第二十四章圓（章末小結(jié)）（課件）九年級數(shù)學(xué)上冊（人教版）

圓

章末小結(jié)1.梳理本章的知識要點(diǎn)，回顧與復(fù)習(xí)本章知識;2.進(jìn)一步鞏固圓的概念及有關(guān)性質(zhì)，掌握點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系，知道正多邊形和圓的關(guān)系，會計算弧長和扇形面積;(重點(diǎn))3.能綜合運(yùn)用圓的知識解決問題.(難點(diǎn))一、與圓有關(guān)的概念1.圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.【注意】1.弦和直徑都是線段.2.直徑是弦,是經(jīng)過圓心的特殊弦，是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑.2.弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.如圖中，AB，AC是弦，AB是直徑.一、與圓有關(guān)的概念3.弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.大于半圓的弧(用三個點(diǎn)表示，如圖中的)叫做優(yōu)??；小于半圓的弧(如圖中的)叫做劣弧.4.等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓，容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等.5.等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

一、與圓有關(guān)的概念1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.二、垂徑定理及其推論2.垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.二、垂徑定理及其推論在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.3.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：4.弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·二、垂徑定理及其推論1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB.3.圓心角∠AOB所對的弦為AB.任意給圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)三個量：2.圓心角∠AOB所對的弧為AB.⌒圓心角弦弧三、圓心角及相關(guān)概念同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的、弦也相等.在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.四、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系五、圓周角及其定理、推論（兩個條件必須同時具備，缺一不可）1.概念：在圓中，除圓心角外，還有一類角(如圖中的∠ACB)，它的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交，我們把這樣的角叫做圓周角.2.圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.五、圓周角及其定理、推論3.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.五、圓周角及其定理、推論4.推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.五、圓周角及其定理、推論5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).五、圓周角及其定理、推論點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r.不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心.設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，六、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系七、直線與圓的位置關(guān)系如圖(1)，直線和圓有兩個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線.如圖(2)，直線和圓只有一個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點(diǎn)叫做切點(diǎn).如圖(3)，直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相離.交點(diǎn)個數(shù)

位置關(guān)系

數(shù)量關(guān)系

相交兩個公共點(diǎn)只有一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)d＜r相切相離d＝rd＞r七、直線與圓的位置關(guān)系1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.八、切線的性質(zhì)和判定2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.八、切線的性質(zhì)和判定(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2)無交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時輔助線的添加方法有切線時常用輔助線添加方法

見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn);(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.八、切線的性質(zhì)和判定切線和切線長是兩個不同的概念：1.切線是一條與圓相切的直線；2.切線長是線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn).九、切線長定理和三角形的內(nèi)切圓1.如圖，過圓外一點(diǎn)P有兩條直線PA，PB分別與⊙O相切.經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.2.切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.九、切線長定理和三角形的內(nèi)切圓3.三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.九、切線長定理和三角形的內(nèi)切圓我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，

正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心；OD是正六邊形ABCDEF的半徑；∠AOF是正六邊形ABCDEF的中心角；OG是正六邊形ABCDEF的邊心距.十、正多邊形和圓1.正n邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)__________.3.正n邊形的中心角__________.2.正n邊形的每一個外角的度數(shù)__________.4.正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r之間有什么關(guān)系？5.邊長a，邊心距r的正n邊形的面積如何計算？其中l(wèi)為正n邊形的周長.十、正多邊形和圓十一、弧長和扇形面積1.弧長公式：半徑為R的圓中，n°圓心角所對的弧長l2.扇形面積公式：半徑為R，圓心角為n°的扇形面積S弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形十一、弧長和扇形面積圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的幾何體，它的底面是一個圓面，它的側(cè)面是一個曲面.

