湖南省長沙市長郡集團2023-2024學年中考數(shù)學最后一模試卷含解析

湖南省長沙市長郡集團2023-2024學年中考數(shù)學最后一模試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．在中，，，，則的值是（）A． B． C． D．2．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點E為BC上一動點，把△ABE沿AE折疊，當點B的對應點B′落在∠ADC的角平分線上時，則點B′到BC的距離為（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或53．下列各式計算正確的是（）A．a(chǎn)2＋2a3＝3a5 B．a(chǎn)?a2＝a3 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a54．二次函數(shù)的最大值為（）A．3 B．4C．5 D．65．小紅上學要經(jīng)過三個十字路口，每個路口遇到紅、綠燈的機會都相同，小紅希望小學時經(jīng)過每個路口都是綠燈，但實際這樣的機會是（）A． B． C． D．6．一組數(shù)據(jù)3、2、1、2、2的眾數(shù)，中位數(shù)，方差分別是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4C．3，1，2 D．2，1，0.27．數(shù)軸上分別有A、B、C三個點，對應的實數(shù)分別為a、b、c且滿足，|a|＞|c|，b?c＜0，則原點的位置（）A．點A的左側(cè) B．點A點B之間C．點B點C之間 D．點C的右側(cè)8．下列條件中不能判定三角形全等的是()A．兩角和其中一角的對邊對應相等 B．三條邊對應相等C．兩邊和它們的夾角對應相等 D．三個角對應相等9．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC．則下列結(jié)論：①abc＜0；②；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．110．如圖，點P是菱形ABCD邊上的一動點，它從點A出發(fā)沿在A→B→C→D路徑勻速運動到點D，設△PAD的面積為y，P點的運動時間為x，則y關于x的函數(shù)圖象大致為（）A．B．C．D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面圓半徑為_______cm．12．經(jīng)過兩次連續(xù)降價，某藥品銷售單價由原來的50元降到32元，設該藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是__________________________．13．如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機投擲一枚飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是______．14．某個“清涼小屋”自動售貨機出售A、B、C三種飲料．A、B、C三種飲料的單價分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期間，每天上貨量是固定的，且能全部售出，其中，A飲科的數(shù)量（單位：瓶）是B飲料數(shù)量的2倍，B飲料的數(shù)量（單位：瓶）是C飲料數(shù)量的2倍．某個周六，A、B、C三種飲料的上貨量分別比一個工作日的上貨量增加了50%、60%、50%，且全部售出．但是由于軟件bug，發(fā)生了一起錯單（即消費者按某種飲料一瓶的價格投幣，但是取得了另一種飲料1瓶），結(jié)果這個周六的銷售收入比一個工作日的銷售收入多了503元．則這個“清涼小屋”自動售貨機一個工作日的銷售收入是_____元．15．已知某二次函數(shù)圖像的最高點是坐標原點，請寫出一個符合要求的函數(shù)解析式：_______．16．方程的兩個根為、，則的值等于______．17．若不等式組1-x≤2，x>m有解，則三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦，某部門工作人員乘快艇到漢江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛．在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛40秒到達B處時，測得建筑物P在北偏西60°方向上，如圖所示，求建筑物P到賽道AB的距離（結(jié)果保留根號）．19．（5分）趙亮同學想利用影長測量學校旗桿的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測得其長度為9.6米和2米，則學校旗桿的高度為________米．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA＝，tan∠AOC＝（1）求a，k的值及點B的坐標；（2）觀察圖象，請直接寫出不等式ax﹣1≥的解集；（3）在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，請你求出P點的坐標．21．（10分）向陽中學校園內(nèi)有一條林萌道叫“勤學路”，道路兩邊有如圖所示的路燈（在鉛垂面內(nèi)的示意圖），燈柱BC的高為10米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°．路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為13.3米，從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為α和45°，且tanα=1．求燈桿AB的長度．22．（10分）如圖，∠A=∠B=30°（1）尺規(guī)作圖：過點C作CD⊥AC交AB于點D；（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，求證：BC2=BD?AB．23．（12分）在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機地取出一個棋子，如果它是黑色棋子的概率是；如果往盒中再放進10顆黑色棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)椋髕和y的值．24．（14分）如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點B，C的坐標；（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、D【解析】

