10.1　兩角和與差的三角函數(shù) 解析版

10.1兩角和與差的三角函數(shù)【考點梳理】考點一：兩角和與差的余弦公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的余弦二：用和差余弦公式進行化簡求值三：逆用和差余弦公式進行化簡求值考點三：兩角和與差的正切公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的正切二：用和差正切公式進行化簡求值三：逆用和差正切公式進行化簡求值考點四：兩角和與差的三角函數(shù)綜合應用【知識梳理】知識點一兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R知識點二兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R知識點三：兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【題型歸納】題型一：兩角和與差的余弦公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的余弦1．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此，于是有，故選：C2．（23-24高三上·陜西安康·階段練習）已知為第二象限角，且終邊與單位圓的交點的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意首先求出，然后利用誘導公式、兩角和差的余弦公式運算即可求解.【詳解】由題意，得，所以.故選：D.3．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知且都是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的平方關系求得，再利用余弦函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因為且都是第二象限角，所以，，所以.故選：C.二：用和差余弦公式進行化簡求值4．（24-25高一下·全國·課堂例題）已知α，β為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)關系求得，進而利用兩角各的余弦公式求得，可求的值.【詳解】∵為銳角，，∴，∴．又，∴.故選：B．5．（23-24高一上·廣西柳州·期末）已知都是銳角，，（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件求，再由結(jié)合兩角差余弦公式求結(jié)論.【詳解】因為為銳角，所以，又，所以，，又，所以故選：A.6．（23-24高一下·江蘇揚州·期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知求出、和，接著結(jié)合兩角和的余弦公式求即可得解.【詳解】因為，所以，又，，所以，，所以，所以.故選：B.三、逆用和差余弦公式進行化簡求值7．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）的值是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】.故選:B.8．（23-24高一下·江蘇鹽城·階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦兩角和公式和誘導公式化簡即可得解.【詳解】.故選：D9．（23-24高一下·江蘇常州·期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導公式及兩角和的余弦公式求解.【詳解】原式.故選：B三：逆用和差余弦公式進行化簡求值題型二：兩角和與差的正弦公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的正弦10．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關系及兩角和差的正弦公式即可求解.【詳解】因為所以，又，所以，因為，所以，因為，所以，所以.故選：A11．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習）已知，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由條件結(jié)合同角關系求，再利用兩角和正弦公式求.【詳解】由已知，所以，又，所以，所以，又，所以，故選：B.12．（22-23高一上·福建福州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，利用差角公式求解答案.【詳解】因為，所以，所以；.故選：A.二：用和差正弦公式進行化簡求值13．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本關系式求出，利用，結(jié)合和差角公式可解.【詳解】由，則，又，，而.故選：D.14．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）已知，，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】應用同角三角函數(shù)關系結(jié)合兩角和差角公式計算即得.【詳解】因為,所以，所以.故選：A.15．（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合，利用兩角和正弦公式，即可求解.【詳解】因為，可得，又因為，可得，所以，由.故選：B.三：逆用和差正弦公式進行化簡求值16．（23-24高一下·江蘇南京·期中）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導公式把題目中的角轉(zhuǎn)化為銳角，最后逆用兩角和的正弦公式進行求解即可.【詳解】故選：A17．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式與兩角差的正弦公式化簡求值.【詳解】.故選：A.18．（23-24高一下·江蘇南京·期末）（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】將原式轉(zhuǎn)化為，然后利用兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】.故選：C題型三：兩角和與差的正切公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的正切19．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用二倍角公式、商數(shù)關系結(jié)合已知求得，再由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以且，即，且，解得或（舍去），所以.故選：B.20．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知，則（

