，解得或（不合題意，舍去）；當點在第一象限時，點在第四象限，，，∴，把代入得，，整理得，，解得或（不合題意，舍去）；∴點的橫坐標為或．3．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）求出，根據(jù)即可求出答案；（3）設(shè)，求出由得到，則．得到．求出的解析式為聯(lián)立得到解得(舍去)或即可求出點P的坐標．【詳解】（1）解∶∵點在拋物線上，，解得，∴該拋物線的解析式為；（2）由得頂點，如圖，過點D作軸，垂足為E．當時，，可得點C的坐標為．∴，

；（3）如圖，過點C作，交于點F，過點F作軸，垂足為G，設(shè)，∵，∴．∴，由，，又，∴．∴．設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線，

即，解得(舍去)或，∴，∴點P的坐標為．【點睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、解直角三角形、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）；（3）存在，或．【分析】（1）直接將，兩點坐標代入拋物線解析式之中求出系數(shù)的值即可；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再設(shè)出點的坐標，接著表示出Q點和M點的坐標后，求出線段PQ和QM的表達式，再求出它們和的兩倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用銳角三角函數(shù)證明出，進而得到F點的其中一個位置，在BC另一側(cè)，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立方程組，即可求出BF與y軸的交點，進而求出BF的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，即可確定F點的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴該拋物線的函數(shù)表達式為：；（2）∵經(jīng)過點A，∴，∴，∴直線：；設(shè)，則，∵拋物線對稱軸為：，且Q點和M點關(guān)于對稱軸對稱，∴M點橫坐標為，∴；又∵，∴，當時，的值最小，為；∴該矩形周長的最小值為；（3）存在，或；由（2）可知，，∵拋物線的函數(shù)表達式為：；且，∴頂點D坐標為，如圖4，作DE⊥QM，因為，，∴；又∵拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，∴令，解得：，；∴,,∴,∴，∴當F點在點A處時，能使得，此時;如圖5，在BC另一側(cè)，當時，，過C點作CN⊥BH，垂足為點N，由角平分線的性質(zhì)可得：CN=CO=2，∴BN=BO=4，由勾股定理可得：且,即，且；解得：，;∴設(shè)直線BH的函數(shù)解析式為：，∴，∴，∴直線BH的函數(shù)解析式為：，聯(lián)立拋物線解析式與直線BH的函數(shù)解析式，得：解得：（與B點重合，故舍去），或，∴，綜上可得，拋物線上存在點，使得，或．【點睛】本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平面直角坐標系中兩點之間的距離、求函數(shù)的最大或最小值、勾股定理、三角函數(shù)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能結(jié)合圖形理解題意，能牢記和熟練運用相關(guān)公式進行計算等，本題計算量較大，對學生的綜合分析思維能力要求也較高，屬于壓軸題類型，本題蘊含的思想有分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想等．5．（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，頂點D（1，﹣4）；（2）點M的坐標為（，）；（3）Q（，2）或（，2）【分析】（1）把點A（-1，0），C（0，﹣3）代入解析式求解，然后化為頂點式即可；（2）由（1）的解析式求出函數(shù)與x軸的交點坐標，即可得到B（3,0），根據(jù)已知條件求出直線BC的解析式，根據(jù)M在二次函數(shù)的圖像上，N在一次函數(shù)圖像上，可設(shè)兩個點的坐標為M，N，可得MN，得到關(guān)于m的方程，化為頂點式即可得到結(jié)果；（3）先根據(jù)頂點在x軸上確定函數(shù)平移的距離，再根據(jù)∠OQP=∠OPQ得到OP=OQ，即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）∵拋物線y=經(jīng)過A（-1，0），C（0，﹣3）;得;∴;∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;∴y=（x﹣1）2﹣4;∴頂點D（1，﹣4）.（2）∵y=x2﹣2x﹣3;當y=0時，x2﹣2x﹣3=0;解得，;

∴B（3,0）.設(shè)直線BC解析式為y=kx+b（k≠0）;把B（3，0）、C（0，-3）代入y=kx+b;可得;解得：;∴直線BC解析式為;設(shè)M，N;∴MN;∴當MN最大時，點M的坐標為（，）．（3）由（1）可得拋物線頂點坐標D（1，﹣4），根據(jù)題意可得拋物線向上平移4個單位長度;∵點P在原拋物線y=x2﹣2x﹣3上;∴設(shè)P（x,x2﹣2x﹣3）,則Q(x,x2﹣2x+1);∵∠OQP=∠OPQ;∴OP=OQ;∴得到或;∴Q（，2）或（，2）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題型，準確理解題目的條件是關(guān)鍵點．6．(1)；頂點坐標為：；(2)①；②或或或【分析】（1）將點代入，即可求解；（2）①先根據(jù)解析式得出，，，連接交對稱軸直線于點M，則最短，求出解析式為，即可得出答案；②設(shè)，分兩種情況討論：當D點在點P右側(cè)時，過點D作軸交于點N，通過證明，可得，再將D點代入二次函數(shù)解析式求出t的值，從而求出D的坐標；當點D在點P的左側(cè)時，同理可得，再將D點代入二次函數(shù)解析式求出t的值，即可求解；【詳解】（1）解：將點代入，得，∴，∴，∵，頂點坐標為：；（2）①解：在中，當時，，，∴，，當時，，∴，如圖，連接交對稱軸直線于點M，則最短，設(shè)解析式為，得：，解得：，∴解析式為，當時，，∴；②解：根據(jù)①可得：，設(shè)，如圖1，當D點在點P右側(cè)時，過點D作軸交于點N，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，解得或，∴或；當點D在點P的左側(cè)時，同理可得，∴，解得：，∴或；綜上所述：D點的坐標為：或或或；【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過構(gòu)造直角三角形，利用三角形的全等及性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵．7．(1)；(2)；(3)點Q的坐標為或【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、最值的確定等，分類求解是解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明，由，即可求解；（3）當點Q在下方時，證明，則，得到，即可求解；當點Q在上方時，同理可解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達式為：，則，則，則拋物線的表達式為：；（2）解：由拋物線的表達式知，點，則為等腰直角三角形，則，則，設(shè)直線的表達式為，將點A、C的坐標代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，設(shè)點P的坐標為：，則點，則，，故有最大值，當時，的最大值為：，則的最大值為：；（3）解：當點Q在下方時，如下圖，設(shè)交y軸于點H，，，，，即，即，則，則直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：（舍去）或，則點；當點Q在上方時，同理可得，直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：（舍去）或，則點；綜上，點Q的坐標為或．8．（1）；（2）①當時，的面積取得最大值，最大值為；②存在．滿足條件的點P坐標為和【分析】（1）將點，點代入拋物線中求出a，b即可；（2）①過點P作軸于點E，交直線于點F，先求出直線BC的解析式，進而設(shè)P的坐標為，F(xiàn)的坐標為，從而求出的面積表達式即可求得最值；②分兩種情況進行討論，當點P在直線BC的上方時，當時，則和當點P在直線BC的下方時，設(shè)直線PB與CD交于點M，若，則，進而即可求得點P的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點，點∴解得∴拋物線的解析式為；（2）①如圖①，過點P作軸于點E，交直線于點F在拋物線中，令則，解得，∴點C的坐標為由點和點可求得直線的解析式為設(shè)點P的坐標為，由題意可知則點F的坐標為∴∴∵∴當時，的面積取得最大值，最大值為；②存在．滿足條件的點P坐標為和∵∴拋物線的頂點D的坐標為由點和點可求得直線的解析式為如圖②，當點P在直線的上方時，當時，則設(shè)直線的解析式為，把點的坐標代入，得∴直線的解析式為由，解得，（舍去）當時，∴點P坐標為；如圖③，當點P在直線的下方時設(shè)直線與交于點M，若，則過點B作軸于點N，則點∴∴垂直平分線段設(shè)直線與交于點G，則線段的中點G為．由點和點可求得解析式為∵直線，與直線交∴由，解得∴點M的坐標為由點和點可求得直線的解析式為∴由，解得，（舍去）∴點P坐標為；∴綜上所述，滿足條件的點P坐標為和．