數(shù)學(xué)知識(shí)巧解學(xué)案：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識(shí)?巧學(xué)一、公式二（π+α與α的三角函數(shù)關(guān)系)1。公式sin(π+α)=—sinαcos（π+α)=—cosαtan（π+α)=tanα2。公式二的推導(dǎo)設(shè)β∈［0，2π），α∈［0,]，則以下四種情形中有且僅有一種成立。β=α，β∈[0,）或β=π—α,β∈［,π)或β=π+α,β∈［π，)或β=2π—α,β∈［，2π）.在以上四種情形中,π+α的終邊可由角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)πrad而得到，即角π+α終邊上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)一定在角α的終邊上.如圖1—3—2，不妨設(shè)α為任意角，若角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）,則其反向延長(zhǎng)線(即π+α角的終邊）與單位圓交于點(diǎn)P′（-x，-y）。圖1-3—2由于單位圓的半徑是1，即r=1,根據(jù)任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義，可得sinα=y，cosα=x，tanα=;sin(π+α）=-y,cos(π+α）=-x，tan（π+α)=.于是，我們得到公式二.特別地，由于角π+α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故有公式成立.二、公式三(—α與α的三角函數(shù)關(guān)系）1。公式sin（—α）=—sinαcos(—α)=cosαtan(—α）=—tanα2.公式三的推導(dǎo)由于360°—α角是與—α角的終邊相同的角，所以它的同名三角函數(shù)值相等，而α與—α是按不同的方向旋轉(zhuǎn)形成的絕對(duì)值大小相同的角。顯然，α角與-α角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），則角—α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′（x,—y）,如圖1—3-3。圖1—3-3由于單位圓的半徑r=1，根據(jù)任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義,可得sinα=y，cosα=x，tanα=,sin(-α)=-y，cos（-α）=x，tan(—α)=.于是，我們得到公式三.特別地，角-α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，故有公式成立.學(xué)法一得因?yàn)檎?、余弦函?shù)的定義域是x∈R,正切函數(shù)的定義域是x≠+kπ，k∈Z，它們都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。故由該公式可知正弦與正切函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).三、公式四(π-α與α的三角函數(shù)關(guān)系)1.公式sin(π-α)=sinαcos(π—α)=-cosαtan（π-α）=—tanα2.公式四的推導(dǎo)由于sin（π+α)=—sinα，cos（π+α）=—cosα,tan（π+α)=tanα，sin(-α)=-sinα，cos（—α)=cosα，tan（-α)=-tanα，所以sin(π-α）=sin[π+（-α)］=—sin（-α）=sinα，cos(π-α）=cos［π+(—α)］=—cos（-α）=—cosα，tan（π-α)=tan［π+(-α）］=tan(-α）=—tanα.于是，我們得到公式四.特別地，角π—α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，故有公式成立.學(xué)法一得兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的正弦值相等，余弦值、正切值互為相反數(shù).例如，，.四、誘導(dǎo)公式1.公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，拋去各自的特點(diǎn)，可把它們概括如下:對(duì)于α+k·2π（k∈Z），—α,π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，由于把角α視為銳角，所以α+2kπ(k∈Z)，π—α,π+α，—α的函數(shù)值應(yīng)分別按與一、二、三、四象限相對(duì)應(yīng)的符號(hào)進(jìn)行標(biāo)注。以上四組誘導(dǎo)公式是用弧度制表示的，若采用角度制，寫(xiě)成α+k·360°(k∈Z），—α，180°±α的形式，其規(guī)律是一樣的.2.利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的一般步驟:3.誘導(dǎo)公式的作用:利用上述誘導(dǎo)公式，可對(duì)任意角的三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值及恒等式的證明。記憶要訣根據(jù)公式，可將四組誘導(dǎo)公式編成口訣“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”記憶。五、公式五與公式六1.