首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后利用正弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，

∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比．2、A【解析】

連接B′D，過點B′作B′M⊥AD于M．設DM=B′M=x，則AM=7-x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到：（7-x）2=25-x2，通過解方程求得x的值，易得點B′到BC的距離．【詳解】解：如圖，連接B′D，過點B′作B′M⊥AD于M，∵點B的對應點B′落在∠ADC的角平分線上，∴設DM=B′M=x，則AM=7﹣x，又由折疊的性質(zhì)知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：，即，解得x=3或x=4，則點B′到BC的距離為2或1．故選A．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，掌握翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．3、B【解析】

根據(jù)冪的乘方,底數(shù)不變指數(shù)相乘;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加,對各選項分析判斷利用排除法求解【詳解】A.a2與2a3不是同類項，故A不正確；B.a?a2＝a3,正確；C．原式＝a4，故C不正確；D．原式＝a6，故D不正確；故選：B．【點睛】此題考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，解題的關鍵在于掌握運算法則.4、C【解析】試題分析：先利用配方法得到y(tǒng)=﹣（x﹣1）2+1，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．解：y=﹣（x﹣1）2+1，∵a=﹣1＜0，∴當x=1時，y有最大值，最大值為1．故選C．考點：二次函數(shù)的最值．5、B【解析】分析：列舉出所有情況，看各路口都是綠燈的情況占總情況的多少即可．詳解：畫樹狀圖，得∴共有8種情況，經(jīng)過每個路口都是綠燈的有一種，∴實際這樣的機會是.故選B．點睛：此題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法適用于三步或三步以上完成的事件，解題時要注意列出所有的情形．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6、B【解析】試題解析：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：1，2，2，2，3；數(shù)據(jù)2出現(xiàn)了三次最多為眾數(shù)，2處在第3位為中位數(shù)．平均數(shù)為（3+2+1+2+2）÷5=2，方差為[（3-2）2+3×（2-2）2+（1-2）2]=0.1，即中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，方差為0.1．故選B．7、C【解析】分析：根據(jù)題中所給條件結(jié)合A、B、C三點的相對位置進行分析判斷即可.詳解：A選項中，若原點在點A的左側(cè)，則，這與已知不符，故不能選A；B選項中，若原點在A、B之間，則b>0，c>0，這與b·c<0不符，故不能選B；C選項中，若原點在B、C之間，則且b·c<0，與已知條件一致，故可以選C；D選項中，若原點在點C右側(cè)，則b<0，c<0，這與b·c<0不符，故不能選D.故選C.點睛：理解“數(shù)軸上原點右邊的點表示的數(shù)是正數(shù)，原點表示的是0，原點左邊的點表示的數(shù)是負數(shù)，距離原點越遠的點所表示的數(shù)的絕對值越大”是正確解答本題的關鍵.8、D【解析】

解:A、符合AAS，能判定三角形全等；B、符合SSS，能判定三角形全等；；C、符合SAS，能判定三角形全等；D、滿足AAA，沒有相對應的判定方法，不能由此判定三角形全等；故選D．9、B【解析】試題分析：由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，則可對①進行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，則可對②進行判斷；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，兩邊除以c則可對③進行判斷；設A（x1，0），B（x2，0），則OA=﹣x1，OB=x2，根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，利用根與系數(shù)的關系得到x1?x2=，于是OA?OB=﹣，則可對④進行判斷．解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；∵拋物線與x軸有2個交點，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②錯誤；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正確；設A（x1，0），B（x2，0），∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，∴x1?x2=，∴OA?OB=﹣，所以④正確．故選B．考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．10、B【解析】【分析】設菱形的高為h，即是一個定值，再分點P在AB上，在BC上和在CD上三種情況，利用三角形的面積公式列式求出相應的函數(shù)關系式，然后選擇答案即可．【詳解】分三種情況：①當P在AB邊上時，如圖1，設菱形的高為h，y=12∵AP隨x的增大而增大，h不變，∴y隨x的增大而增大，故選項C不正確；②當P在邊BC上時，如圖2，y=12AD和h都不變，∴在這個過程中，y不變，故選項A不正確；③當P在邊CD上時，如圖3，y=12∵PD隨x的增大而減小，h不變，∴y隨x的增大而減小，∵P點從點A出發(fā)沿A→B→C→D路徑勻速運動到點D，∴P在三條線段上運動的時間相同，故選項D不正確，故選B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，根據(jù)點P的位置的不同，運用分類討論思想，分三段求出△PAD的面積的表達式是解題的關鍵．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、1．【解析】

