醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué) 1.3函數(shù)的連續(xù)性學(xué)習(xí)資料

一、連續(xù)函數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)變化的曲線對應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)

如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的．函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映．0xy

設(shè)變量從它的一個初值變到終值，終值與初值的差就叫做變量的增量（或稱改變量），記作，即1.函數(shù)的增量一、連續(xù)函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在點附近有定義,把附近的點記為,則稱為自變量由變到的增量.為函數(shù)在點的增量.2．函數(shù)連續(xù)性的定義

定義1-9

設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,如果時,也有,即注意故定義中1-9的極限式等價于則稱函數(shù)在點處連續(xù),稱為的連續(xù)點.【定義12】設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義,若當時,函數(shù)f(x)的極限存在且等于f(x0),即則稱函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù).即函數(shù)在點(1)在點即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;。由函數(shù)在一點x0處的連續(xù)定義及,有例1-29

討論函數(shù)在的連續(xù)性解所以在連續(xù)．單側(cè)連續(xù)顯然即：例1-30

設(shè)在點處連續(xù),問、應(yīng)滿足什么關(guān)系?解連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例1-31證明3．函數(shù)的間斷點函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點,即滿足下列三個條件之一的點為函數(shù)的間斷點.例解:例1-32解例1-33在的連續(xù)性解二、初等函數(shù)的連續(xù)性(1)一切基本初等函數(shù)在其有定義的點都是連續(xù)的.

(2)若函數(shù)與在點連續(xù),則函數(shù)

在連續(xù).三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

【定理7】設(shè)函數(shù)當時極限存在且等于,即;函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)點連續(xù),即,則復(fù)合函數(shù)當時的極限也存在且等于,即。理解：【推論5】設(shè)函數(shù),當時連續(xù),即,函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)點連續(xù),則復(fù)合函數(shù)當時連續(xù),即:例20求極限。解：函數(shù)可看作由復(fù)合而成,因為,而在相應(yīng)點連續(xù),根據(jù)定理7有例1-37解,而函數(shù)在點連續(xù),所以例21討論函數(shù)的連續(xù)性。解：函數(shù)可看作由復(fù)合而成,因為在上連續(xù),在上連續(xù)。

上連續(xù),根據(jù)推論5得在練習(xí)1:求解:原式練習(xí)2:求解:令則原式說明:當時,有是由連續(xù)函數(shù)在上連續(xù).練習(xí)4：討論的連續(xù)性解：因此復(fù)合而成,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的,所謂定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。四、初等函數(shù)的連續(xù)性解：續(xù)區(qū)間就是它的定義區(qū)間,f(x)在(-∞,-1)及在(-1,1)∪(1,+∞)上有定義,故f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-∞-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).又因為x=0為f(x)例22求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間,并求當時,f(x)的極限。因為是初等函數(shù),所以f(x)的連例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如,連續(xù)區(qū)間內(nèi)一點,所以,即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單值,單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù),則其反函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上也單值、單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)。內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明:分段函數(shù)在分界點處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性。

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)ab

定理1-3（最值定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上必有最大值和最小值．推論（有界性定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上必有界．a(chǎn)bf(a)f(b)

定理1-4（介值定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，則對介于和之間的任何數(shù)，至少存在一個，使得

其幾何意義為連續(xù)曲線弧與水平直線至少相交于一點．即為方程的根．注：根不一定唯一ba

推論2（零點定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號（即)，則至少存在一個，使得

推論1：在閉區(qū)