特訓(xùn)04 平面向量及其應(yīng)用 選填壓軸題（八大題型）（解析版）

特訓(xùn)04平面向量及其應(yīng)用選填壓軸題（八大題型）目錄：題型1：平面向量基本定理及其應(yīng)用—求值問題題型2：平面向量基本定理及其應(yīng)用—最值、取值范圍問題題型3：解三角形—化簡求值、取值范圍問題題型4：向量的模、數(shù)量積應(yīng)用難點(diǎn)分析題型5：平面向量與解三角形綜合題型6：新定義題題型7：多選題—綜合辨析題型8：多選題—圖形的綜合應(yīng)用題型1：平面向量基本定理及其應(yīng)用—求值問題1．（23-24高一下·廣東·階段練習(xí)）在中，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算及三點(diǎn)共線求得，由此求得的值，即可得到結(jié)果.【解析】∵，∴，∴.∵A，P，D三點(diǎn)共線，∴.∵，∴.∵E是邊AB的中點(diǎn)，∴.∵E，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故選：A.2．（24-25高一上·遼寧大連·期末）如圖，已知分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，，與交于，連接并延長交于點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由共線、共線分別可得、，進(jìn)而得、求參數(shù)，得，最后由且共線求參數(shù).【解析】由共線，則，，所以①，由共線，則，，所以②，由①②知：，則，故，由，則，由共線，則，可得.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令、，利用不同參數(shù)及表示出為關(guān)鍵.題型2：平面向量基本定理及其應(yīng)用—最值、取值范圍問題3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，，I是的平分線上一點(diǎn)，且，若內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)D滿足，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將向量歸一化可得，結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合題意列式求解即可.【解析】設(shè)，則，且，可得，則，可得，即，可得，則，因?yàn)?，則，可得，所以，因?yàn)?，解得，所以?shí)數(shù)x的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是以為基底表示出.本題的難點(diǎn)在于用表示出向量.4．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)（如圖所示）．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)解得，再根據(jù)的范圍可得答案.【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，因?yàn)?，所以，可得，解得，所以，因?yàn)?，所以，可得，所?故選：B.【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：向量平行(共線)、垂直、線性運(yùn)算與三角函數(shù)的綜合此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關(guān)系、線性運(yùn)算得到三角函數(shù)式，再利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．5．（24-25高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得，，設(shè)，且，由，整理得，結(jié)合進(jìn)而可得結(jié)果.【解析】設(shè)，即，可得，因?yàn)?，即，整理可得，且不共線，則，解得，即，，又因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），設(shè)，且，可得，則可得，可得，且，可得，所以的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得；2.根據(jù)三角形可設(shè)，且，用表示，即可得結(jié)果.6．（22-23高三上·天津南開·階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則，若點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】表達(dá)出，利用向量數(shù)量積公式得到；設(shè)，，表達(dá)出，，利用向量數(shù)量積公式得到，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.【解析】，，故，，故；點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，其中，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：，【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.題型3：解三角形—化簡求值、取值范圍問題7．（23-24高一下·重慶·期末）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面積公式得到，再將切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式得到，利用正弦定理將角化邊得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理計(jì)算可得.【解析】因?yàn)?，又，所以，又，所以，所以，即，顯然，所以，因?yàn)?，，又，所以，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理，即，所以，則，由余弦定理，又，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出、，再由余弦定理計(jì)算可得.8．（23-24高一下·安徽·期末）若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．角C為鈍角 B．C．的最小值為 D．【答案】C【分析】選項(xiàng)A，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式對(duì)已知等式化簡可得，即可判斷；選項(xiàng)B，由A和余弦定理，即可判斷；選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)B的結(jié)論，再根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、正弦定理和余弦定理，可推出，從而可判斷；選項(xiàng)C，結(jié)合選項(xiàng)D的結(jié)論，再由三角形的內(nèi)角和定理與正切的兩角和公式，結(jié)合基本不等式，即可判斷．