解：設圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)題意得1πr=，解得r=1，即圓錐的底面圓半徑為1cm．故答案為：1．【點睛】本題考查圓錐的計算，掌握公式正確計算是解題關鍵．12、50（1﹣x）2=1．【解析】由題意可得，50(1?x)2=1，故答案為50(1?x)2=1.13、【解析】

求出黑色區(qū)域面積與正方形總面積之比即可得答案.【詳解】圖中有9個小正方形，其中黑色區(qū)域一共有3個小正方形，所以隨意投擲一個飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是，故答案為．【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率的計算公式是解題的關鍵.注意面積之比幾何概率．14、950【解析】

設工作日期間C飲料數(shù)量為x瓶，則B飲料數(shù)量為2x瓶，A飲料數(shù)量為4x瓶，得到工作日期間一天的銷售收入為：8x+6x+5x＝19x元，和周六銷售銷售收入為：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，再結(jié)合題意得到10.1x﹣（5﹣3）＝503，計算即可得到答案.【詳解】解：設工作日期間C飲料數(shù)量為x瓶，則B飲料數(shù)量為2x瓶，A飲料數(shù)量為4x瓶，工作日期間一天的銷售收入為：8x+6x+5x＝19x元，周六C飲料數(shù)量為1.5x瓶，則B飲料數(shù)量為3.2x瓶，A飲料數(shù)量為6x瓶，周六銷售銷售收入為：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，周六銷售收入與工作日期間一天銷售收入的差為：29.1x﹣19x＝10.1x元，由于發(fā)生一起錯單，收入的差為503元，因此，503加減一瓶飲料的差價一定是10.1的整數(shù)倍，所以這起錯單發(fā)生在B、C飲料上（B、C一瓶的差價為2元），且是消費者付B飲料的錢，取走的是C飲料；于是有：10.1x﹣（5﹣3）＝503解得：x＝50工作日期間一天的銷售收入為：19×50＝950元，故答案為：950.【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，解題的關鍵是由題意得到等量關系.15、等【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象最高點是坐標原點，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式滿足a＜0，b=0，c=0即可．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象最高點是坐標原點，可以得到a＜0，b=0，c=0，例如：.【點睛】此題是開放性試題，考查函數(shù)圖象及性質(zhì)的綜合運用，對考查學生所學函數(shù)的深入理解、掌握程度具有積極的意義.16、1．【解析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意得，，所以===1．故答案為1．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若、是一元二次方程（a≠0）的兩根時，，．17、m<2【解析】分析：解出不等式組的解集，然后根據(jù)解集的取值范圍來確定m的取值范圍．解答：解：由1-x≤2得x≥-1又∵x＞m根據(jù)同大取大的原則可知：若不等式組的解集為x≥-1時，則m≤-1若不等式組的解集為x≥m時，則m≥-1．故填m≤-1或m≥-1．點評：本題是已知不等式組的解集，求不等式中另一未知數(shù)的問題．可以先將另一未知數(shù)當作已知處理，求出解集再利用不等式組的解集的確定原則來確定未知數(shù)的取值范圍．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、100米.【解析】【分析】如圖，作PC⊥AB于C，構(gòu)造出Rt△PAC與Rt△PBC，求出AB的長度，利用特殊角的三角函數(shù)值進行求解即可得.【詳解】如圖，過P點作PC⊥AB于C，由題意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC=PC，在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴BC=PC，∵AB=AC+BC=PC+PC=10×40=400，∴PC=100，答：建筑物P到賽道AB的距離為100米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值進行解答是關鍵.19、10【解析】試題分析：根據(jù)相似的性質(zhì)可得：1:1.2=x：9.6，則x=8，則旗桿的高度為8+2=10米.考點：相似的應用20、（1）a=,k=3,B(-,-2)(2)﹣≤x＜0或x≥3；(3)（0，）或（0，0）【解析】

