物理學(祝之光) 9第九章 振動學基礎(chǔ)學習資料

第九章振動學基礎(chǔ)習題9－9，9－11，9－17。

9-0教學基本要求

9-1簡諧振動的規(guī)律

9-2簡諧振動的描述

9-3簡諧振動的合成第九章振動學基礎(chǔ)教學基本要求

一、理解簡諧振動的基本特征,了解研究諧振子模型的意義.*二、能建立一維簡諧振動的微分方程,能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧振動的運動方程,并理解其物理意義.

三、理解描述簡諧振動的各物理量的物理意義和決定因素.

四、理解旋轉(zhuǎn)矢量法和相位差的意義,會用旋轉(zhuǎn)矢量法分析和解決簡諧振動問題,會做振動曲線.

五、理解兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成規(guī)律.

*六、了解相互垂直的兩個同頻率簡諧振動的合成.9-1簡諧振動的規(guī)律預(yù)習要點注意簡諧振動的規(guī)律和特點.如何判斷一個振動是否為簡諧振動？簡諧振動的能量有什么特點?簡諧振動的周期由什么因素決定？如何計算一簡諧振動的周期？研究諧振子模型的意義何在？一、簡諧振動的定義1.彈簧振子

一個勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)一個可以自由運動的物體，就構(gòu)成一個彈簧振子.2.彈簧振子振動的微分方程彈簧振子偏離平衡位置O后，僅因回復(fù)力(彈性力)和慣性而自由往返運動.有彈簧振子的振動微分方程(動力學方程)解微分方程得令(1)位移時間關(guān)系(振動方程)(2)速度時間關(guān)系(4)能量特征(3)加速度時間關(guān)系彈簧振子的總的機械能由彈簧振子在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能都隨時間發(fā)生周期性變化，但動能和勢能的總和保持為一個常量，即系統(tǒng)的機械能守恒.4T2T43TE(5)振動曲線

3.簡諧振動的定義任一物理量x隨時間t的變化關(guān)系如果滿足微分方程其中是系統(tǒng)固有性質(zhì)決定的常數(shù),則此物理量作簡諧運動.4.簡諧振動的判據(jù)(1)運動的微分方程(定義式).(2)機械振動也可用其受力特征或運動特征判斷.二、簡諧振動的固有周期周期頻率振動往復(fù)一次所需時間.角頻率都表示簡諧運動的周期性，反映振動的快慢.彈簧振子固有周期由準彈性力準彈性力單擺單擺的微小振動自身不是彈性力,但在某種場合中卻起著彈性力作用的力,稱為準彈性力。AAOOLmgmgq0q0ftqTqft重力在擺球運動弧線的切向分力起著回復(fù)力的作用ftq5,~sinq~q(rad)有mgsinqftmgqft1((對切向應(yīng)用牛頓第二定律ftmatmLamL2ddt2q2((1((2((聯(lián)立得2ddt2qLgq+0這是一個以角量表達的簡諧振動微分方程,其通解為qq0cos()wtOj+q0Oj擺幅角和初相由初始條件確定,wLg角頻率周期2pTw2pLg例:質(zhì)量為m長度為l的均勻細棒，繞O點作小角度擺動.求振動周期.重力矩“–”表示力矩與逆時針張角

方向相反.解:當時,O復(fù)擺令得到振動微分方程由表明棒作角簡諧振動三、諧振子模型符合簡諧振動微分方程的振動體稱為諧振子，它是振動學的研究基礎(chǔ).彈簧振子、無阻尼LC振蕩電路等是典型的經(jīng)典諧振子模型，依據(jù)量子物理研究微觀諧振子可揭示其能量量子化.9-2簡諧振動的描述預(yù)習要點：簡諧振動的振幅和初相位由哪些因素決定?如何確定它們的數(shù)值？注意相位在描述振動中的特殊而重要的作用.注意領(lǐng)會旋轉(zhuǎn)矢量表示及研究諧振動的方法.一、振幅和初相位1.振幅質(zhì)點在振動過程中離開平衡位置的最大位移的絕對值.表征了系統(tǒng)的能量，由初始條件決定.由時,有得2.相位在中，稱為振動的相位.（1），存在一一對應(yīng)的關(guān)系；即其決定質(zhì)點在時刻的t的位置和速度(即時刻t的運動狀態(tài)).（2）初相位描述質(zhì)點初始時刻的運動狀態(tài)(初位置和初速度.已知初始條件

也可確定初相.上式可求得在區(qū)間內(nèi)兩個解，應(yīng)進一步由的符號判定和的符號后選定其中的一個解.二、相位差

表示兩個相位之差.對于兩個同頻率的簡諧運動，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.

兩個同頻率的簡諧運動相位差都等于其初相差而與時間無關(guān).1.相位差2.超前和落后若，則x2比x1較早達到正最大，稱x2比x1超前(或x1比x2落后).

3.同相和反相當

=

2k

，

(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相同，稱同相.當

=

(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相反，稱反相.