【解析】對(duì)于A，∵，∴，即，∴，又，∴一定為鈍角，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由余弦定理知，，化簡得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于D，∵，∴，故選項(xiàng)D正確；對(duì)于C，∵，∴，∵為鈍角，則，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.9．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理結(jié)合面積公式，再應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，由正弦定理邊角互化，再應(yīng)用兩角和差公式化簡，最后應(yīng)用基本不等式及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即得.【解析】在銳角，由余弦定理可知，由面積公式可得，代入到已知條件可得，因?yàn)?，化簡可得，根?jù)恒等變換可得，因?yàn)殇J角，所以，所以可得，所以，則，因?yàn)殇J角，所以，則，在單調(diào)遞增，則，令，所以，所以，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，是極小值，當(dāng)或時(shí)，最大值，則.故選：C10．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得，結(jié)合條件可得取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍，令，則，然后由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求出．【解析】在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得，進(jìn)而可以求解.11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理可得，再根據(jù)三角恒等變換可得，由三角形形狀得出角的取值范圍可得結(jié)果.【解析】由及正弦定理得，所以，得，所以或（舍去），所以，因?yàn)槭卿J角三角形，故，解得，故，，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用二倍角公式將化簡得出對(duì)應(yīng)表達(dá)式，由得出取值范圍.題型4：向量的模、數(shù)量積應(yīng)用難點(diǎn)分析12．（23-24高一下·廣東廣州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題，用判別式來解，算出，借助，得到，的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，最后用絕對(duì)值的三角不等式來解即可【解析】根據(jù)題意，，，兩邊平方，整理得到，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，解得，則.由于，如上圖，，則，則的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)終點(diǎn)在同一直線上時(shí)取等號(hào).故選：B．13．（23-24高一下·山東日照·期中）已知平面向量對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立．若，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè),由題意可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，作出圖形，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，結(jié)合圖形，推得在上的射影長的最大值為，通過設(shè)，將的最大值表示成關(guān)于的三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)的值域即可求得范圍.【解析】如圖，設(shè),則,因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)都有，成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立，因與共線，與共線，由直線外一點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線中垂線段最短原則，知必有，,即點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為.則，而為向量在上的射影的長.過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，因則，則在上的射影即在上的射影，而由圖知在上的射影長的最大值為，（當(dāng)重合時(shí)取得最大值），則,不妨設(shè),則于是，，因，則，而，即的最大值為，當(dāng)C與O重合，B與A重合時(shí)，均取到最大值2，，此時(shí)取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查向量數(shù)量積的范圍問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：其一，由題設(shè)兩個(gè)不等式得出，其二，求解時(shí)，應(yīng)利用向量數(shù)量積的幾何意義—投影向量，結(jié)合圖形理解并轉(zhuǎn)化求解.14．（23-24高一下·廣東東莞·期末）已知圓的半徑為1，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓內(nèi)接正2024邊形，則，.【答案】14048【分析】根據(jù)，可得第一空答案；由、可得第二空答案.【解析】圓內(nèi)有1012對(duì)對(duì)頂角相等的全等三角形，在每一對(duì)三角形中，如，與中，設(shè)、中點(diǎn)分別為、，則、、在一條直線上，且，則，，可得，所以，同理，，所以，所以；.故答案為：①1；②4048.【點(diǎn)睛】思路大家：在第二空中，主要是和可得第二空答案.題型5：平面向量與解三角形綜合15．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，其中，，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由，設(shè)，，則，所以三點(diǎn)共線，由等面積法可得的最小值.【解析】根據(jù)題意，，所以，即，由，設(shè)，，則，所以三點(diǎn)共線，如圖，則的面積，，當(dāng)時(shí)，最小，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，設(shè)，，則，所以三點(diǎn)共線.16．