2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)86分布列與其他知識綜合運用(精練)(原卷版+解析)

8.6分布列與其他知識綜合運用（精練）（提升版）

題組一與數(shù)列綜合

1.（2022?卡慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月

8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定

數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷'指令，暫停該公司該航線的運行（達(dá)到5個暫停運行1周，達(dá)到10個暫

停運行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期''結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)

每周I班航班計劃.已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的

概率是:，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是:，未被熔斷的一次航班的下一次航

22

9

班也未被熔斷的概率是］??條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公

司A航線的第n次航班被熔斷的概率為幾.

（1）求；

12）證明：p“一|｝為等比數(shù)列；

13）求數(shù)列｛%｝的前〃項和并說明］的實際意義.

2.（2021.高州模擬）為落實《關(guān)于全面加強和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知

識+基本運動技能+專項運動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽一校級聯(lián)賽一選拔性競賽一國際交流比

賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度.某校開展“陽

光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學(xué)們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點踢球

比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，

兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-I分；兩人都命中或都未命中，兩人均得。分，設(shè)甲

12

每次踢球命中的概率為-,乙每次踢球命中的概率為-,且各次踢球互不影響.

（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過〃輪踢球，用P,表示經(jīng)過第/輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率.

①求Pl，〃2，；

②規(guī)定％=。，且有Pi=ApQBpj，請根據(jù)①中Pi,p2,p、的值求出A>B,

并求出數(shù)列｛〃”｝的通項公式.

3.（2022.廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有

第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第。站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳

動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+\），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2）,

直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第1（）0站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n

站概率為匕.

（1）求玲，R,6的值：

（2）求證：匕一？_1=一;（匕_1一匕_2），其中,2領(lǐng)%99；

（3）求心及小0的值.

4.（2022.太原二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓(xùn)練

中的兩個重要訓(xùn)練項目.

（1）假設(shè)發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三

個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時有5的可能將球撲出球門外.在一次點球戰(zhàn)中，求守門員在

前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望：

（2）某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，從甲開始傳球，等可能地

傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進(jìn)行.假設(shè)每個球都能

被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為求證：數(shù)列［匕-；、為等比數(shù)列，并求匕.

5.（2022.湖北模擬）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，

成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱

鋒兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇.

（1）撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門,

門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有不的

可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和

期望：

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從

甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中

的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為p“，易知

Pl=l，“2=0.

①試證明（〃“一；,為等比數(shù)列：

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為%,比較回。與的大小.

題組二與函數(shù)綜合

1.（2022北京）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一

墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款

紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調(diào)查了對這款紀(jì)念品有購買意向的消費者（以下

把對該紀(jì)念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，井洛收集的10（）名消費者的心理價位

整理如下:

心理價位（元/件）90100110120

人數(shù)10205020

假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀(jì)念

品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售

價格為x（單位：元/件），90cxe20,且每位消費者是否購買該紀(jì)念品相互獨立.用樣本的頻率分布

估計總體的分布，頻率視為概率.

（1）若x=100,試估計消費者購買該紀(jì)念品的概率；已知某時段有4名消費者進(jìn)店，X為這一時段

該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡（X）：

（2）假設(shè)共有M名消費者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷

售價格x定為多少時，Y的數(shù)學(xué)期里七”）達(dá)到最大值？

2.（2022高三上?濰坊期中）2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻

團(tuán)隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.，公

斤，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進(jìn)?條先進(jìn)食品

生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為/?（/nG[70,100]）,

其偵量指標(biāo)等級劃分如下表:

質(zhì)量指標(biāo)值,n[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

質(zhì)量指標(biāo)等級良好優(yōu)秀良好合格廢品

為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了

IOOO件，將其質(zhì)量指標(biāo)值〃1的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖:

（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品，記”抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事

件A，求事件A發(fā)生的概率；

（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值//?>85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取

3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值［90,95）的件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值胴與利潤（單位：元）的關(guān)系如下表（1</<4）：

質(zhì)量指標(biāo)值1,1[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

5,

利潤y（元）6/8;4/It——e

3

試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由：若能，試確定t為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤

達(dá)到最大（參考數(shù)值：In2?0.7,In5?1.6）.

