浙江省臺州市路橋區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級數(shù)學(xué)期末試卷（原卷版+解析版）

2024學(xué)年第一學(xué)期八年級期末試卷數(shù)學(xué)（滿分：120分考試時間：120分鐘）溫馨提示：本卷分試題卷和答題卷兩部分，答案一律做在答題卷上，做在試題卷上無效．一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分．請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1.壯麗祖國，一山一水皆是畫卷；秀美江山，一草一木皆是詩篇，一個符號一座城．下列四個省份的徽標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）A B. C. D.2.“納米機器人”是機器人工程學(xué)的一種新興科技，我國首創(chuàng)的一款溶栓納米機器人的體積極小，長度約為，將數(shù)據(jù)0.00000117用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.下列計算正確是（）．A B. C. D.4.工人師傅準(zhǔn)備把一根長為的木條截成三段，圍成一個等腰三角形支架，若第一段木條的長為，則第二段木條的長是（）A. B. C. D.5.下列式子從左到右運算正確的是（）A. B. C. D.6.如圖1是路橋博物館中的鋪首紋青釉點彩盤口壺，其示意圖如圖2所示，為了測量其底部內(nèi)徑，考古學(xué)家將兩根細木條的中點固定在一起，量出兩點之間的距離，即可得到的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩點之間，線段最短7.如圖，正八邊形和正六邊形的一邊重合，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.8.四張全等的梯形硬紙板可拼成平行四邊形（如圖1），也可拼成正方形（如圖2），根據(jù)兩個圖形中陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于的等式為（）A. B.C. D.9.如圖，是的邊上的一點，點關(guān)于的對稱點恰好落在上，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.10.如圖，在中，為上一點，，為上一點，，若要求和的周長之差，則只需要知道（）A.的值 B.的值 C.的值 D.的值二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）11.因式分解：______．12.使分式等于0的的值是______．13.如圖中的兩個三角形全等，則的度數(shù)為______．14.如圖，在中，，，是的平分線，若的面積為12，則的長為______．15.如圖，在中，，，垂足為點，若，，則和的面積之比為______．16.如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，若以為邊在其右側(cè)作等邊三角形，連接，則的最小值為______．三、解答題（本題有8小題，第17～21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共72分）17.計算：（1）；（2）．18.先化簡，再求值：，其中．19.如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上．（1）點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為______；（2）作出與關(guān)于軸對稱的．20.如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）求證：．21.觀察下列兩位數(shù)相乘的運算規(guī)律：，，，……設(shè)其中一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為，另一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為（均為小于10的正整數(shù)）．（1）請用含的等式表示上述運算規(guī)律：______；（2）請證明上述運算規(guī)律．22.尺規(guī)作圖問題：已知：，求作：的平分線．小聰?shù)淖鞣ǎ喝鐖D1，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，再以點為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點．連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．小慧的作法：如圖2，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，在上任取一點，再以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．老師的觀點：小聰?shù)淖鞣ㄊ钦_的，小慧的作法不一定是正確的．（1）如圖1，證明平分；（2）如圖2，說明小慧的作法中可能存在的問題．23.某農(nóng)場將800千克的葡萄平均分給甲、乙兩家水果店銷售，甲店不分類直接銷售，乙店分為小、中、大果進行銷售，其中小果免費品嘗，大果的售價是中果的倍，兩家水果店的銷售信息如表所示．已知用60元錢在乙店購買中果的質(zhì)量比購買大果的質(zhì)量多0.5千克，當(dāng)甲、乙兩家水果店的葡萄全部售完時，乙店的總售價比甲店多260元．水果店銷售方式質(zhì)量單價甲不分類400千克25元／千克乙小果免費中果240千克大果（1）乙店大果和中果的售價各是多少元／千克？（2）求乙店小果的質(zhì)量；（3）若甲店先以元／千克的批發(fā)價售賣千克的葡萄，再以元／千克的零售價賣完剩下的葡萄，總售價恰好與乙店相等，若均為正整數(shù)，求的值．24.【概念呈現(xiàn)】有一組角互補，另一組角相等，且相等兩個角對邊也相等的兩個三角形稱為“和合”三角形．如圖1，在與中，若，，，則與是“和合”三角形．【性質(zhì)探究】（1）如圖2，線段交于點，，，容易知道與是“和合”三角形．愛思考的小濤發(fā)現(xiàn)，在該組“和合”三角形中可構(gòu)造出全等三角形，他的作法如下：過點作，交于點．請證明；【拓展應(yīng)用】（2）如圖3，是等邊三角形的邊上的一動點，在的延長線上，，連接交于點，連接．①若，求的度數(shù)；②當(dāng)值為多少時，與是“和合”三角形．