1)過A作AE⊥x軸,交x軸于點E,在Rt△AOE中,根據(jù)tan∠AOC的值,設AE=x,得到OE=3x,再由OA的長,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出A坐標,將A坐標代入一次函數(shù)解析式求出a的值,代入反比例解析式求出k的值,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式求出B的坐標;(2)由A與B交點橫坐標,根據(jù)函數(shù)圖象確定出所求不等式的解集即可;(3)顯然P與O重合時,滿足△PDC與△ODC相似;當PC⊥CD,即∠PCD=時,滿足三角形PDC與三角形CDO相等,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等得到三角形PCO與三角形CDO相似,由相似得比例,根據(jù)OD,OC的長求出OP的長,即可確定出P的坐標.【詳解】解：（1）過A作AE⊥x軸，交x軸于點E，在Rt△AOE中，OA=，tan∠AOC=，設AE=x，則OE=3x，根據(jù)勾股定理得：OA2=OE2+AE2，即10=9x2+x2，解得：x=1或x=﹣1（舍去），∴OE=3，AE=1，即A（3，1），將A坐標代入一次函數(shù)y=ax﹣1中，得：1=3a﹣1，即a=，將A坐標代入反比例解析式得：1=，即k=3，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例解析式得：，消去y得：x﹣1=，解得：x=﹣或x=3，將x=﹣代入得：y=﹣1﹣1=﹣2，即B（﹣，﹣2）；（2）由A（3，1），B（﹣，﹣2），根據(jù)圖象得：不等式x﹣1≥的解集為﹣≤x＜0或x≥3；（3）顯然P與O重合時，△PDC∽△ODC；當PC⊥CD，即∠PCD=90°時，∠PCO+∠DCO=90°，∵∠PCD=∠COD=90°，∠PCD=∠CDO，∴△PDC∽△CDO，∵∠PCO+∠CPO=90°，∴∠DCO=∠CPO，∵∠POC=∠COD=90°，∴△PCO∽△CDO，∴=，對于一次函數(shù)解析式y(tǒng)=x﹣1，令x=0，得到y(tǒng)=﹣1；令y=0，得到x=，∴C（，0），D（0，﹣1），即OC=，OD=1，∴=，即OP=，此時P坐標為（0，），綜上，滿足題意P的坐標為（0，）或（0，0）．【點睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識有:待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,坐標與圖形性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)定義,相似三角形的判定與性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合的思想,熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．21、燈桿AB的長度為2.3米．【解析】

過點A作AF⊥CE，交CE于點F，過點B作BG⊥AF，交AF于點G，則FG=BC=2．設AF=x知EF=AF=x、DF==，由DE=13.3求得x=11.4，據(jù)此知AG=AF﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.3．【詳解】過點A作AF⊥CE，交CE于點F，過點B作BG⊥AF，交AF于點G，則FG=BC=2．由題意得：∠ADE=α，∠E=45°．設AF=x．∵∠E=45°，∴EF=AF=x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF=，∴DF==．∵DE=13.3，∴x+=13.3，∴x=11.4，∴AG=AF﹣GF=11.4﹣2=1.4．∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°，∴AB=2AG=2.3．答：燈桿AB的長度為2.3米．【點睛】本題主要考查解直角三角形﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是結(jié)合題意構(gòu)建直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及其應用能力．22、見解析【解析】

（1）利用過直線上一點作直線的垂線確定D點即可得；

（2）根據(jù)圓周角定理，由∠ACD=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCB=∠A=30°，推出△CDB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖所示，CD即為所求；（2）∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°∴∠DCB=∠A=30°，∵∠B=∠B，∴△CDB∽△ACB，∴，∴BC2=BD?AB．【點睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定