第十一章三角形拔高易錯(cuò)重難點(diǎn)本章檢測(cè)題型匯編課件人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

2023秋季學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)上·RJ十一章三角形--拔高、易錯(cuò)、重難點(diǎn)、本章檢測(cè)題型匯編基礎(chǔ)專(zhuān)練1．(教材P14例3變式)(2022－2023·貴州期中)如圖，已知AD，CE是△ABC的高．試判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．類(lèi)型一不同頂點(diǎn)處的兩條高解：∠1＝∠2.理由如下：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∴∠2＋∠B＝90°，∠1＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.【結(jié)論變式】(2022·樂(lè)平市期末)在△ABC中，兩條高BD，CE所在的直線相交于點(diǎn)O.(1)當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖①，求證：∠BOC＋∠BAC＝180°；(1)證明：∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∴∠BAC＋∠ABD＝90°，∠BOE＋∠ABD＝90°.∴∠BAC＝∠BOE.∵∠BOC＋∠BOE＝180°，∴∠BOC＋∠BAC＝∠BOC＋∠BOE＝180°.(2)當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖②，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出相應(yīng)的圖形(用三角尺)，并回答(1)中結(jié)論是否成立，不需證明(2)解：如圖②所示．(1)中結(jié)論成立．解析：∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴∠OEB＝∠BDC＝90°.∴∠BOC＋∠OBE＝90°，∠DAB＋∠OBE＝90°.∴∠BOC＝∠DAB.∵∠DAB＋∠BAC＝180°，∴∠BOC＋∠BAC＝∠DAB＋∠BAC＝180°.【結(jié)論應(yīng)用】(2022·新鄉(xiāng)封丘縣期末)在△ABC中，高BD和CE所在直線相交于點(diǎn)O，若△ABC不是直角三角形，且∠A＝70°，則∠BOC＝110°或70°.類(lèi)型二不同頂點(diǎn)處的角平分線與高結(jié)合求角度2．(2022－2023·孝義市期中)如圖，已知△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC，AD與BE相交于點(diǎn)P，∠ABC＝70°，∠C＝40°，求∠CAD和∠DPE的度數(shù)．解：∵△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝40°，AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－40°＝50°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝

∠ABC＝35°.∴∠DPE＝∠CBE＋∠BDP

＝35°＋90°＝125°.【圖形變式】如圖，已知△ABC中，BE平分∠ABC，點(diǎn)F是射線BA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC，垂足為D，F(xiàn)D與BE交于點(diǎn)P.已知∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DPE的度數(shù)．解：在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠C

＝70°.【延伸設(shè)問(wèn)】寫(xiě)出∠DPE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系：∠DPE＝90°＋

∠ABC.∵FD⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠PDB＝90°，

∠CBE＝

∠ABC＝35°.∴∠DPE＝∠CBE＋∠PDB

＝35°＋90°＝125°.類(lèi)型三同一頂點(diǎn)處的角平分線與高結(jié)合求角度3．(教材P29復(fù)習(xí)題T8變式)如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，已知∠ABC＝α，∠ACB＝β(α＞β)．(1)若α＝55°，β＝35°，

則∠DAE＝10°；(2)小明說(shuō)：“無(wú)需給出α，β的具體度數(shù)，只需確定α與β的差值，即可固定∠DAE的度數(shù)．”請(qǐng)通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證小明的說(shuō)法是否正確．解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°－α－β.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝

∠BAC＝

(180°－α－β)．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－α.∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝

(180°－α－β)－(90°－α)＝

(α－β)．∴∠DAE的度數(shù)與α，β的具體度數(shù)無(wú)關(guān)，

只和α與β的差值有關(guān)．∴小明的說(shuō)法是正確的．【圖形變式】(1)在圖①中，∠B＝x，∠C＝y(tǒng)(x＞y)，其他條件不變，若把“AD是△ABC的高”

改為“F是線段AE上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D”，試用x，y表示∠DFE＝

(x－y)；

(直接寫(xiě)結(jié)果)圖①(2)在圖②中，若把(1)中的“點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)”，

其余條件不變，試用x，y表示∠DFE＝

(x－y)．(直接寫(xiě)結(jié)果)圖②【逆向變式】(2022·溫州期中改編)如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，CD平分∠ACB，∠ACE＝

∠B，且∠ECD＝10°，∠A＞∠B，求∠B的度數(shù)．解：∵CE⊥AB，∴∠A＝90°－∠ACE＝90°－

∠B.易知∠ECD＝

(∠A－∠B)＝10°，∴90°－

∠B－∠B＝20°.∴∠B＝40°.【易錯(cuò)變式】在△ABC中，CD和CE分別是角平分線和高，若∠ECD＝10°，∠ACB＝80°，求∠A的度數(shù)．解：∵∠ACB＝80°，∴∠A＋∠B＝100°①.∵∠ECD＝10°，∴∠ECD＝

(∠A－∠B)＝10°②，或∠ECD＝

(∠B－∠A)＝10°③，聯(lián)立①②，或①③，解得∠A＝60°或∠A＝40°.解題技巧專(zhuān)題類(lèi)型一兩內(nèi)角平分線的夾角【教材P29復(fù)習(xí)題T11變式】【模型推理】1．如圖，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)．有位同學(xué)得出∠BPC＝90°＋

∠A的結(jié)論，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)給出理由．解：正確．理由如下：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＋∠PCB＝

