D10-3三重積分-柱坐標與極坐標

利用柱坐標計算三重積分步驟考慮是否用柱坐標計算化為柱坐標系下三重積分積分次序：定限方法：化為累次積分計算累次積分注意對一個變量積分時，將其余變量視為常數(shù)Ω投影為圓或圓一部分f(x,y,z)中含有或三變、一勿忘積分區(qū)域Ω柱坐標表示被積函數(shù)體積元素一個勿忘普通先z后ρ再θ投影、發(fā)射第1頁利用球坐標計算三重積分步驟考慮是否用球坐標計算化為球坐標系下三重積分積分次序：定限方法：化為累次積分計算累次積分注意對一個變量積分時，將其余變量視為常數(shù)．Ω球或球一部分f(x,y,z)中含有三變、一勿忘積分區(qū)域Ω球坐標表示被積函數(shù)體積元素一個勿忘普通先r后φ再θ．觀察、想象．第2頁三重積分定義和計算在直角坐標系下體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）小結(jié)方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”第3頁2.確定上下曲面函數(shù)，得z積分限;1.把Ω往xoy平面上投影,得積分區(qū)域D;3.先求關(guān)于z定積分,得x,y二元函數(shù);4.再求關(guān)于x,y二重積分.先一后二”積分法基本步驟:對z∈[a,b]用過點(0,0,z)且平行xOy平面平面去截Ω，得截面Dz;1.把Ω向z軸投影,得z積分限[a,b];3.先求關(guān)于x,y二重積分,得“先二后一”積分法基本步驟:4.最終計算單積分第4頁第三節(jié)一、三重積分概念

二、三重積分計算三重積分第十章第5頁回想用投影法（先一后二）計算三重積分假如積分區(qū)域

在坐標面上投影區(qū)域D是圓域則二重積分應(yīng)該考慮用極坐標計算.這就等于用柱面坐標計算三重積分.2.利用柱坐標計算三重積分

第6頁2.利用柱坐標計算三重積分

就稱為點M柱坐標.直角坐標與柱面坐標關(guān)系:坐標面分別為圓柱面半平面平面第7頁在柱面坐標系中體積元素為所以元素區(qū)域由六個坐標面圍成第8頁如圖所表示,在柱面坐標系中體積元素為所以其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量相互分離.第9頁常見曲面柱面坐標方程曲面直角坐標方程柱面坐標方程半球面圓錐面旋轉(zhuǎn)拋物面圓柱面圓柱面圓柱面第10頁常見曲面柱面坐標方程第11頁2、利用公式用柱面坐標計算三重積分普通步驟：1、將區(qū)域往xoy面上投影，確定平面區(qū)域D3、過D內(nèi)任一點（x，y）做平行于z軸直線，穿區(qū)域

確定z上下限；4、在

D上分別確定r、

上下限（類同于平面極坐標）次序為：zr將

邊界曲面、被積函數(shù)f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為柱面坐標系下形式；柱面坐標慣用于：圓柱體和圓錐體上三重積分。第12頁例1.

計算三重積分所圍成.與平面其中

由拋物面在柱面坐標系下原式=解:

在xOy面上投影區(qū)域D:

上邊界曲面為z=4

下邊界曲面為z.第13頁例2.計算解：故在xOy平面得交線上投影區(qū)域為所圍成.與平面其中

由圓錐面上邊界曲面為z=4

下邊界曲面為z.第14頁解:例3.

計算三重積分所圍成.與拋物面其中

由球面知交線為由原式=上邊界:下邊界:第15頁其中

為例4.計算三重積分所解:在柱面坐標系下及平面由柱面圍成半圓柱體.第16頁3.利用球坐標計算三重積分

就稱為點M球坐標.直角坐標與球面坐標關(guān)系坐標面分別為球面半平面錐面第17頁半平面

及+d

；

半徑為r及r+dr球面；圓錐面

及+d

r

drd

rsin

xz

y0圓錐面

rd

球面r圓錐面+d

球面r+dr元素區(qū)域由六個坐標面圍成：d

rsin

d

球面坐標下體積元素第18頁元素區(qū)域由六個坐標面圍成：球面坐標下體積元素半平面

及+d

；

半徑為r及r+dr球面；圓錐面

及+d

r

drd

xz

y0

d

rd

rsin

d

.dv第19頁如圖所表示,在球面坐標系中體積元素為所以有其中第20頁球面坐標直角坐標球體下面介紹一些區(qū)域球面坐標描述第21頁球面坐標直角坐標球體第22頁球面坐標直角坐標球頂錐體第23頁常見曲面在球坐標下方程第24頁次序為:

r

2.將區(qū)域

往xoy面上投影，確定平面區(qū)域D，4.過原點做射線，穿區(qū)域確定r上下限.1.關(guān)系式3.對任一

，過z軸做半平面，找出

角改變最用球面坐標計算三重積分普通步驟：將邊界曲面、被積函數(shù)f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為球面坐標系下形式；由D找出

上下限；大與截面，確定

上下限注：當(dāng)積分區(qū)域由球面、錐面或其一部分所圍時，選取球面坐標計算較簡便。第25頁例5.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中

與球面第26頁例6.求半徑為a球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成立體體積.解:在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為第27頁

求半徑為a球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成于是所求立體體積為

此球面方程為x2

y2

(z

a)2

a2

即x2

y2

z2

2az

例6.立體體積

由圓錐面和球面圍成,解:采取球面坐標，錐面方程為

在球面坐標下球面方程為r

2acos

,

第28頁例7.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中

面是由兩個球第29頁第30頁解:

例7.計算三重積分所圍立體.其中

面是由兩個球原式

第31頁z

Oxya.M.r

解:在球面坐標系下10(2).計算其中

由不等式

所確定.

第32頁..解:在球面坐標系下10(2).計算其中

由不等式

所確定.

第33頁所圍成閉區(qū)域.11(2).計算其中

是由球面解:在球面坐標系下第34頁所圍成閉區(qū)域.10(1).計算其中

是由球面解:在球面坐標系下第35頁所圍成在第一卦限內(nèi)閉區(qū)域.11(1).計算其中

為柱面解:在柱面坐標系下及平面第36頁11(2).求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xOy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yOz面對稱,并與xOy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關(guān)于xOz

第37頁3.

設(shè)

由錐面和球面所圍成,計算提醒:利用對稱性用球坐標第38頁內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡練,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明:三重積分也有類似二重積分換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;第39頁作業(yè)P1649，10，11（1，2）。

第四節(jié)第40頁例7.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xOy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yOz面對稱,并與xOy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關(guān)于xOz

第41頁3.計算其中解:利用對稱性第42頁1.

將用三次積分表示,其中

由所提醒:思索與練習(xí)六個平面圍成,第43頁44例8解1解2第44頁例9解第45頁例10解第46頁備用題

1.

計算所圍成.其中

由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采取“三次積分”很好.第47頁所圍,故可思索: