高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九章概率與統(tǒng)計第8講正態(tài)分布配套理

第8講正態(tài)分布1/28考綱要求考點分布考情風(fēng)向標(biāo)利用實際問題直方圖，了解正態(tài)分布曲線特點及曲線所表示意義年新課標(biāo)考查正態(tài)分布及相互獨立事件；年新課標(biāo)Ⅰ考查正態(tài)分布及數(shù)學(xué)期望；年湖北考查正態(tài)分布；年山東考查正態(tài)分布；年湖南考查正態(tài)分布；年新課標(biāo)Ⅰ第19題考查正態(tài)分布1.利用正態(tài)分布密度曲線對稱性研究相關(guān)概率問題，包括知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間面積為1.2.利用3σ標(biāo)準求概率問題時，要注意把給出區(qū)間或范圍與正態(tài)變量μ，σ進行對比聯(lián)絡(luò)，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中哪一個2/281.正態(tài)分布(1)我們稱f(x)＝(x∈R)[其中μ，σ(σ>0)為參數(shù)]圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.3/28(2)一般地，如果對于任何實數(shù)a<b，隨機變量X滿足完全由參數(shù)μ和σ確定，所以正態(tài)分布常記作N(μ，σ2).假如隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2).μ，σ分別表示總體平均數(shù)(期望值)與標(biāo)準差.(3)當(dāng)μ＝0，σ＝1時正態(tài)分布叫做標(biāo)準正態(tài)分布，記作X～N(0，1).4/282.正態(tài)曲線特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交.(2)曲線是單峰，關(guān)于直線________對稱.(4)曲線與x軸之間面積為______.

(5)當(dāng)σ一定時，曲線隨μ改變沿x軸平移. (6)當(dāng)μ一定時，曲線形狀由σ確定：σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散；σ越_______，曲線越“高瘦”，表示總體分布越集中.x＝μ1小5/283.3σ標(biāo)準(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827.(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.6/281.正態(tài)曲線下、橫軸上，從均值到＋∞面積為()A.0.95B.0.5C.0.975D.不能確定(與標(biāo)準差大小相關(guān))2.(年廣東珠海二模)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，62)，且P(ξ≤4－a)＝P(ξ≥2＋3a)，則a＝()AB7/283.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝()CA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9774.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，則實數(shù)a值為()AA.1B.C.2D.48/28考點1正態(tài)分布相關(guān)計算

例1：(1)(年山東)已知某批零件長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)概率為()

(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%)A.4.56%C.27.18%B.13.59%D.31.74%9/28解析：用ξ表示零件長度，依據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)得0.1359.故選B.答案：B10/28(2)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，則P(0<X<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

解析：由P(X<4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，如圖D83，由題意知正態(tài)曲線對稱軸為直線x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2.∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6.∴P(0<X<2)＝12P(0<X<4)＝0.3.

圖D83答案：C11/28(3)(年山東威海模擬)已知隨機變量X

服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，則P(X＞4)＝()A.0.1588C.0.1586B.0.15865D.0.1585

解析：∵隨機變量X～N(3，1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱.∴P(X≥3)＝0.5.又

P(2≤X≤4)＝0.6827，∴P(X＞4)＝0.5－答案：B12/28

(4)(年河南洛陽三模)已知隨機變量Z～N(1，1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖9-8-1，若向正方形OABC中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分點個數(shù)預(yù)計值為()

[附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)＝0.9973]

圖9-8-1A.6038B.6586.5C.7028D.753913/280.34135＝0.65865，則落入陰影部分點個數(shù)預(yù)計值為10000×0.65865＝6586.5.答案：B14/28

(5)(年貴州七校聯(lián)考)在我校

屆高三11月月考中理科數(shù)學(xué)成績ξ～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計結(jié)果顯示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假設(shè)我校參加此次考試有780人，那么試預(yù)計此次考試中，我校成績高于120分有________人.

解析：因為成績ξ～N(90，σ2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝90對稱.又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由對稱性知成績在120分以分有0.1×780＝78(人).答案：7815/28

(6)假設(shè)天天從甲地去乙地旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502)隨機變量，記一天中從甲地去乙地旅客人數(shù)800＜X≤900概率為p0，則p0＝__________.答案：0.47725

【規(guī)律方法】關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值概率求法： ①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)值；

②充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1.16/28考點2正態(tài)分布密度函數(shù)性質(zhì))兩個正態(tài)分布密度曲線如圖9-8-2.以下結(jié)論中正確是(

圖9-8-2A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)17/28答案：C18/28度函數(shù)圖象如圖9-8-3，則有(

)圖9-8-3

A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ219/28解析：因為正態(tài)曲線圖象關(guān)于直線x＝μ對稱，由圖知μ1<μ2.

又σ2

越大，即方差越大，說明樣本數(shù)據(jù)越發(fā)散，圖象越矮胖；反之，σ2

越小，即方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越集中，圖象越瘦高.答案：A20/28解析：由題意可得P(2≤ξ<4)＝(3)(年江西南昌二模)已知隨機變量ξ

服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)＝()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.71－0.15×2 2＝0.35.故選B.答案：B【規(guī)律方法】正態(tài)曲線性質(zhì).①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線是單峰，它關(guān)于直線x＝μ對稱.21/28

④曲線與x軸之間面積為1.

⑤當(dāng)σ一定時，曲線伴隨μ改變而沿x軸平移，如圖9-8-4(1).(1)(2)

圖9-8-4

⑥當(dāng)μ一定時，曲線形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中.如圖9-8-4(2).22/28易錯、易混、易漏⊙與正態(tài)分布結(jié)合綜合問題

例題：(年新課標(biāo)Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件一條生產(chǎn)線生產(chǎn)過程，檢驗員天天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).依據(jù)長久生產(chǎn)經(jīng)驗，能夠認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件數(shù)，求P(X≥1)及X數(shù)學(xué)期望；23/289.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)日生產(chǎn)過程進行檢驗. ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理性； ②下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取16個零件尺寸：24/28i＝1，2，…，16.25/28

解：(1)抽取一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)概率為0.9973，從而零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外概率為0.0027，故X～B(16，0.0027).所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423.X數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.0027＝0.0432.

(2)①假如生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