）A．－3 B．2 C．3 D．不存在【答案】B【分析】利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以.故選：B.21．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知，且，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和差正切公式直接求解即可.【詳解】.故選：A.二：用和差正切公式進行化簡求值22．（23-24高一下·江蘇南京·期末）已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的范圍確定，然后使用正切差公式.【詳解】由，知，故，從而.所以.故選：D.23．（23-24高一下·江蘇揚州·期末）已知，則的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對利用誘導公式與兩角和的余弦公式化簡可得，代入中利用兩角和的正切公式化簡計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D24．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】利用兩角差的正切公式計算可得，結(jié)合弦化切即可求解.【詳解】由，得，解得，所以.故選：C三：逆用和差正切公式進行化簡求值25．（23-24高一下·江蘇南通）（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式以及誘導公式求得正確答案.【詳解】，，所以，所以故選：A26．（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習）的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出結(jié)果.【詳解】.故選：B.27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.【詳解】，，．故選：C題型四：兩角和與差的三角函數(shù)綜合應用28．（24-25高一上·江蘇無錫）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點.(1)求的值；(2)若鈍角滿足，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)三角函數(shù)定義得到和的值，再根據(jù)兩角和的正弦公式求得結(jié)果；（2）由角和的范圍，以及得出的范圍，求得的值，再根據(jù)，結(jié)合兩角差的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由角的終邊過點得，所以.（2）由角的終邊過點得，由是鈍角，是第三象限角，則，，所以，由得，則.；所以.29．（23-24高一下·江蘇連云港·期末）（1）已知，且．求的值；（2）已知，且．求的值．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）把題目給的兩角和看成一個整體，則，結(jié)合已知條件再運用和差公式化簡求值即可.（2）把看成一個整體，把條件變形為，再運用和差公式化簡求值即可.【詳解】（1），，，，，，.故答案為：.（2），，即，，又，，，即.故答案為：.30．（23-24高一下·江蘇）已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）化成關于的齊次式即可求解；（2）根據(jù)平方關系、商數(shù)關系以及角的范圍可得，由兩角和的正切公式以及角的范圍即可得解.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，所以，又因為，所以，，所以，又，所以由，解得，所以，又，，故，所以.【高分演練】一、單選題31．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）已知，是方程的兩個根，則的值為（

）．A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關系可得，，，然后結(jié)合兩角和的正切公式即可求解．【詳解】由題意得，，，所以．故選：B．32．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知，都是銳角，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)關系得到，，湊角法得到答案.【詳解】因為，，所以，所以，，所以.故選：C33．（23-24高一下·江蘇南京·期中）已知、，且，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關系中平方和關系求出相應角的正弦值，然后運用余弦兩角和公式進行求解即可.【詳解】、，且，，，，，，，、，，，故選：B34．（23-24高一下·江蘇宿遷·期中）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系將切化弦，即可求出、，再由兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，，解得，所以.故選：D35．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）化簡值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】.故選：B36．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對給定式子平方，再進行相加得到，最后利用兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】若，則若，則，將兩式子相加可得，化簡得，由兩角和的正弦公式得，故C正確.故選：C37．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關系式求解.【詳解】因為，則，則，所以，而，則，所以.故選：C二、多選題38．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）下列各式化簡正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦、余弦的兩角和差公式即可逐一求解.【詳解】對于A選項，，故A正確；對于B選項，，故B錯誤；對于C選項，，故C正確；對于D選項，，故D正確，故選：ACD.39．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）已知是方程的兩根，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，及三角恒等變換一一判定選項即可.【詳解】由題意可知，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，由C可知，故D正確.故選：ABD40．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）已知，且是方程的兩根，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由方程解出，利用兩角和與差的正弦余弦正切公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，求解各選項中的算式，驗證選項.【詳解】是方程的兩根，又，解得，，A選項正確；，B選項錯誤；，C選項錯誤；，，則，有，，，D選項正確.故選：AD.41．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）下列等式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用正弦函數(shù)兩角和公式展開后再利用正切公式可對A判斷；逆用正弦函數(shù)兩角差公式可對B判斷；利用正余弦兩角差公式可對C判斷；逆用正切兩角和公式即可對D判斷.【詳解】對A：，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，，故C錯誤；對D：，故D正確.故選：AD.三、填空題42．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）已知，則．【答案】【分析】先利用誘導公式對已知等式化簡求出，再利用兩角差的正切公式求解.【詳解】由，得，所以，所以.故答案為：43．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）若，，則.【答案】【分析】由題設求出，利用拆角變換，將化成，利用和角公式計算即得.【詳解】由，可得，則，于是，

.故答案為：.44．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）已知是銳角，，則的值為.【答案】【分析】先由已知結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值確定，再由正弦展開式結(jié)合拆角計算得到最后結(jié)果.【詳解】因為，，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，故答案為：.45．（2024高三·全國·專題練習）若，且，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)條件，得出，利用平方關系得到，進而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，又，所以，又，所以，又，故，所以，得到，又，所以，又，所以，故答案