我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線，連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓心的線段叫做圓錐的高.母線有無數(shù)條，且都相等.圓錐的底面半徑、高、母線長三者之間的關(guān)系：十二、圓錐的側(cè)面積和全面積如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，容易得到，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.設(shè)圓圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為___，扇形的弧長為_____，因此圓錐的側(cè)面積為_____，圓錐的全面積為___________.l2πrπr2+πrlπrl十二、圓錐的側(cè)面積和全面積例1.如圖，AB是☉O的直徑，點(diǎn)C、D在☉O上，且點(diǎn)C、D在AB的異側(cè)，連接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度數(shù).解:∵AD//OC∴∠AOC=∠DAO=70°又∵OD=OA∴∠ADO=∠DAO=70°∴∠AOD=180-70°-70°=40°圓的有關(guān)概念1例2.如圖，MN是半圓O的直徑，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D在半圓上，頂點(diǎn)B、C在直徑MN上，求證：OB=OC.解:連結(jié)OA、OD.∵四邊形ABCD是正方形∴AB=CD又∵OA=OD∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL)∴OB=OC.圓的有關(guān)概念1【1-1】如圖(3)，MN為☉O的弦，∠N=52，則∠MON度數(shù)為()A.38°B.52°C.76°D.104°【1-2】如圖(4)，OA是☉O的半徑，B為OA上一點(diǎn)(且不與點(diǎn)O、A重合)，過點(diǎn)B作OA的垂線交☉O于點(diǎn)C．以O(shè)B、BC為邊作矩形OBCD，連接BD．若BD=10，BC=8，則AB的長為()A.2B.4C.6D.8CB【1-3】如圖，已知CD是☉O的直徑，∠EOD=78°，AE交☉O于點(diǎn)B，且AB=OC，求∠A的度數(shù).解:連接OB∵AB=OC，OB=OC∴AB=OB∴∠A=∠1∵OB=OE∴∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A∴∠DOE=∠E+∠A=3∠A∴3∠A=78°∴∠A=26°例3.☉O的半徑為13cm，AB、CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．垂徑定理2例3.☉O的半徑為13cm，AB、CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．EF解：當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，過點(diǎn)0作OE⊥CD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連結(jié)OA,OC.∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴CE＝5cm，AF＝12cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝12cm，OF＝5cm，∴EF＝OE-OF=12?5＝7cm.例3.☉O的半徑為13cm，AB、CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．EF解：當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，過點(diǎn)0作OE⊥CD于點(diǎn)E,作OF⊥AB于點(diǎn)F,連結(jié)OA,OC.∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AF＝12cm，CE＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝12cm，OF＝5cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．例4.如圖，AB、CD是半徑為5的☉O的兩條弦,AB=8、CD=6,MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，求PA+PC的最小值.

垂徑定理2

A

【2-3】如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上的點(diǎn)，且OD⊥AC于點(diǎn)E，連接BE，BC，若AC=8，DE=2．（1）求半圓的半徑長；（2）求BE的長．

弧、弦、圓心角之間的關(guān)系3例6.如圖，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D將三等分，弦AB與半徑0C，OD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證:AE=CD=BF.

弧、弦、圓心角之間的關(guān)系3【3-1】如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦.(1)如果AB=CD，那么____________，_______.(2)如果

，那么____________，_______.(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，OE與OF相等嗎？為什么？

∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD∴AE=CF又∵AO=CO，∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)∴OE=OF【3-2】如圖，已知在☉O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在☉O及半徑OM、OP上，并且∠POM=45°，則正方形的邊長為_______.

證明:連接AG.在□ABCD中，AD∥BC.∴∠EAF=∠EBG,∠FAG=∠AGB又∵AB=AG∴∠ABG=∠AGB∴∠EAF=∠FAG∴【3-3】如圖，在□ABCD中，以A為圓心AB為半徑的圓交AD、BC于F、G兩點(diǎn)，延長BA交圓于E.求證:.

圓周角定理及推論4

例8.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC、AD、BD的長.

圓周角定理及推論4例8.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC、AD、BD的長.

【4-1】如圖，∠AOB=100°，若點(diǎn)C在☉O上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則∠ACB的度數(shù)為()A.50°B.50°或130°C.130°D.80°或50°【4-2】如圖，AB是半圓的直徑，C，D是半圓上的兩點(diǎn)，∠ADC=106°，則∠CAB等于()A.10°B.14°C.16°D.26°BC

例9.如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.圓內(nèi)接四邊形5【5-1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果∠BOD=130°,則∠BCD的度數(shù)是（）

A115°B130°C65°D50°【5-2】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P是AC上的一點(diǎn)，則∠APC=

.ABCDOABCPC120°例10.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．(1)若以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點(diǎn)O，A，C中有兩個點(diǎn)在⊙B內(nèi)，有一個點(diǎn)在⊙B外，求r的取值范圍．

與圓有關(guān)的位置關(guān)系6例10.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．(1)若以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點(diǎn)O，A，C中有兩個點(diǎn)在⊙B內(nèi)，有一個點(diǎn)在⊙B外，求r的取值范圍．