2024學(xué)年第一學(xué)期八年級期末試卷數(shù)學(xué)（滿分：120分考試時間：120分鐘）溫馨提示：本卷分試題卷和答題卷兩部分，答案一律做在答題卷上，做在試題卷上無效．一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分．請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1.壯麗祖國，一山一水皆是畫卷；秀美江山，一草一木皆是詩篇，一個符號一座城．下列四個省份的徽標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形．熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解決問題的關(guān)鍵．如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一判斷，即得．【詳解】A、不是軸對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，不合題意．故選：C．2.“納米機器人”是機器人工程學(xué)的一種新興科技，我國首創(chuàng)的一款溶栓納米機器人的體積極小，長度約為，將數(shù)據(jù)0.00000117用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的個數(shù)所決定．確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．這里的．【詳解】解：．故選：A．3.下列計算正確的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法運算，積的乘方運算法則逐一分析判斷即可．【詳解】解：，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C符合題意；，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的乘法運算，同底數(shù)冪的除法運算，積的乘方運算，掌握基礎(chǔ)的運算法則是解本題的關(guān)鍵．4.工人師傅準(zhǔn)備把一根長為的木條截成三段，圍成一個等腰三角形支架，若第一段木條的長為，則第二段木條的長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三邊的關(guān)系，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分兩種情況：當(dāng)邊長為的邊為底邊時；當(dāng)邊長為的邊為腰長時，分別進行求解即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)邊長為的邊為底邊時，兩腰長，此時三角形另兩邊長分別為，，能組成三角形；當(dāng)邊長為的邊為腰長時，另一腰長，則底邊長，不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；綜上所述，三角形另邊長分別為，．故選D．5.下列式子從左到右運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，以及分式的加減，根據(jù)分式的性質(zhì)可判斷A，B，C，根據(jù)分式的加減可判斷D．【詳解】解：A．，故不正確；B．，故不正確；C．，正確；D．，故不正確；故選C．6.如圖1是路橋博物館中的鋪首紋青釉點彩盤口壺，其示意圖如圖2所示，為了測量其底部內(nèi)徑，考古學(xué)家將兩根細木條的中點固定在一起，量出兩點之間的距離，即可得到的長度，其依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是（）A.三邊分別相等兩個三角形全等B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩點之間，線段最短【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．先根據(jù)中點的定義，得出，，再根據(jù)對頂角相等得到，從而證得即可．正確運用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)兩根細木條的中點為，點O為、的中點，，，由對頂角相等得，在和中，，（兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等），，即只要量出的長度，就可以知道底部內(nèi)徑的長度，故選：B．7.如圖，正八邊形和正六邊形的一邊重合，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式，可得正八邊形的內(nèi)角、正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)角的和差，可得答案．本題考查了正多邊形和圓，利用正多邊形的內(nèi)角公式得出相應(yīng)正多邊形的內(nèi)角是解題關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，正八邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角，故．故選：B．8.四張全等的梯形硬紙板可拼成平行四邊形（如圖1），也可拼成正方形（如圖2），根據(jù)兩個圖形中陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于的等式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和正方形面積公式表示出陰影部分的面積．根據(jù)平行四邊形面積公式求出第一個圖形的面積，根據(jù)正方形面積公式求出第二個圖形陰影的面積．即可求出答案．【詳解】解：由第二個圖形看出，第一個圖形的高為，面積是，第二個圖形陰影的面積是，∵兩個圖形陰影部分的面積相等，∴，故選：A．9.如圖，是的邊上的一點，點關(guān)于的對稱點恰好落在上，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形折疊．熟練掌握軸對稱性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，平角性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱知，由三角形外角性質(zhì)得，由軸對稱得，由平角性質(zhì)即得．【詳解】解：由軸對稱知，，∵，∴，∵，∴．故選：B．10.如圖，在中，為上一點，，為上一點，，若要求和的周長之差，則只需要知道（）A.的值 B.的值 C.的值 D.的值【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角，先在上取一點，使得，證明，則，結(jié)合的周長為，的周長為，且。列式計算化簡，即可作答．【詳解】解：在上取一點，使得，∴∴∴，∵，，∴∵∴∴，∵的周長為，的周長為，且∴；∴和的周長之差為的值，故選：A．二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【詳解】12.使分式等于0的的值是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式的值為0，即分子為0，分母不為0，進行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵分式等于0，∴，解得，故答案為：13.如圖中的兩個三角形全等，則的度數(shù)為______．【答案】##度【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理、三角形內(nèi)角和定理，由全等三角形的性質(zhì)可得，，再由三角形內(nèi)角和定理計算即可得解．【詳解】解：如圖，∵，∴，，∴，故答案為：．14.如圖，在中，，，是的平分線，若的面積為12，則的長為______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過點D作點于E，根據(jù)的面積求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得．【詳解】解：過D作于E，∵，，∴，∵是角平分線，，∴．故答案為：4．15.如圖，在中，，，垂足為點，若，，則和的面積之比為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中線與面積的關(guān)系，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．運用等腰三角形的性質(zhì)，且通過證明，，因為，再類比中線與面積的關(guān)系，推出，即可作答．【詳解】解：∵，，∴，，∴∵∴∴∵∴∴∴，∴∴和的面積之比為故答案為：16.如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，若以為邊在其右側(cè)作等邊三角形，連接，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】此題主要考查含30度的直角三角形，熟練掌握含30度的直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，添加輔助線段，是解題關(guān)鍵．在上取點G，使，過點G作于點H，連接，則是等邊三角形，由是等邊三角形，證明，得，有最小值，，得的最小值為．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵是的中點，∴，在上取點G，使，過點G作于點H，連接，則是等邊三角形，

∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴（或），∴，∴，∴，當(dāng)點E與點H重合時，有最小值，為，∴的最小值為．故答案為：．三、解答題（本題有8小題，第17～21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共72分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了單項式乘多項式，多項式乘多項式等內(nèi)容，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)單項式乘多項式的法則進行計算，即可作答．（2）根據(jù)多項式乘多項式的法則進行計算，即可作答．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分化簡，再把代入計算．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．19.如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上．（1）點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為______；（2）作出與關(guān)于軸對稱的．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答；（2）根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”描點連線．【小問1詳解】解：∵，∴點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為故答案為：【小問2詳解】解：∵，∴，作出與關(guān)于軸對稱的．20.如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等．（1）先由推出，再結(jié)合已知的另外兩組相等邊，根據(jù)判定定理證明；（2）根據(jù)（1）中得到的全等三角形得出對應(yīng)角相等，再利用判定定理證明，進而得到．【小問1詳解】證明：，，，在和中，，；【小問2詳解】證明：在和中21.觀察下列兩位數(shù)相乘的運算規(guī)律：，，，……設(shè)其中一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為，另一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為（均為小于10的正整數(shù)）．（1）請用含的等式表示上述運算規(guī)律：______；（2）請證明上述運算規(guī)律．【答案】（1）（2）見詳解【解析】【分析】本題考查了多項式乘多項式，數(shù)字規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干的信息，得，即可作答．（2）先運用多項式乘多項式法則展開等式左邊，合并同類項，則等式的左邊等于等式的右邊，即可作答．【小問1詳解】解：∵，，，……設(shè)其中一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為，另一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為∴，故答案為：；小問2詳解】解：由（1）得，故等式的左邊等于等式的右邊，即，∴此等式成立．22.尺規(guī)作圖問題：已知：，求作：的平分線．小聰?shù)淖鞣ǎ喝鐖D1，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，再以點為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點．連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．小慧的作法：如圖2，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，在上任取一點，再以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．老師的觀點：小聰?shù)淖鞣ㄊ钦_的，小慧的作法不一定是正確的．（1）如圖1，證明平分；（2）如圖2，說明小慧的作法中可能存在的問題．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】本題考查了作角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作圖過程，先證明，然后結(jié)合，，證明，然后運用證明，即可作答．（2）認真分析題干小慧的作法，得出以點C為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，可能有兩個交點F，，得到的或，即可作答．【小問1詳解】解：由作圖步驟可知，，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∴，∴平分；【小問2詳解】解：如圖所示：依題意，小慧的作法中，以點C為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，可能有兩個交點F，，得到的或，故不能證明．23.某農(nóng)場將800千克的葡萄平均分給甲、乙兩家水果店銷售，甲店不分類直接銷售，乙店分為小、中、大果進行銷售，其中小果免費品嘗，大果的售價是中果的倍，兩家水果店的銷售信息如表所示．已知用60元錢在乙店購買中果的質(zhì)量比購買大果的質(zhì)量多0.5千克，當(dāng)甲、乙兩家水果店的葡萄全部售完時，乙店的總售價比甲店多260元．水果店銷售方式質(zhì)量單價甲不分類400千克25元／千克乙小果免費中果240千克大果（1）乙店大果和中果的售價各是多少元／千克？（2）求乙店小果的質(zhì)量；（3）若甲店先以元／千克的批發(fā)價售賣千克的葡萄，再以元／千克的零售價賣完剩下的葡萄，總售價恰好與乙店相等，若均為正整數(shù)，求的值．【答案】（1）乙店中的大果的售價為元/千克，中果的售價為元/千克；（2）乙店小果的質(zhì)量為千克；（3）【解析】【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙店中的中果的售價為元/千克，則大果的售價為元/千克，用60元錢在乙店購買中果的質(zhì)量比購買大果的質(zhì)量多0.5千克，據(jù)此列方程，解方程并檢驗即可；（2）設(shè)乙店的大果有千克，乙店的總售價比甲店多260元．據(jù)此列