理論力學(xué)（第8版）（哈工大） 第六章學(xué)習(xí)資料

第六章

變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)§6－1變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)t的動(dòng)量為質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)t+dt的動(dòng)量為根據(jù)動(dòng)量定理將上式展開得略去高階微量并以dt除各項(xiàng)得或式中是微小質(zhì)量dm在并入前,對(duì)于質(zhì)點(diǎn)m得相對(duì)速度令－－變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程－－反推力2.常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律（1）質(zhì)量按線性規(guī)律變化由知其反推力為（2）質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化由知其反推力為單級(jí)火箭。設(shè)火箭在真空中運(yùn)動(dòng)且不受任何外力作用，其噴射出的氣體相對(duì)于速度的大小不變，方向與火箭運(yùn)動(dòng)方向相反，此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題。例6－1變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，在運(yùn)動(dòng)方向上的投影為或（a）設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)將式（a）積分得（b）設(shè)火箭燃燒終了時(shí)質(zhì)量為速度為v令－－質(zhì)量比有些資料取為質(zhì)量比令－－火箭的特征速度它代表這一級(jí)火箭在初始速度的基礎(chǔ)上所能增加的速度－－齊奧爾科夫斯基公式它表明在已知時(shí)，欲使火箭達(dá)到特征速度所應(yīng)具備的質(zhì)量比運(yùn)動(dòng)微分方程在鉛直方向上的投影為設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)且為常量

如果火箭在真空中且處于均勻重力場(chǎng)內(nèi)沿鉛直方向向上運(yùn)動(dòng)，稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題。例6－2二級(jí)與多級(jí)火箭二級(jí)火箭由3部分組成：第一級(jí)火箭、第二級(jí)火箭和載荷。設(shè)第一級(jí)火箭總質(zhì)量為

，其內(nèi)攜帶的燃料質(zhì)量為

，且

；第二級(jí)火箭總質(zhì)量為

，其內(nèi)攜帶的燃料質(zhì)量為

，且

；載荷的質(zhì)量為

。設(shè)燃料從火箭噴出的相對(duì)速度

=常數(shù)，方向與火箭速度方向相反，每秒噴出的燃料質(zhì)量也為常數(shù)。火箭由靜止開始運(yùn)動(dòng)，略去重量，由例6-1式（b）可得第一級(jí)火箭的燃料全部噴射完畢時(shí)火箭的速度為（a）當(dāng)?shù)诙?jí)火箭的燃料也全部噴射完畢時(shí)，速度為（b）如果取,則由式（a）及（b）可得設(shè)二級(jí)火箭的總質(zhì)量（不含載荷質(zhì)量)為常量，則的不同分配將影響火箭的速度。如何分配的比例使最大，是二級(jí)火箭必須要解決的問題。

將（a）代入式（b），并將式（b）用m表達(dá)：將式（c）對(duì)求導(dǎo)令將式（d）中后一項(xiàng)按冪級(jí)數(shù)展開式（e）的近視值為（f）

將式（f）代入式（c），略去高階小量ε＝０.８

大于例6－3多級(jí)火箭設(shè)各級(jí)火箭的質(zhì)量分別為，各級(jí)火箭內(nèi)的燃料質(zhì)量為，載荷質(zhì)量為，各級(jí)火箭噴射氣體的相對(duì)速度方向都與火箭速度方向相反、大小分別為，不計(jì)重力。

由例6-1式（b）可以求得第i

級(jí)火箭在燃料噴射完畢時(shí)所增加的速度（a）

令（b）

則得第

n

級(jí)火箭燃料燃燒完畢時(shí)的速度（c）

（d）

設(shè)火箭的總質(zhì)量為m，利用式（d）（e）

（f）

應(yīng)用拉格朗日乘子法，作函數(shù)（g）

多級(jí)火箭的總質(zhì)量為最小的條件將（g）式代入（c）式得（h）

如果各級(jí)火箭的燃料相同有（i）

式（h）簡(jiǎn)化為（j）

此時(shí)式（g）為（k）

由式（j）及式（k）解得（l）

(m)

式(m)表明：欲使火箭總質(zhì)量為最小，火箭中每一級(jí)火箭燃燒完畢所增加的速度值應(yīng)相同。即欲使火箭達(dá)到給定的最終速度，使火箭總質(zhì)量為最小值的條件是：火箭中每一級(jí)燃料燃燒完畢時(shí)所增加的速度必須相同。滿足這一條件時(shí)總質(zhì)量為（n）

為求各級(jí)火箭的質(zhì)量分配，令（O）

在式（d）中設(shè)i=n，有（p）

之后再在式（d）中令i=n-1，依次求下去得（q）

由式（q）可得（r）

由式（g）（r）可得各級(jí)火箭的質(zhì)量分配?！?－2變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)普遍定理1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理記并入（或放出）質(zhì)量的絕對(duì)速度為即記稱為由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力－－變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用其上的外力與由于并入（或放出），質(zhì)量的絕對(duì)速度而引起的反推力的矢量和。設(shè)t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為速度為得－－變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式如果并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度顯然即使也不是常量2.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩為式中為從點(diǎn)O指向該質(zhì)點(diǎn)的矢徑點(diǎn)O為定點(diǎn)－－變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力對(duì)該點(diǎn)之矩與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。3.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理將上式各項(xiàng)點(diǎn)乘得由于或－－變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與放出（或并入）的元質(zhì)量由于其牽連速度而具有的動(dòng)能的代數(shù)和等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力合力的元功與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力所作的元功之和。變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與并入（或放出）的元質(zhì)量由于牽連運(yùn)動(dòng)而具有的動(dòng)能之差，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力與反推力所作的元功之和。例6－4已知：圖為傳送砂子的裝置，砂子從漏斗鉛直流下，以速度流下傾角為θ的傳送帶上并沿斜面下滑l長(zhǎng)度然后流出斜面，設(shè)砂子以流量q=常數(shù)（kg/s）從大漏斗中流下，斜面上砂子是定常流動(dòng)，其質(zhì)量保持不變，不計(jì)摩擦。求：若使砂子在斜面上的速度為常數(shù)，傾角應(yīng)為多少？解：研究傳送帶上的砂子式中為漏斗流入到傳送帶上的砂子質(zhì)量元為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元為流出時(shí)的絕對(duì)速度有常數(shù)或因此有即得例6－5求：在如下兩種情況下，當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時(shí)留在桌面上的小方塊的速度。（1）忽略桌面上的摩擦力（2）桌面與小方塊間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f已知：總質(zhì)量為，總長(zhǎng)度為l的一排方塊放在如圖所示水平面上，設(shè)小方塊長(zhǎng)度極短，數(shù)量很多，相鄰的小方塊互相接觸而不連接，初始靜止，小方塊最外端在桌邊，如圖加一水