（23-24高一下·四川·期末）中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且分別為的外心和內(nèi)心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的長度為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由已知可得在的垂直平分線上，由，可得，進(jìn)而由正弦定理可得，的值最大，進(jìn)而計(jì)算可求.【解析】由，所以，所以在的垂直平分線上，設(shè)為的中點(diǎn)，可得，，所以，從而，由正弦定理可得，所以，當(dāng)，，又要使的值最大時(shí)，則為銳角，所以，從而為等腰直角三角形，所以，所以均在斜邊的垂直平分線上，即為內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，解得，所以.故選：A.本題主要考查向量的幾何運(yùn)算及外接圓，內(nèi)切圓的性質(zhì)、正弦定理的應(yīng)用，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡單）．17．（23-24高一下·安徽六安·期末）在中，已知為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件依次可求得邊和角的三角函數(shù)值，從而將向量等式化簡，利用平面向量基本定理得到，最后利用常值代換法即可求得.【解析】由①，由和正弦定理可得②，把②代入①可得，，又由可得代入①可得，，則角是銳角，，代入①可得，，又由余弦定理，得，于是，，因?yàn)榫€段上的一點(diǎn)，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查正、余弦定理，平面向量基本定理和向量數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式得應(yīng)用，屬于難題.解決此類題，一般從各個(gè)邊、角的等式轉(zhuǎn)化入手，運(yùn)用相關(guān)公式或定理各個(gè)擊破，得出一系列信息，最后借助于主干條件，如此題的得出，從而使問題得解.18．（22-23高一下·湖南·期中）在中，點(diǎn)O滿足，且AO所在直線交邊BC于點(diǎn)D，有，，，則的值為.【答案】2【分析】由題干條件得到點(diǎn)為的內(nèi)心，再由切線長定理和向量數(shù)量積公式變形得到答案.【解析】，變形為，即，其中表示方向上的單位向量，表示方向上的單位向量，故在的平分線上，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，故，故平分，故點(diǎn)為的內(nèi)心，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，作⊥于點(diǎn)，作⊥于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，由向量?shù)量積得，故.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心.題型6：新定義題19．（23-24高一下·湖南·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為.【答案】【分析】利用為的內(nèi)心，再結(jié)合奔馳定理可得，再由已知條件轉(zhuǎn)化可得，利用平面向量基本定理可知，從而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.【解析】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，又，則，所以，兩式相加可得，化簡可得，又，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用奔馳定理得到，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.20．（23-24高一下·北京·期中）已知．在中，設(shè)，定義：．設(shè)或．給出下列四個(gè)結(jié)論：①②；③若，則；④，都有，則最多有個(gè)元素．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】利用給定定義判定①，依據(jù)定義展開計(jì)算判定②，舉反例判定③，分析給定定義判定④即可.【解析】對(duì)于①，其實(shí)就是每個(gè)分量的乘法分配律，則，必定成立，故①正確；對(duì)于②，則其等價(jià)于，右邊展開以后是包含左邊的，但還多出了一些非負(fù)的項(xiàng)，所以②也正確.對(duì)于③，如果時(shí)，那么任意取均可成立，故③錯(cuò)誤，對(duì)于④，它的含義是，中任意兩個(gè)元素，不能在同一個(gè)位置取1，這就意味著第位取1的向量至多有一個(gè)，這表明中的全部向量的全部分量總共至多有個(gè)1，從而的非零元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，從而的元素不超過個(gè)，則顯然能取到，即滿足，即的第位為1，別的均為0，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義問題，解題關(guān)鍵是合理分析題意，然后結(jié)合反例法，逐個(gè)判斷即可．21．（23-24高一上·浙江紹興·期末）費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為.已知在中，，為的費(fèi)馬點(diǎn)，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，利用正弦定理將表示為關(guān)于的式子，然后利用三角恒等變形與三角函數(shù)的值域求的取值范圍即可.【解析】設(shè)，則，，由得，解得，滿足，，

在中，，可得，同理可得，所以，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，最大值為，結(jié)合，可得的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，由最小值，即的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于三角中有關(guān)邊的最值問題，我們通常利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，然后利用三角公式變形求最值.題型7：多選題—綜合辨析22．（24-25高一上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在梯形中，，，為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．向量與共線C．D．若，則最大值【答案】ACD【分析】利用平面向量的基本定理求出關(guān)于、的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，結(jié)合平面向量共線的基本定理可判斷B選項(xiàng)；推導(dǎo)出，可得出、、面積的關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于的表達(dá)式，可求出的最大值，可判斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即，所以，，因?yàn)?