3.（2021高三上?通州期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不

影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價處理，每噸虧損100元.現(xiàn)分別統(tǒng)十該

蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：

甲市場乙市場

以市場需求量的頻率代替需求量的概率.設(shè)批發(fā)商在下個銷售周期購進(jìn)〃噸該蔬菜，在甲、乙兩

個市場同時銷售，以X（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總需求量，T（單位：元）表

示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤.

（1）求變量X概率分布列；

（2）當(dāng)〃=19時，求7與X的函數(shù)解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；

（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷〃=19與〃=18應(yīng)選用哪一個.

題組三與導(dǎo)數(shù)綜合

1.（2022.湖南模擬）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)

理指數(shù)（月以）為49.8%,反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車、機器人、增材制造、醫(yī)療

設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造目前的

跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布

N(p,o"),并把質(zhì)量差在日+。)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，度量差在3+。,N+2o)內(nèi)的產(chǎn)品稱

為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨

機抽取1()00件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

(I)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)元作為卜I的近似

值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為。的估計值，記質(zhì)量差X~N(R/)，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和〃(〃22,且“eN”)件?等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從

某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為A,否則該箱產(chǎn)品記

為B.

①試用含〃的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率P；

②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為/(〃)，求當(dāng)〃為何值時，/(〃)取得最大值，并求出最

大值.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量自服從正態(tài)分布N仙6),則：P(|X-O<^<|4+O)?0.6827,

PQI-2Gv4<卜1+2a)?0.9545,P(p-3a<^<j,i+3c)=0.9973.

2(2022.齊齊哈爾二模)為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒

乓球比賽，其中參加男了?乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū),三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3,4,

5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進(jìn)行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，最

后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊員枳3分，失敗的隊員積。分；

而在比賽中以3:2取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比

賽張三取勝的概率均為〃（OV〃V1）.

（1）比賽結(jié)束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3：1取勝的概率為了（〃）.

①求出/（p）的最大值點P。；

②若以Po作為P的值，這輪比賽張三所得積分為X,求X的分布列及期望.

3.（2022.胡蘆島模擬）葫蘆島市礦產(chǎn)資源豐富，擁有煤、鋁、鋅、鉗等51種礦種，采礦業(yè)歷史悠久，

是葫蘆島市重要產(chǎn)業(yè)之一.某選礦場要對即將交付客戶的一批200袋銅礦進(jìn)行品位（即純度）檢驗，

如檢驗出品位不達(dá)標(biāo)，則更換為達(dá)標(biāo)產(chǎn)品，檢驗時；先從這批產(chǎn)品中抽20袋做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果

決定是否對余下的所有鉗礦做檢驗，設(shè)每袋鉗礦品位不達(dá)標(biāo)的概率都為〃（（）<〃<1）,且每袋鉗礦品位

是否達(dá)標(biāo)相互獨立.

（1）若20袋銅礦中恰有2袋不達(dá)標(biāo)的概率為/（〃），求/（〃）的最大值點P。；

（2）已知每袋銅礦的檢驗成本為10元，若品位不達(dá)標(biāo)銅礦不慎出場，對于每袋不達(dá)標(biāo)銅礦要賠付客

戶110元.現(xiàn)對這批銅礦檢驗了20袋，結(jié)果恰有兩袋品位不達(dá)標(biāo).

①若剩余銅礦不再做檢驗，以（1）中確定的Po作為P的值.這批銅礦的檢驗成本與賠償費用的和記

作自,求七代）：

②以①中檢驗成本與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對余下的所有鋁礦進(jìn)行檢驗？

4.（2022?河南月考）隨著中國經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場石料需求急增.西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)

地政府決定有序開發(fā)本縣石料資源.因建立石料廠會破壞生態(tài)，該縣決定石料開發(fā)走“開發(fā)治理結(jié)合，

人類生態(tài)友好”的路線.當(dāng)?shù)卣垏噎h(huán)保機構(gòu)每年對該縣與石料開發(fā)相關(guān)的生態(tài)（以下簡稱生態(tài)）進(jìn)

行評估.若生態(tài)開始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問題中，時間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復(fù)

產(chǎn).該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以

下簡稱生態(tài)投入）將逐年減少（4/〃。一。2-2〃+10）（a是常數(shù)，0<a<e）億元.該縣從2021年起,

若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是：；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為，.模

OO

型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束.