OA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相兩同相振動的振動曲線

x2TxOA1-A1A2-

A2x1t反相兩反相振動的振動曲線例例已知xOOkmkgN1.6kmm0.4簡諧運動方程求下述兩種情況下的1((2((從平衡位置右移到xx0.1m處釋放;從平衡位置右移到xx0.1m處后給物體以向左速度v0.2ms解法提要1((s1rad2wkm1.60.4Axx02+v0w22v00xx00.1m由OjcosAxx00Ojcosxx0A0.10.11Oj,xxcos()wtOj+A0.1mcos2t2((xx0v00t,0.1m,0.2msAxx02+v0w220.1m2+0.22220.12由OjcosAxx0Ojcosxx0A0.10.1222題意要求0v0sinwAOj,+p4Oj應(yīng)取4pOjxxcos()wtOj+A0.1mcos2t(+4p)2三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法OPxAA簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量

t+

T振幅初相相位圓頻率諧振動周期半徑長初始角坐標角坐標角速度旋轉(zhuǎn)周期物理模型與數(shù)學模型比較位移-時間曲線旋轉(zhuǎn)矢量表示法的優(yōu)點:直觀,方便.可快捷準確地判斷初相,相位差和合相位.旋轉(zhuǎn)矢量圖與曲線xxtwxot0tx12345678o12345678wt

jxxcos()wt

j+AA例2xxAO

j3pAOA2xx4

j5pOOx0tAAO

jpAxxxxOAA2

jp3OOx0tAAOOx0tAAOOx0tAA

例

2

物體沿

x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為

2s，t=0時，在

x=－6cm處，且向

x軸負方向運動，求物體的運動方程和從這一位置回到平衡位置所需的最短時間。解：A=

12×10-2mw

=

2p／T=

2p／2=ps-1t=0時

，x0

=

－6cm，

v0＜0，或運動方程形式v0＜0，故應(yīng)取運動方程為回到平衡位置所需最短時間，令

x=0就可求得用振幅矢量求更方便!回到平衡位置所需最短時間為

5／6

秒xO9-3簡諧振動的合成預(yù)習要點注意兩個同方向同頻率簡諧振動的合振動規(guī)律.分振動之間的相位差與合振動振幅有什么關(guān)系？了解兩個互相垂直的簡諧振動的合成.一、兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動，角速度不變.1.當時,合振動振幅最大.2.當時,合振動振幅最小.3.一般情況例書例11例已知1A6pxcos()wt+1xcos()wt+21A36p4求合振動的A1((振幅Oj2((初相3((運動方程解法提要應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷xoOj1Oj2A1A1A3Oj6pOj26p4A1((1A2+21A3((21A32((Oj6p+6p3p3((xcos()wtOj+A21A3cos()wt+3p二、同方向不同頻率簡諧振動的合成·拍x=x1+x2合振動不再是簡諧振動。振幅為是周期性變化的討論w1

和

w2都較大，但相差甚微

│w2－w1│＜＜w2+w1

，隨時間的變化比隨時間的變化來要慢得多?？砂押险駝涌醋髡穹鶠椋簣A頻率為：的簡諧振動。振幅緩慢周期性變化，即振幅時強時弱，把這種現(xiàn)象叫作“拍”。

拍頻:*三、兩個互相垂直的同頻率的簡諧振動的合成兩式消去t，合振動分振動為橢圓軌跡方程，Dj決定其具體形狀.為直線方程.討論1.同相位2.為標準橢圓方程，順時針運行.3.反相位4.為標準橢圓方程，逆時針運行。為直線方程。用旋轉(zhuǎn)矢量法分析兩個互相垂直的簡諧振動的合成選講選講阻尼振動阻尼振動阻尼振動稱為阻尼振動或衰減振動tXO振幅逐漸衰減的振動形成阻尼振動的原因：振動系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛洹Ｒ缘谝环N原因為例，建立阻尼振動的力學模型。X受迫振動振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)受迫振動共振受迫振動共振

系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動稱為受迫振動。幅值角頻率pH周期性外力（強迫力）costHp彈性力fxkmmvvX平衡點平衡點OO阻力阻力frfrvgvg示意建立動力學方程ddtx22xxddtxkmgcosHtp+ddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostp表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcostp此微分方程的解為A0exxbcos()wt+jtd+cosA(+tp)A0exxbcos()wt+tdj+cosA(+tp)21阻尼振動等幅振動受迫振動進入穩(wěn)定振動狀態(tài)后，其振動角頻率為強迫力的角頻率，其振幅為pAh()4bpw02p22+22受迫振動與強迫力有一定的相位差，用初相表示jarctanjbp2w02p212tXOXOtA和j都與阻尼系數(shù)b固有角頻率

的大小有關(guān)。w0強迫力角頻率

相對于系統(tǒng)的p+受迫振動開始振動比較復(fù)雜經(jīng)過一段時間后，受迫振動進入穩(wěn)定振動狀態(tài)。XOt12A曲線共振ApO