2025屆河北省昌黎第一中學(xué)高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025屆河北省昌黎第一中學(xué)高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列中，，公比，則（

）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進(jìn)度是小老鼠的4倍，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．25．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到的圖象，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，且，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，，，所對(duì)應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則二、多選題10．在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無最大項(xiàng)11．已知數(shù)列中，，對(duì)于任意的，都有，則下列說法正確的是（

）A．是單調(diào)遞減數(shù)列B．的前n項(xiàng)和C．若正整數(shù)k滿足，則D．存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列三、填空題12．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為．13．已知平面向量，，，若，，則.14．提丟斯—波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以A．U．為天文單位）．現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減4得數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則．四、解答題15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若.(1)求角；(2)若，點(diǎn)在線段上，且是線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求.17．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，，且在處取得極小值，求的取值范圍.19．如果數(shù)列，其中，對(duì)任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．已知數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．(1)若，求的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)若數(shù)列滿足，且，記數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，試判斷是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出正整數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025屆河北省昌黎第一中學(xué)高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案BAACBDBDCBC題號(hào)11答案BC1．B【分析】求解分式不等式，再由交集運(yùn)算即可求解；【詳解】由易得：即，所以，故選：B2．A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法及除法計(jì)算即可.【詳解】已知復(fù)數(shù)，則.故選：A.3．A【解析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可計(jì)算得出，代入數(shù)據(jù)可計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】由.故選：A.4．C【解析】設(shè)大老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，小老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，再分別求和構(gòu)造等式求出的值.【詳解】設(shè)大老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，所以.設(shè)小老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，所以.所以，即，化簡(jiǎn)得解得：或(舍)故選：C5．B【解析】由轉(zhuǎn)化為，利用疊加法，求得，即可求解.【詳解】由，可得，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見求法：1、對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為的數(shù)列，通常采用疊加法（逐差相加法）求其通項(xiàng)公式；2、對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為的數(shù)列，并且容易求數(shù)列前項(xiàng)積時(shí)，通常采用累乘法求其通項(xiàng)公式；3、對(duì)于遞推關(guān)系式形如的數(shù)列，可采用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.6．D【分析】先根據(jù)條件變換得到，再根據(jù)列式計(jì)算求出的值.【詳解】由已知得，所以，解得，又，所以.故選：D.7．B【解析】先證明數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合求出的通項(xiàng)公式，可得，利用配方法可得答案.【詳解】因?yàn)樗运詳?shù)列是等差數(shù)列，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以所以因?yàn)?，，且，所以?dāng)時(shí)，取最大值2.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判定一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的常見方法是：(1)定義法：（是常數(shù)），則數(shù)列是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法：（），則數(shù)列是等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式：(為常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列.8．D【分析】由題意得出數(shù)列，均為等比數(shù)列，從而求得與，代入，對(duì)分奇偶分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.因?yàn)?，則（常數(shù)），又，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對(duì)恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，即，所以，令，則，因?yàn)?，所以，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，則的最小值為，則所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，則，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小值為，所以，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．C【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式從而判斷A；根據(jù)代入運(yùn)算進(jìn)而判斷B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算從而判斷C和D.【詳解】A選項(xiàng)：易知，，又，則，即，故選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)，則，，故選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)：由于，則，，x不恒為0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由于，則，，，故，選項(xiàng)D正確.故選：C10．BC【分析】由，，可得，，結(jié)合分析可得，，，則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B正確.，根據(jù)單調(diào)遞減和，可知為的最大項(xiàng)，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由，因此.又因?yàn)閯t.當(dāng)時(shí)，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.而，故，選項(xiàng)B正確.又因?yàn)闉閱握{(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則.因此的最大項(xiàng)為，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案為：BC.11．BC【分析】根據(jù)給定條件，判斷數(shù)列為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】數(shù)列中，，對(duì)于任意的，都有，則取，得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，對(duì)于A，，顯然的前3項(xiàng)分別為，則不是單調(diào)遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，于是，解得，C正確；對(duì)于D，若存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列，即，整理得，顯然均為正整數(shù)，則均為偶數(shù)，為奇數(shù)，矛盾，因此不存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：BC12．【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解；【詳解】，所以，所以的虛部為，故答案為：13．【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示得出參數(shù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.故答案為：.14．【分析】由題意得到數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，由題意寫出，即可寫出當(dāng)時(shí)，數(shù)列的的通項(xiàng)公式，然后得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而知道.【詳解】由題意可知數(shù)列從第2項(xiàng)起，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.，，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故答案為：.15．(1)(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解；（2）分組求和方法求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，所以.16．(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；（2）利用余弦定理可得，進(jìn)而可得，然后利用和角公式可得，即得.【詳解】（1）∵，∴，即，又，∴；（2）由題可知，，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，，∴.17．(1).(2).【分析】（1）由已知得當(dāng)時(shí)，，即有，從而有數(shù)列從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案；（2）由（1）得，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法可求得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.因?yàn)?，所以從第二?xiàng)起成等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，.所以.（2）解：由（1）得，，所以，所以.所以.18．(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）首先由恒成立得出，然后求出，求出的根，根據(jù)根的大小分類討論得出單調(diào)性及極值，從而得參數(shù)范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，令，可得，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：0--0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，顯然不恒成立，不合題意，則，解得.令，可得或，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，）所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極大值，不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)(2)證明見解析(3)存在，17【分析】（1）將分別代入即可求解；（2）利用等差數(shù)列的定義和絕對(duì)值不等式性質(zhì)先證充分性，再證必要性即可；（3）構(gòu)造等比數(shù)列求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求其前n項(xiàng)和，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，確定的通項(xiàng)，進(jìn)而確定，再解不等式求解即可.【詳解】（1）由題：令則，即，故，得，又，同理可得，