（1）若2021年該縣生態(tài)變差的概率為g,求該縣2022年生態(tài)友好的概率；

（2）若2021年該縣生態(tài)變差概率為g,生態(tài)投入是40億元，a為何值時，從2021年開始到生態(tài)投入

結(jié)束，對該縣總生態(tài)投入額最小？并求出其最小值.

5.（2022?濰坊模擬）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動，該學(xué)校準(zhǔn)備了100個相同的箱子，其中第

女（4=1,2,,100）個箱子中有k個數(shù)學(xué)題，|（X）-Z個物理題.每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，

依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結(jié)束；若此輪活動中，三個題目全部

答對獲得一個獎品.

（1）已知學(xué)生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數(shù)學(xué)題，1個物理題，且甲答對每一個數(shù)學(xué)題的概率為/?,

答對每一個物理題的概率為4.

①求學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率：

②己知〃+4=1,學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時〃、9的值.

(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率.

題組四與其他知識綜合

1.(2021高三上?濰坊期中)2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重

舉行.為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績,

經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),

[70,SO),[80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中〃7的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)：

（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在，［70,80）,［80,90）,［90,100］的三組中抽

取了II人，再從這11人中隨機抽取3人，記J的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在［90,100］的為A等級，成績在［70,90）的為B等級，其它為

C等級.以樣本估計總體，用頻率代替概率，從所有參加生物競賽的同學(xué)中隨機抽取100人，其中獲

得B等級的人數(shù)設(shè)為〃，記8等級的人數(shù)為k的概率為P（"二4）,寫出P（，7=k）的表達(dá)

式，并求出當(dāng)k為何值時，P3=k）最大？

2.（2022.福州模擬）某種疾病可分為A,8兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在

某地區(qū)隨機抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患4型

疾病的人數(shù)占男性患者的?，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者的!.

63

n(ad-bc)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+4)

P（K?次）0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

(I)若本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為，所患疾病的類型'與，性別'有關(guān)''的結(jié)

論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人？

(2)某團(tuán)隊進(jìn)行預(yù)防A型疾病的疫苗的研發(fā)試驗，試驗期間至多安排2個周期接種疫苗，每人每個周

期接種3次，每次接種費用為"?(〃〉0)元.該團(tuán)隊研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為

p(O<p<l),如果一個周期內(nèi)至少2次出現(xiàn)抗體.則該周期結(jié)束后終止試驗,否則進(jìn)入第一個周期.

2

若〃=§，試驗人數(shù)為1000人，試估計該試驗用于接種疫苗的總費用.

3.(2022.潮州二模)我國在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機和光刻膠，某風(fēng)險投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，

若投資光刻機項目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30%的概率為〃，收益率為-10%的概率為1-〃；若投

資光刻膠項目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30%的概率為0.4,收益率為-20%的概率為0.1,收益率為零

的概率為0.5.

￡(%-可(K-到￡X-宙

附：收益=投入的資金x獲利的期望：線性回歸?=去+4中，〃=J------------=-4---------,

￡(七-滅)2夕_行2

r-lr-l

a=y-bx.

（1）已知投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，請你從風(fēng)險角度考慮為該公司選擇一個較穩(wěn)妥的

項目：

（2）若該風(fēng)險投資公司準(zhǔn)備對以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項目進(jìn)行投資，4年累計投資數(shù)據(jù)如下表:

年份X2018201920202021

卜11234

累計投資金額y（單位：億元）2356

請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于N的線性回歸方程￡'=尻1+4，并預(yù)測到哪?年年末,

該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元.

8.6分布列與其他知識綜合運用（精練）（提升版）

題組一與數(shù)列綜合

1.（2022.重慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布

從202（）年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測

結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線

的運行（達(dá)到5個暫停運行1周.達(dá)到10個暫停運行4周）,并規(guī)定“熔斷期”的航班量

不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計劃.已知某

國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是!，

且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是上，未被熔斷的一次航班的下一次

2

航班也未被熔斷的概率是一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班

次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為P“.

（1）求P2；

（2）證明：［“一|卜播比數(shù)列；

（3）求數(shù)列｛%｝的前〃項和前,并說明7；的實際意義.