公式sin（—α)=cosαcos(-α）=sinαsin(+α)=cosαcos（+α)=-sinα2.公式五和公式六可以概括為±α，±α的三角函數(shù)值，等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).誘導(dǎo)公式五、六的出現(xiàn)，進(jìn)一步豐富了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)過(guò)程，拓寬了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)渠道。對(duì)同一三角函數(shù)式，使用不同的誘導(dǎo)公式，可以獲得不同的解題途徑.記憶要訣兩套誘導(dǎo)公式可概括為k·±α（k∈Z)的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),得α的同名函數(shù)值，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，還可編成口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”或“奇余偶同，象限定號(hào)”去記憶.典題?熱題知識(shí)點(diǎn)一公式二的應(yīng)用例1求下列各式的三角函數(shù)值：（1)cos;（2）cos1290°；(3)sin(—480°）.思路分析：先用公式一能把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成0°到360°角的三角函數(shù)值，再借助公式二把180°到270°角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的函數(shù)值。解：(1）cos=cos(π+)=—cos=。(2)cos1290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=cos(180°+30°）=-cos30°=。(3）sin（—480°)=sin（240°-2×360°)=sin240°=sin（180°+60°）=—sin60°=。方法歸納化簡(jiǎn)終邊落在第三象限的角β的三角函數(shù)值的步驟：（1)先把β轉(zhuǎn)化成β=α+2kπ，k∈Z，其中α∈(π，）的形式,根據(jù)公式一，把求β的三角函數(shù)值就轉(zhuǎn)化成了求α的三角函數(shù)值；(2）再把α寫(xiě)成α=π+θ,θ∈（0，）的形式,根據(jù)公式二，把求α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成了求銳角的三角函數(shù)值.特別地，若β∈(π,)，可直接按第（2）步進(jìn)行化簡(jiǎn).知識(shí)點(diǎn)二公式三的應(yīng)用例2求下列各式的值.(1）sin(）;（2)cos（—60°）;(3)tan(-750°）.思路分析:可先利用公式三，把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成正角的三角函數(shù),再利于誘導(dǎo)公式，把正角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)進(jìn)行求值.解：（1）sin()=—sin=;（2）cos(-60°）=cos60°=；(3）tan(-750°）=-tan750°=—tan（2×360°+30°）=-tan30°=.例3已知tanα=3，求的值。思路分析:先由誘導(dǎo)公式二、三進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把齊次弦函數(shù)式轉(zhuǎn)化成切函數(shù)的形式求解，或直接利于同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行求解。解：原式=。∵tanα=3，∴α是第一、三象限的角.當(dāng)α是第一象限角時(shí),cosα=，sinα=cosα·tanα=。∴原式=。當(dāng)α是第三象限角時(shí),同理,可得原式=.綜上可知，所求代數(shù)式的值為.巧解提示：∵tanα=3，∴cosα≠0.∴原式=。方法歸納已知α的切函數(shù)值,求與α有關(guān)的弦函數(shù)式的值①可考慮用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行求值,但要注意角α所在的象限;②若弦函數(shù)式是一齊次式，可將齊次式的分子、分母同除以一個(gè)齊次項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，但要保證所除因式不為零。例4判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1）f（x）=1-cosx；(2）g（x）=x—sinx;（3)h（x）=x2-tanx。思路分析：要判斷函數(shù)的奇偶性,一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二看f（-x）與f(x)的關(guān)系.解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(-x）=1-cos（—x）=1—cosx=f(x),所以f（x）是偶函數(shù)。(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)間（-x)=（-x)—sin（-x）=—x-（-sinx）=-(x—sinx)=—g(x）,所以g(x)是奇函數(shù).