【點睛】本意主要考查了二次函數(shù)的幾何綜合，其中涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，動點問題，幾何圖形面積的求法，最值問題等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握二次函數(shù)的綜合解題方法是解決本題的關(guān)鍵．9．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點D（1，4）或（2，3）；（3）當點P在x軸上方時，點P（，）；當點P在x軸下方時，點（﹣，﹣）【分析】(1)c=3，點B(3，0)，將點B的坐標代入拋物線表達式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；(3)分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解即可．【詳解】(1)∵OB=OC=3，∴點C的坐標為C(0，3)，c=3，點B的坐標為B(3，0)，將點B的坐標代入拋物線表達式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，故拋物線的表達式為：y=﹣x2+2x+3；(2)如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，交BC于點M，∵S△COF：S△CDF=3：2，∴OF：FD=3：2，∵DH∥CO，∴CO：DM=OF：FD=3：2，∴DM=CO=2，設(shè)直線BC的表達式為：，將C(0，3)，B(3，0)代入得，解得：，∴直線BC的表達式為：y=﹣x+3，設(shè)點D的坐標為(x，﹣x2+2x+3)，則點M(x，﹣x+3)，∴DM==2，解得：x=1或2，故點D的坐標為：(1，4)或(2，3)；(3)①當點P在x軸上方時，取OG=OE，連接BG，過點B作直線PB交拋物線于點P，交y軸于點M，使∠GBM=∠GBO，則∠OBP=2∠OBE，過點G作GH⊥BM，如圖，∵點E的坐標為(0，)，∴OE=，∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，∴GH=GO=OE=，BH=BO=3，設(shè)MH=x，則MG=，在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，解得：x=2，故MG==，則OM=MG+GO=+，點M的坐標為(0，4)，設(shè)直線BM的表達式為：，將點B(3，0)、M(0，4)代入得：，解得：，∴直線BM的表達式為：y=x+4，解方程組解得：x=3(舍去)或，將x=代入y=x+4得y=，故點P的坐標為(，)；②當點P在x軸下方時，如圖，過點E作EN⊥BP，直線PB交y軸于點M，∵∠OBP=2∠OBE，∴BE是∠OBP的平分線，∴EN=OE=，BN=OB=3，設(shè)MN=x，則ME=，在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，解得：，∴，則OM=ME+EO=+，點M的坐標為(0，-4)，設(shè)直線BM的表達式為：，將點B(3，0)、M(0，-4)代入得：，解得：，∴直線BM的表達式為：，解方程組解得：x=3(舍去)或，將x=代入得，故點P的坐標為(，)；綜上，點P的坐標為：(，)或(，)．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等，其中第(3)問要注意分類求解，避免遺漏．10．(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)M（，）(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點式，即可求解；（2）先求出C（0，3），可得直線BC的解析式為y＝-x＋3，然后設(shè)M的坐標（m，-m2＋2m＋3），則N（m，-m＋3），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）過點Q作QH⊥y軸于點H，連接PC，先求出點P坐標（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，從而得到△PBC為直角三角形，進而得到tan∠PBC＝，然后設(shè)點Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點A（-1，0）和B（3，0），∴函數(shù)的表達式為：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；（2）解：當時，，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為，把點B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝-x＋3，設(shè)M的坐標（m，-m2＋2m＋3），則N（m，-m＋3），∴MN＝-m2＋2m＋3-（-m＋3）＝-m2＋3m＝-（m-）2＋，當m＝時，MN的長度最大，此時M（，）；（3）如圖，過點Q作QH⊥y軸于點H，連接PC，∵，∴點P坐標（1，4），∵點B（3，0），C（0，3），∴PC＝，