(∠ABC＋∠ACB)＝

(180°－∠A)＝90°－

∠A.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(90°－

∠A)＝90°＋

∠A.【模型應(yīng)用】2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E.若∠BED＝45°，則∠C的度數(shù)為

90°.3．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是∠BOC和∠OCB的平分線的交點(diǎn)．若∠OPC＝100°，則∠ACB的度數(shù)為

.【解析】∵點(diǎn)P是∠BOC和∠OCB的平分

線的交點(diǎn)，∴∠OPC＝90°＋

∠OBC＝100°.∴∠OBC＝20°.∴∠ABC＝2∠OBC＝40°.∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A

＝60°.4．如圖，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的三等分線(∠DBC＝

∠ABC，∠DCB＝

∠ACB)，則∠D與∠A之間存在的數(shù)量關(guān)系是∠D＝120°＋

∠A.【延伸設(shè)問(wèn)】若BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的n等分線(∠DBC＝

∠ABC，∠DCB＝

∠ACB)，則∠D與∠A之間存在的數(shù)量關(guān)系是

∠D＝180°－

(180°－∠A)

(用含n的式子表示)．類(lèi)型二一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角5．如圖，在△ABC中，E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC的平分線BO與∠ACE的平分線CO交于點(diǎn)O.求證：∠BOC＝

∠A.證明：∵∠ABC的平分線BO與∠ACE的平分線CO交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠CBO＝

∠ABC，∠ECO＝∠ACO＝

∠ACE.∴∠BOC＝∠ECO－∠OBC＝

∠ACE－

∠ABC＝

(∠ACE－∠ABC)＝

∠A.【模型拓展】6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝m°，P1是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點(diǎn)，P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CP2的交點(diǎn)，…，Pn是△BPn－1C的內(nèi)角∠Pn－1BC的平分線BPn與外角∠Pn－1CE的平分線CPn的交點(diǎn)，則∠Pn的度數(shù)為

.7．(2022·巴中平昌縣期末)如圖，在△ABC中，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，∠D＝15°，則∠A的度數(shù)為(A)A．30°B．45°C．20°D．22.5°【模型應(yīng)用】8．如圖，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分別是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分線，則∠M的度數(shù)為

102.5°.9．(2022－2023·天門(mén)期中)如圖，∠XOY＝90°，點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是射線OY上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線相交于點(diǎn)C.(1)當(dāng)∠OAB＝50°時(shí)，求∠ACB的度數(shù)；解：(1)∵∠AOB＝90°，∠OAB＝50°，∴∠ABY＝∠AOB＋∠OAB＝140°.∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠1＝∠2＝

∠OAB＝25°，∠3＝∠4＝

∠ABY＝70°.∵∠4＝∠ACB＋∠1，∴∠ACB＝∠4－∠1＝45°.(2)試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)A，B分別在射線OX，OY上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化的范圍．(2)∠ACB的大小不發(fā)生變化．證明如下：∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠1＝

∠OAB，∠4＝

∠ABY.∵∠4＝∠ACB＋∠1，∴∠ACB＝∠4－∠1＝

∠ABY－

∠OAB＝

(∠ABY－∠OAB)＝

×90°＝45°.類(lèi)型三兩外角平分線的夾角【模型推理】10．(1)如圖，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，則∠BOC與∠A的關(guān)系為∠BOC＝90°－

∠A；(2)請(qǐng)就(1)中的結(jié)論進(jìn)行證明．證明：如圖，∵BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分線，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A.∴2∠1＋2∠2＝∠A＋∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°.∴∠1＋∠2＝

∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(∠A＋90°)＝90°－

∠A.【模型拓展】11．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC外角平分線的交點(diǎn)，則∠O與∠I的數(shù)量關(guān)系是

∠O＋∠I＝180°.【模型應(yīng)用】12．【注重分類(lèi)討論思想】如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P.作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．解：如圖，延長(zhǎng)BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線．易知∠E＝

∠A，∠EBQ＝∠EBC＋∠CBQ＝

∠ABC＋

∠MBC＝

(∠ABC＋∠MBC)＝90°.如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①若∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∴∠A＝2∠E＝90°.②若∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∴∠E＝45°.∴∠A＝2∠E＝90°.③若∠Q＝2∠E，則90°－

∠A＝∠A，解得∠A＝60°.④若∠E＝2∠Q，則

∠A＝2(90°－

∠A)，解得∠A＝120°.綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°.綜合滾動(dòng)練習(xí)類(lèi)型一運(yùn)用“A字形”結(jié)論求角度和模型與結(jié)論：如圖，∠ADE＋∠AED＝∠ABC＋∠C.1．如圖，已知∠A＝40°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度數(shù)．解：∵∠A＝40°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4

＝180°－∠A＝140°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°.類(lèi)型二運(yùn)用“飛鏢形”結(jié)論求角度和2．【模型推理】(1)如圖①，求證：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C；證明：如圖①，連接AO并延長(zhǎng)．∵∠3是△ABO的外角，∴∠1＋∠B＝∠3.∵∠4是△AOC的外角，∴∠2＋∠C＝∠4.∴∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C，即∠BOC＝∠BAC＋∠B＋∠C.證明：如圖，設(shè)AD，CE交于點(diǎn)N，利用(1)中的結(jié)論，可得∠DNE＝∠B＋∠D＋∠E.∵∠ANC＝∠DNE，∠ANC＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【模型應(yīng)用】(2)如圖②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