(3）函數(shù)的定義域?yàn)镽且x≠+kπ,k∈Z,因?yàn)閔（-x)=（-x）2—tan(-x）=x2+tanx，顯然h（—x)≠h（x)并且h(-x)≠-h(x)，所以h(x)是非奇非偶函數(shù).方法歸納①誘導(dǎo)公式三是化負(fù)角為正角的依據(jù)；②誘導(dǎo)公式三是判斷函數(shù)奇偶性的依據(jù)。知識(shí)點(diǎn)三公式四的應(yīng)用例5已知cos（—α）=，求cos（+α）—sin2（α—）的值.思路分析:由于三角函數(shù)的自變量是角,所以對(duì)三角函數(shù)的分析應(yīng)從角入手,合理進(jìn)行角的變換，使所求角的三角函數(shù)能用已知角的三角函數(shù)表示出來(lái).因?yàn)?—α)+（+α）=π，所以+α可化成π—（—α）。又因?yàn)棣痢?—(—α)，所以可用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解。解:∵cos(-α）=,∴原式=cos［π-（—α）］-［1—cos2(α-)]=-cos(-α）-1+cos2(-α)==。例6已知sin(—x)=，且0＜x＜,求cos（+x）的值.思路分析：注意到（—x)+（+x）=π，因此，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求cos（-x)的值.解：∵0＜x＜,∴—＜-x＜0.∴＜—x＜。又∵sin（—x)=,∴.∴cos(+x）=—cos（—x）=.方法歸納化簡(jiǎn)條件代數(shù)式的常見(jiàn)思路有：若條件簡(jiǎn)單，結(jié)論復(fù)雜,可從化簡(jiǎn)結(jié)論入手，用上條件；若條件復(fù)雜，結(jié)論簡(jiǎn)單，可從化簡(jiǎn)條件入手，轉(zhuǎn)化出結(jié)論的形式；若條件、結(jié)論都比較復(fù)雜，可同時(shí)化簡(jiǎn)它們,直到找出它們間的聯(lián)系為止.無(wú)論使用哪種方法都要時(shí)刻瞄準(zhǔn)目標(biāo),據(jù)果變形.知識(shí)點(diǎn)四誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例7先把下列各任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)，再求值。(1)cos；(2);（3）cos（)；（4)cos(-1650°）；(5)cos(-150°15′)。解：（1)cos=cos（2π-）=cos=.（2)。(3）cos()=cos=cos(π)=-cos=.（4）cos(—1650°)=cos1650°=cos（4×360°+210°)=cos210°=cos（180°+30°)=—cos30°=.（5）cos(—150°15′）=cos150°15′=cos(180°—29°45′）=—cos29°45′。例8求sin120°+cos750°+sin(—690°）cos(-660°）+tan(-675°)+tan765°—tan1020°+tan(—1230°)的值。思路分析：對(duì)于形如sin（-690°)的化簡(jiǎn)可先寫(xiě)成sin(—690°）=-sin690°=—sin（330°+360°)=—sin330°=-sin(360°-30°）=sin30°=，解：原式=sin（180°-60°)+cos（30°+2×360°)+sin(30°—2×360°）·cos(60°-2×360°）—tan(2×360°—45°)+tan（2×360°+45°)—tan（3×360°-60°)—tan(3×360°+150°）=sin60°+cos30°+sin30°cos60°+tan45°+tan45°+tan60°—tan(180°—30°)。例9化簡(jiǎn)下列各式：（1）；(2）(n∈Z).思路分析：先合理進(jìn)行角的變換,把角轉(zhuǎn)化成能使用誘導(dǎo)公式的形式，用誘導(dǎo)公式將分子、分母化簡(jiǎn)，再約分求值.證明：（1）原式=。(2）原式=.例10求證：（1）sin（nπ+α)=（-1）nsinα（n∈Z）;(2）cos（nπ+α）=（-1)ncosα(n∈Z)。思路分析：因?yàn)閚∈Z，所以應(yīng)把n分成奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解。證明：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k—1(k∈Z），則sin（nπ+α）=sin［（2k—1)π+α］=sin（—π+α）=—sin(π-α）=—sinα=(-1）nsinα；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k(k∈Z),則sin(nπ+α)=sin（2kπ+α）=sinα=(—1)nsinα，∴sin（nπ+α)=（-1）nsinα（n∈Z）。(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k-1(k∈Z)，則cos（nπ+α)=cos［(2k—1)π+α］=cos(-π+α）=cos(π—α)=-cosα=（—1）ncosα；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k（k∈Z），則cos(nπ+α)=cos（2kπ+α)=cosα=（-1）ncosα，∴cos(nπ+α)=（-1）ncosα（n∈Z).