【答案】見解析

【解析】⑴解：P2=^X1+1X1=A;

⑵證明：由題得〃“=（i-〃"_）!+〃”_］?；=:+:〃“一］，

3ZJo

21（2、

***P--=-Pn-\--，

n56v5

21\2111

又=/°，?'?數(shù)列VP”一工是以77為首項、二為公比的等比數(shù)列；

5105J106

1

36

從而Tn=一〃H-----一〃+一

由「P”可以理解為第〃次航班平均被熔斷的次數(shù),

???Tn表示前〃次航班一?共被熔斷的次數(shù).

2.（2021.高州模擬）為落實《關(guān)于全面加強和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，完善

學(xué)校體育“健康知識+基本運動技能+專項運動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽一校級

聯(lián)賽一選拔性競賽一國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、

省、國家五級學(xué)校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢

足球''深受同學(xué)們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為

一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人

有1人命中，命中者得1分，未命中者得T分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0

12

分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為-,乙每次踢球命中的概率為-，且各次踢球互不

23

影響.

（I）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過〃輪踢球，用P,表示經(jīng)過第i輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的

概率.

①求Pi，%，小；

②規(guī)定Po=0,且有Pi=Apj.]+Bpz，請根據(jù)①中A,p2,P3的值求出

A、8,并求出數(shù)列｛凡｝的通項公式.

【答案】見解析

【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件A,乙命中為事件B,A,B相互獨

立.

1,2

由題意P（A）=-,P（B）=-,甲的得分X的可能取值為一1,0,1.

P（X=-l）=P（^）=P（A）P（B）=h-ljx|=

3

____]2（]\（711

P（X=O）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（^）+P（A）P（B）=-x-+1--x1--=-

__1/9\1

P（X=l）=P（^）=P（A）xP（B）=-xp--j=-,

AX的分布列為：

X-101

]_

P

326

E（X）=-lxl+（）xl+lxl=-l

266

（2）①由（1）Q=-,

6

/?2=P（X=0）P（X=i）+P（X=l）（P（X=0）+P（X=l|）

經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得

1分，1輪得。分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分,

1輪得-1分.

②???規(guī)定=0,目有=+?

Pi+AW61

代入得:Pi=-PM+yPi-\?

Pl=+BPI

???/〃一凡二:（化一〃1），,數(shù)列｛〃“一〃1｝是等比數(shù)列，

O

公比為q=:,首項為P,-Pn=7,.

（1Y（\丫111（1A

???匕=（幾一〃,-）+（〃“_「P”2）+,.+（Pi-A））=^-J+（jJ+…+[=《1一'1

3.（2022.廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，

棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第。站，棋手每

擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到攵+1）,若擲

出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2）,直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳

到第100站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為P?.

（1）求玲，R,P2的值；

（2）求證：勺一-七2），其中〃tN,2效力99；

（3）求&及%的值.

【答案】見解析

【解析】（1）解：棋子開始在第0站為必然事件，，兄=1.

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為［，???《=1.

22

棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：

①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為7：

4

②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為!.

2

???T+U.

-424

（2）證明：棋子跳到第n（2都799）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

①棋子先到第〃—2站，乂擲出反面，其概率為；%；

②棋子先到第n-l站，又?jǐn)S出正面，其概率為；匕_1.

Ri.

（3）解：由（2）知，當(dāng)掇N9時，數(shù)列｛『%｝是首項為仁兄=_；，公

比為-工的等比數(shù)列.

2

1（1y

??.k1二一5，，

/?\3/?\?

???4=前七；，

[△/=_!■.2|_1_（_邛]」|"1+（邛

10029823）_\2）\3|_\2）

4.（2022.太原二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳

球是足球訓(xùn)練中的兩個重要訓(xùn)練項目.

（1）假設(shè)發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選

擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時有g(shù)的可能將球撲出球門外.在

一次點球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期

望：

（2）某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，從甲開始

傳球，等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如

此一直進(jìn)行.假設(shè)每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為巴.求

證：數(shù)列｛匕-：｝為等比數(shù)列，并求匕.

