拓展10-1 三角恒等變換高頻題型專攻（解析版）-1

拓展10-1三角恒等變換高頻題型專攻一、給角求值五、三角恒等變換與三角函數(shù)的結合二、給值求值六、三角恒等變換與向量的結合三、給值求角七、三角恒等變換的實際應用四、三角函數(shù)式的化簡與證明八、輔助角公式的高級應用一、給角求值【例1】（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A【例2】（多選）下列式子的運算結果為的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，所以，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：ABC【變式1-1】計算（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】因為.故選：D.【變式1-2】．【答案】/【詳解】因為，則，所以.故答案為：.【變式1-3】著名數(shù)學家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學之父”，他倡導的“0.618優(yōu)選法”又稱黃金分割法在生產和科研實踐中得到了非常廣泛的應用經研究，黃金分割比還可以表示成，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【詳解】由題意知，，則.故選：C二、給值求值【例3】已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，則，且，可得，所以.故選：A.【例4】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，即，可得所以.故選：D.【變式2-1】已知，則.【答案】【詳解】.故答案為：.【變式2-2】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】已知，則，所以，聯(lián)立，結合，解得，則，故.故選：D.【變式2-3】已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，則，且，可得，則，，所以，故選：A.三、給值求角【例5】若，，并且均為銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，可得，又，所以，因為，，所以，所以，又因為，所以.故選：C【例6】已知，其中．求：(1)的值；(2)求角的值【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為且，可得，所以則.（2）解：由（1）知，因為，可得，又因為，所以，可得，所以，所以.【變式3-1】已知，，，，則．【答案】【詳解】由得，因，則，則，因為，，則，則，則，則，則，，則.故答案為：.【變式3-2】若，則.【答案】/【詳解】，故由，得.又，又，則，又，所以.故答案為：.【變式3-3】已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：.（2）由（1）可知：，則，∵，，則，，可得，故四、三角函數(shù)式的化簡與證明【例7】化簡與證明：(1)．(2)．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）.（2）左邊.左邊右邊，得證.【例8】化簡：.【答案】【詳解】原式.【變式4-1】化簡或證明：(1)(2)【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）原式（2）左邊右邊.【變式4-2】(1)證明恒等式：(2)化簡：【答案】(1)證明過程見解析(2)【詳解】（1）得證.（2）【變式4-3】化簡：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）原式．∵，∴，∴，∴原式．（2）原式．（3）原式．五、三角恒等變換與三角函數(shù)的結合【例9】函數(shù)在區(qū)間上的一個對稱中心是，則的值為.【答案】【詳解】由題意得，，令，得，當時，，，故的值為.故答案為：.【例10】（多選）已知，函數(shù)的最小正周期為，則下列結論正確的是（

）A．點是函數(shù)的一個對稱中心B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D．函數(shù)的圖象關于直線對稱【答案】ABD【詳解】由題可知，最小正周期為，，，令，點是的一個對稱中心，A正確；，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，B正確；，C錯誤；，當，函數(shù)的圖象關于直線對稱，D正確.故選：ABD.【變式5-1】設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則．【答案】/【詳解】因為所以，因為是奇函數(shù)，所以，，又，所以，，故答案為：.【變式5-2】（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上的值域為C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象關于y軸對稱D．若方程在上恰好有一個根，則m的取值范圍為【答案】BC【詳解】函數(shù)，對于A，函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；對于B，當時，，，則，B正確；對于C，，是偶函數(shù)，C正確；對于D，當時，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從1增大到，在上遞減，函數(shù)值從減小到，程在上恰好有一個根，即直線與函數(shù)在上的圖象只有一個交點，或，即或，D錯誤.故選：BC【變式5-3】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值，及取最小值時的的值；(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間．【答案】(1)當，時，取得最小值：.(2)最小正周期為：；單調遞減區(qū)間為：，【詳解】（1）.所以的最小值為，此時：，，即，.（2）將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，再將的圖象向右平移個單位，得到.由，得函數(shù)的最小正周期為.由，得，，所以，.所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為：，.六、三角恒等變換與向量的結合【例11】已知向量，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【詳解】由得兩邊平方，，又，，.故選：B.【例12】設在平面上有兩個向量與不共線.(1)求證：向量與垂直；(2)當向量與的模相等時，求的大小.【答案】(1)證明見解析(2)或.【詳解】（1）由已知得，則因，故與垂直.（2）依題意，，兩邊平方得，即，因故得.即，整理得，，因，則，故得或，解得或.【變式6-1】（多選）已知向量，則下列命題正確的是（