方法歸納三角函數(shù)式的求值與證明的過(guò)程也是化簡(jiǎn)的過(guò)程，它是一個(gè)經(jīng)歷多次化歸，由負(fù)角變正角，由大角變小角，一直變到0°—90°角的過(guò)程。對(duì)同一角的化歸方式可以多種多樣,但化簡(jiǎn)的基本要求都是:（1）能求值的要求出值；（2）使項(xiàng)數(shù)盡量少；(3）使次數(shù)盡可能低;(4）函數(shù)種類盡可能少；(5）分母中盡量不含被開(kāi)方數(shù)等。知識(shí)點(diǎn)五公式五、六的應(yīng)用例11已知cos(75°+α）=，且—180°＜α＜—90°，求cos（15°-α)的值.思路分析:注意到(15°-α）+(75°+α）=90°，因此可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求sin（75°+α)的值.解：∵-180°＜α＜—90°,∴-105°＜75°+α＜-15°.∴sin（75°+α)＜0.又cos（75°+α)=,∴cos（15°—α）=cos[90°-（75°+α）］=sin（75°+α)=。方法歸納利用公式五和六，可把±α中角去掉，從而實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，反過(guò)來(lái)，也可通過(guò)添加來(lái)實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的互化.問(wèn)題?探究思想方法探究問(wèn)題三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明是三角部分的重要問(wèn)題，那么三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明有哪些常用方法？應(yīng)當(dāng)注意些什么問(wèn)題?探究過(guò)程：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)實(shí)際上是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡(jiǎn)的最基本的數(shù)學(xué)解題原則。它不僅要求學(xué)生熟悉和靈活運(yùn)用所學(xué)的三角公式,還需要熟悉和靈活運(yùn)用這些公式的等價(jià)形式.同時(shí)，這類問(wèn)題還具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)其他非三角知識(shí)的運(yùn)用也具有較高的要求，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要注意進(jìn)行及時(shí)的總結(jié).探究結(jié)論:（1)化簡(jiǎn)三角函數(shù)時(shí)，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要明確化簡(jiǎn)的基本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化同角、化同名角等.其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等.(2)化簡(jiǎn)一定要盡量化為最簡(jiǎn)形式。例如最后被化簡(jiǎn)為cos80°，如果只化到cos440°，則不能認(rèn)為這是最后結(jié)果；另外由于80°不是特殊角，一般無(wú)需求出其余弦值(實(shí)際上，寫(xiě)出的余弦值只是一個(gè)近似值，這不符合恒等變形的要求）。（3)證明恒等式的過(guò)程就是通過(guò)轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用的有以下幾種：①?gòu)牟坏仁降囊贿呴_(kāi)始證得它的另一邊，一般從比較復(fù)雜的一邊開(kāi)始化簡(jiǎn)到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性；②綜合法,由一個(gè)已知成立的等式（如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，即“a=b等價(jià)于c=d，所以a=b成立的充要條件是c=d成立”；③中間法,證明等式左右兩邊都等于同一個(gè)式子，其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等,即“a=c，b=c，則a=b”，它可由關(guān)系的傳遞性及對(duì)稱性推出；④分析法,即從結(jié)論出發(fā),逐步向已知要條件，其形式通常是“要怎樣，只需怎樣”,只要所需的條件都已經(jīng)具備，則結(jié)論就成立，而書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程時(shí),只要逆寫(xiě)回去即可.交流討論探究問(wèn)題1教材同角基本關(guān)系式只給出：“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”兩種,結(jié)合你們所學(xué)過(guò)的三角知識(shí)，你們還能找出什么關(guān)系式？探究過(guò)程:學(xué)生甲：由于sinα=,cosα=，secα=，cscα=，則可得出sinαcscα=1，cosαsecα=1。學(xué)生乙：由于cotα=,tanα=,則可以得出tanαcotα=1，cotα==cosαcscα等一些結(jié)論。學(xué)生丙：由于x2+y2=r，則1+tan2α==sec2α.學(xué)生丁：除