例12.如圖，P為正比例函數(shù)y=1.5x圖象上的一個動點(diǎn)，☉P的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y).(1)求OP與直線x=2相切時點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)請直接寫出☉P與直線x=2相交、相離時x的取值范圍.解:(1)如圖，過點(diǎn)P作直線x=2的垂線，垂足為A.當(dāng)點(diǎn)P在直線x=2左側(cè)時，PA=2-x=3，得x=-1∴P(-1，-1.5)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=2右側(cè)時,AP=x-2=3，得x=5∴P(5，7.5)例12.如圖，P為正比例函數(shù)y=1.5x圖象上的一個動點(diǎn)，☉P的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y).(1)求OP與直線x=2相切時點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)請直接寫出☉P與直線x=2相交、相離時x的取值范圍.解:(2)當(dāng)-1<x<5時，☉P與直線x=2相交,當(dāng)x<-1或x>5時，☉P與直線x=2相離.【6-1】A，B兩個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O上 D．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O外B【6-2】如圖(2)，兩個同心圓，大圓的半徑為5cm，小圓的半徑為3cm,若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是____________.8＜AB≤10【6-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，2)，現(xiàn)有一圓同時和這個矩形的三邊都相切(切點(diǎn)都在矩形的邊上)，則此圓的圓心D的坐標(biāo)為___________________________.(1,1)或(3,1)或(2,0)或(2,2)例13.如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的☉O交邊BC于P,PE⊥AC于E.求證:PE是☉O的切線.證明:連接0P.∵AB=AC，∴∠B=∠C∵0B=OP，∴∠B=∠OPB∴∠0PB=∠C，∴OP//AC∵PE⊥AC∴PE⊥OP∴PE是☉0的切線.切線的判定和性質(zhì)7例14.如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D.求證：AC是⊙O的切線.證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E，連接OD，OA.∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D∴OD⊥AB又△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn).∴AO是∠BAC的平分線∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑例15.已知BC是☉O的直徑，BF是弦，AD過圓心O，AD⊥BF于D,AE⊥BC于E，連接FC.(1)如圖①,若OE=2,求CF的長;解:∵BC是直徑，AD過圓心0,AD⊥BF,AE⊥BC∴∠AEO=∠BD0=∠F=90°，BD=DF，OA=0B∴△AEO≌△BDO(AAS)∴OE=OD=2∴0B=0C，BD=DF∴0D為△BFC的中位線∴CF=20D=4例15.已知BC是☉O的直徑，BF是弦，AD過圓心O，AD⊥BF于D,AE⊥BC于E，連接FC.(2)如圖②,連接DE并延長，交FC的延長線于G,連接AG,請你判斷直線AG與☉O的位置關(guān)系，并說明理由.解:直線AG與☉O相切.理由如下:連接AB∵0A=OB，0E=OD，∴△0AB與△ODE為等腰三角形∵∠AOB=∠DOE∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO∴AB//DG∴∠ABD=∠GDF例15.已知BC是☉O的直徑，BF是弦，AD過圓心O，AD⊥BF于D,AE⊥BC于E，連接FC.(2)如圖②,連接DE并延長，交FC的延長線于G,連接AG,請你判斷直線AG與☉O的位置關(guān)系，并說明理由.又∵BD=DF，∠ADB=∠GFD=90°∴△ABD≌AGDF(ASA)∴∠ADB=∠GFD=90°∴AD//GFB∴四邊形ADFG為矩形∴AG⊥OA∴直線AG與00相切【7-1】如圖，AB是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A，線段P0交☉O于點(diǎn)C.連接BC，若∠P=46°，則∠B=_______.22°【7-2】如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點(diǎn)C的切線與AD的延長線交于點(diǎn)E.若點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，且∠ABC=70°，則∠AEC=________.75°【7-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，BD是☉O的直徑，AE⊥CD,垂足為E,DA平分∠BDE.(1)求證:AE是☉O的切線;(1)證明:連接0A∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA∴0A=OD∴∠0DA=∠0AD∴∠OAD=∠EDA∴AE⊥CD

∴∠AED=90°，∠DAE+∠EDA=90°∴∠DAE+∠OAD=90即∠0AE=90°，OA⊥AE

∴AE是00的切線【8-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，BD是☉O的直徑，AE⊥CD,垂足為E,DA平分∠BDE.(2)若∠DBC=30°,DE=1cm，求BD的長.(2)解:∵BD是直徑，∴∠BCD=∠BAD=90°∴∠DBC=30°，∴∠BDC=60°，∠BDE=120°∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°∴∠ABD=∠EAD=30°在Rt△AED中，∠EAD=30°

∴AD=2DE在Rt△ABD中，∠ABD=30°

∴BD=2AD=4DE∵DE=1cm，∴BD=4cm例16.如圖，⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)D，與AB、AC的延長線分別相切于點(diǎn)E、F，連接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度數(shù)．(2)∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質(zhì)可知，∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，∴∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，切線長定理和三角形的內(nèi)切圓8例16.如圖，⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)D，與AB、AC的延長線分別相切于點(diǎn)E、F，連接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度數(shù)．(2)∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【8-1】如圖，☉O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB、BC、AC于點(diǎn)E、F、D，P是弧DF上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是()A.50°B.58°C.60°D.65°C【8-2】如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．（1）解：∵∠CBD=34°∴∠CAD=34°∵點(diǎn)E是△ABC的的內(nèi)心∴∠BAC=2∠CAD=68°∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°∴∠BEC=180°-56°=124°【8-2】如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．（2）∵E是△ABC的內(nèi)心∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC∵∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD∴∠DEB=∠DBE∴DE=DB．【8-3】如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(1)證明：∵I是△ABC的內(nèi)心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；【8-3】如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．

【8-3】如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．

例18.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O，過點(diǎn)A作☉O的切線交對角線DB的延長線于點(diǎn)F.求證:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.

正多邊形和圓9例18.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O，過點(diǎn)A作☉O的切線交對角線DB的延長線于點(diǎn)F.求證:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.

B

2

解：連接AD，由題意可得：AD=S陰影部分=S△ABC-3S扇形弧長和扇形面積10解析：點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為三個半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長與兩個半徑為，圓心角為90°的扇形弧長之和，即

例20.如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為________(結(jié)果用含π的式子表示)．例21.如圖，C