，則存在，使得，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，可得，因?yàn)?、不共線，所以，，解得，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，、不共線，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，則，故，同理可得，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉榫€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則存在，使得，所以，，因?yàn)?、不共線，則，，故，因此，的最大值為，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于選擇基底，將問題中相關(guān)的向量利用基本向量加以表示，再結(jié)合平面向量相關(guān)知識(shí)求解.23．（24-25高三上·吉林松原·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心D．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到，同理得到，故；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，故，故⊥，取的中點(diǎn)，同理可得⊥，點(diǎn)P是的外心，故；C選項(xiàng)，由正弦定理得到，故，點(diǎn)P在的中線上，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，從而得到，點(diǎn)在的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心.【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，故點(diǎn)是的垂心，故，故A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，則，故，故⊥，取的中點(diǎn)，則，故，故⊥，故點(diǎn)P是的外心，故，B正確；C選項(xiàng)，由正弦定理得，故，故，取的中點(diǎn)，則，故點(diǎn)P在的中線上，重心在其上，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，設(shè)的中點(diǎn)，，所以，，所以，故點(diǎn)在的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，24．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期末）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)在邊上，為角平分線且長度為，則B．若為邊的中點(diǎn)，且，則的面積的最大值為C．的取值范圍是D．若，且只有一解，則的取值范圍為【答案】ABC【分析】根據(jù)余弦定理與正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)角分線利用等面積法可判斷A選項(xiàng)；結(jié)合轉(zhuǎn)化法表示向量的模，再根據(jù)基本不等式可得面積的最值，判斷B選項(xiàng)；根據(jù)三角恒等變換可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)三角形解的情況可判斷D選項(xiàng).【解析】由已知，根據(jù)余弦定理可知，即，再由正弦定理可得，又，即，所以，即，又，，所以，，A選項(xiàng)：為角平分線，則，所以，即，即，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由為邊的中點(diǎn)，則，即，所以，即，又，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由三角形可知，又在中，，，即，所以，即，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，且只有一解，則或，即或，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.25．（23-24高一下·湖南永州·期末）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，且，則B．若，則的面積與的面積之比為C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心D．若E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，且，，則的最大值為【答案】ACD【分析】A將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積；B將拆成，然后根據(jù)線性運(yùn)算得到，然后求面積比即可；C由題意得，然后根據(jù)得到，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心；D根據(jù)得到點(diǎn)的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點(diǎn)的軌跡求最值.【解析】A選項(xiàng)，，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，，即，所以點(diǎn)為中位線靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，則，結(jié)合題設(shè)所以，所以，又的中點(diǎn)為，所以在的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合上圖，,當(dāng)為直徑時(shí)最大，最大為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)量積的計(jì)算方法（1）定義法；（2）坐標(biāo)法；（3）轉(zhuǎn)化法；（4）幾何意義法.題型8：多選題—圖形的綜合應(yīng)用26．（22-23高一下·吉林長春·階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．在向量上的投影向量為C．若，則為的中點(diǎn)D．若在線段上，且，則的取值范圍為【答案】BD【分析】以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，可判斷A；求得在向量上的投影向量判斷B；計(jì)算可得符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)判斷C；計(jì)算，計(jì)算可判斷D.【解析】如圖所示：以為軸，