【答案】見解析

【解析】（1）解：每個點球能被守門員撲出球門外的概率為尸=3X2XGX!=!，

3339

（1）

由題知X~B3,-,

P（X=0）=C：m、壬，P（x=1）=c.flW=192>

'7\9j729'7（9人9）729

P（X=2）=C仲性2P（x=3）=Cp],，

X的分布列為：

X0123

512192241

P

729729729729

???E（X）=3xl=l

V793

（2）證明：由已知第〃-1次傳球后球又回到甲腳下的概率為

???〃之2時

???,一1是首項為上卜一?公比為t的等比數(shù)列,

5.（2022?湖北模擬）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊

敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5驚

險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈕兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇.

（1）撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、

右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且

門將即使方向判斷正確也有;的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，

求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望：

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的

訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n

次傳球之前球在甲腳下的概率為以，易知乃=1，〃2=0.

①試證明，〃“一（｝為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳卜的概率為公，比較巧。與久的大小.

【答案】見解析

【解析】（1）解：依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為P=；xgx3xg=，，

門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1,2,3

P（x=0）YJ。xg；巴P（X=1）=c；二巴

316yll6j2163（6八6）72

P（X=2）=C；x（‘]xf-1=—,P（X=3）=C>f-lxf-1=—,

316；W72316；W216

X的分布列為：

X0123

1252551

P

2167272216

125125r5,11

期望石（X）=0x」4-1x---F2X---i-3x---=—.

21672722162

'】將每次可以撲出點球的概率為P=(x；x3x；=：,

另解：依題意可得，

球的個數(shù)X可能的取值為0,123，易知x~8(3,3),

門將在前三次撲出點:

（\\

p（X=A：）=C*x^-x—,%=0,1,23

X的分布列為:

X0123

1252551

P

2167272216

期望E（X）=3x，=2.

62

（2）解：①第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為幾，則當(dāng)，?N2時，第〃-1次傳球之

前球在甲腳下的概率為凡T，第〃-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為則

八八\111-1V1)

Pn=Pn-\-0+(1-/>?-1)'7=-7Pn-\+T?從H而〃“一公二一1Pn-\~~7，

13

—.-

又Pl4~4

131

->%-wj是以I為首項，公比為的等比數(shù)列.

②由①可知pn

3/]y1111

四。七匕卜方屋廿”外）故％<三

題組二與函數(shù)綜合

1.（2022北京）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不

斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品

在專賣店進(jìn)行售賣.一知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80兀/件，為了確定其銷售價格，調(diào)查

了對這款紀(jì)念品有購買意向的消費者(以下把對該紀(jì)念品有購買意向的消費者簡稱為消

費者)的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：

心理價位(元/件)90100110120

人數(shù)10205020

假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價格小了或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就

會購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該

紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價格為X(單位：元/件)，90<x<120,且每位消費者是

否購買該紀(jì)念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.

(1)若x=100,試估計消費者購買該紀(jì)念品的概率：已知某時段有4名消費者進(jìn)店,

X為這一時段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)假設(shè)共有M名消費者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為Y(單位：元),

當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價格x定為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望七(丫)達(dá)到最大值？

【答案】見解析

90

【解析】(1)解：x=100時，消費者購買該紀(jì)念品的概率Pt；；京=0.9,

10()

由題意X~8(409),P(X=i)=C；09(1-0.9)1,i=0,[,2,3,4,

p(X=0)=0.14=—,同理P(X=1)=—^―,P(X=2)=^",

1000025005000

7296561

P(X=3)=,P(X=4)=

250010000

X的分布列為:

X01234

192437296561

P

l()0(X)250050002500KXXX)

E(X)=4xO.9=3.6；

90

(2)解：由⑴知90vx41(X)時，E(K)=X—x(x-80)<18/W(x=100時等

號成立),

70

100<310時,E(r)=Mx—x(x-80)<21M(x=110時等號成立),

20

110<E20時,E(Y)=Mx—x(x-S0)<SM(x=120時等號成立),

100

M>0.因此以丫）=21股最大，此時x=110.

所以當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價格定為110元多少時，Y的數(shù)學(xué)期里￡（丫）達(dá)到最大值21M.

2.（2022高三上?濰坊期中）2020年10月16日，是第4（）個世界糧食日.中國工程院院士

袁隆平海水稻團(tuán)隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地

YC-801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大

提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)

明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為"?（，〃￡［70,100］）,其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分

如下表：

質(zhì)量指標(biāo)值加[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

質(zhì)量指標(biāo)等級良好優(yōu)秀良好合格廢品

為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先在行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)

品中隨機抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值〃？的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