）A．存在，使得 B．當時，與垂直C．對任意，都有 D．當時，【答案】BD【詳解】對于A，若，則，由于，故不存在，使得，A錯誤，對于B，當時，此時，故與垂直，B正確，對于C，，當時，此時，故C錯誤，對于D，當，則，且為銳角滿足，故,，故D正確故選：BD【變式6-2】如圖所示，在同一個平面內，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若，則.【答案】【詳解】以O為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則，由，，得，，，，由，得點，由，得點，即，，而，由，得，解得，所以.故答案為：【變式6-3】如圖，設，是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標系中的坐標，記為(1)若在該坐標系下，，計算的大小(2)若在該坐標系下，已知，，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，，，由，，得，所以，即；（2）由題意可知，所以，，所以，令，，又因為，且，所以，所以，即，又因為函數(shù)在單調遞增，即時，函數(shù)取到最大值3，即，則有，所以當時，的最大值為.七、三角恒等變換的實際應用【例13】露天電影就是在室外放的電影，在我國七十年代開始流行，觀看者不需要買票，可以隨意進場觀看.已知某地在播放露天電影，幕布上、下邊緣距離為d米，幕布的下方邊緣距離觀眾水平視線上方a米，為使看電影時的視角（即從幕布上、下邊緣引出的光線在人眼光心處所成的夾角）最大，應坐在距離幕布米處.（用a，d表示）【答案】【詳解】如圖，設分別為幕布上下邊緣，觀影者位于點處，則由條件可得，，設，則，，則，當且僅當，即時，“”成立，又因為在上為增函數(shù)，所以坐在距離幕布米處，視角最大.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：設分別為幕布上下邊緣，觀影者位于點處，設，得出，，再根據兩角差的正切公式化簡是解決本題的關鍵.【例14】如圖，有一塊矩形草坪，，，欲在這塊草坪內鋪設三條小路、和，要求是的中點，點在邊上，點在邊上，且.（1）設，試求的周長關于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經核算，三條路的鋪設費用均為元每米，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？【答案】（1），；（2）當米時，鋪路總費用最低.【詳解】（1）中，，，，.中，，，，.又，，，當點在點時，這時角最小，求得此時；當點在點時，這時角最大，求得此時.故此函數(shù)的定義域為；（2）由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求的周長的最小值即可.由（1）得，，，設，因為，則，，當時，，因為，所以，，，從而，當時，即時，，所以當米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元.【變式7-1】在△ABC中，AB邊上的高，則的最小值為.【答案】【詳解】，，∴，，，∵，∴，∴當時，x＋y的最小值為.故答案為：.【變式7-2】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內部刻有四個字“同治通寶”．某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內部圖紙設計如圖2所示，小圓直徑為，內嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長小），每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內用于刻銅錢上的字．設，五個正方形的面積和為．(1)求面積關于的函數(shù)表達式；(2)求面積最小值．【答案】(1)，，銳角滿足(2)【詳解】（1）解：由圖可知，小正方形的邊長為，且，大正方形的邊長為，所以，，因為小正方形邊長小于內嵌一個大正方形的邊長，所以，可得，設且滿足，所以，，，銳角滿足.（2）解：，銳角滿足，因為，則，且，則，因為，且，所以，，所以，此時，則，因此，面積的最小值為．【變式7-3】某形場地，，米（、足夠長）.現(xiàn)修一條水泥路在上，在上），在四邊形中種植三種花卉，為了美觀起見，決定在上取一點，使且.現(xiàn)將鋪成鵝卵石路，設鵝卵石路總長為米.

（1）設，將l表示成的函數(shù)關系式；

（2）求l的最小值.【答案】（1）見解析；（2）20.【詳解】試題分析：（1）設，可得：，；（2）利用二次函數(shù)求最值即可.試題解析：（1）設米，則即,（2），當，即時，取得最小值為，的最小值為20.答：的最小值為20.八、輔助角公式的高級應用【例15】若函數(shù)的兩個零點分別為和，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)，其中，由，得，而，因此，即，則即，所以.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：利用輔助角公式化簡，結合正弦函數(shù)的性質用零點表示輔助角是求解問題的關鍵.【例16】已知，若為的最小值點，求．【答案】【詳解】．其中，依題意，得，∴，∴．【變式8-1】已知函數(shù)，若存在滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)，其中，，，，是在內的兩根，又，，則在有對稱軸滿足，故有，則，那么