以高等數學知識指導2025年高三復習備考

以高等數學知識為背景的導數問題

高考定位1.導數解答題與高等數學知識交匯命題，考查考生的知識遷移能力、現場學習能力與現場運用能力，逐漸成為命題的熱點，難度較大，一般作為壓軸題出現；2.常見的高等數學知識除了前面學習過的泰勒公式與洛必達法則、還有拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微積分、帕德近似等.精準強化練題型一拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理

題型二帕德近似題型三微積分、洛必達法則

題型突破例1題型一拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理令bn＝2ln(n＋1)－2lnn，n∈N*，則an>bn，所以a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln2－2ln1＋2ln3－2ln2＋…＋2ln(n＋1)－2lnn＝2ln(n＋1)，所以Sn>2ln(n＋1).規(guī)律方法羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.羅爾定理描述如下：如果R上的函數f(x)滿足以下條件：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，②在開區(qū)間(a，b)內可導，③f(a)＝f(b)，則至少存在一個ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.據此，解決以下問題：(1)證明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內至少有一個實根，其中a，b，c∈R；訓練1設F(x)＝ax4＋bx3＋cx2－(a＋b＋c)x，x∈[0，1]，則F′(x)＝4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)，所以函數F(x)在[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)上可導，又F(0)＝0，F(1)＝a＋b＋c－a－b－c＝0，故F(0)＝F(1)，所以由羅爾中值定理可得至少存在一個x0∈(0，1)，使得F′(x0)＝0，所以4ax＋3bx＋2cx0－(a＋b＋c)＝0，所以方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內至少有一個實根.(2)已知函數f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內有零點，求a的取值范圍.因為函數f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內有零點，不妨設其零點為x1，則f(x1)＝0，x1∈(0，1)，由f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1可得f′(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，所以函數f(x)在[0，x1]上連續(xù)，在(0，x1)上可導，又f(0)＝e0－0－0－1＝0，f(x1)＝0，由羅爾中值定理可得至少存在一個x2∈(0，x1)，使得f′(x2)＝0，因為函數f(x)在[x1，1]上連續(xù)，在(x1，1)上可導，又f(1)＝e－a－e＋a＋1－1＝0，f(x1)＝0，由羅爾中值定理可得至少存在一個x3∈(x1，1)，使得f′(x3)＝0，所以方程ex－2ax－(e－a－1)＝0在(0，1)上至少有兩個不等的實數根，設g(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，x∈(0，1)，則g′(x)＝ex－2a，

例2題型二帕德近似(1)求實數a，b的值；(2)設h(x)＝f(x)－R(x)，證明：xh(x)≥0；規(guī)律方法訓練2(2)比較f(x)與R(x)的大小；例3題型三微積分、洛必達法則(2)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，其中a，b∈R.①證明：對任意兩個不相等的正數x1，x2，曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))處的切線均不重合；由函數f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，可得f′(x)＝2ax＋lnx＋b＋1，不妨設0<x1<x2，曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))處的切線方程為l1：y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－x1f′(x1)同理曲線y＝f(x)在(x2，f(x2))處的切線方程為l2：y＝f′(x2)x＋f(x2)－x2f′(x2)，假設l1與l2重合，

②當b＝－1時，若不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，求實數a的取值范圍.當b＝－1時，不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，所以h(x)＝ax2－x＋xlnx－2sin(x－1)≥0在(0，＋∞)恒成立，所以h(1)≥0?a≥1，下證：當a≥1時，h(x)≥0恒成立.因為a≥1，所以h(x)≥x2－x＋xlnx－2sin(x－1)，設H(x)＝x2－x＋xlnx－2sin(x－1)，H′(x)＝2x＋lnx－2cos(x－1).(ⅰ)當x∈[1，＋∞)時，由2x≥2，lnx≥0，－2cos(x－1)≥－2知H′(x)≥0恒成立，即H(x)在[1，＋∞)單調遞增，所以H(x)≥H(1)＝0成立；規(guī)律方法訓練3(1)試判斷f(x)＝x3－3x是否為區(qū)間[0，3]上的2階無窮遞降函數；

【精準強化練】所以當－1<x<0時，f′(x)<0，即f(x)在(－1，0)上單調遞減；當x>0時，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.當x>0時，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.數列中的“三新”問題高考定位新高考的命題要求為：創(chuàng)新試題形式，加強情境設計，注意聯系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題.這些要求反映在數列試題中，就是出現了數列的新情境、新定義和新性質問題，這些“三新”問題逐漸成為熱點的壓軸題.精準強化練題型一數列的新情境問題題型二數列的新定義問題題型三數列的凹凸性題型突破題型一數列的新情境問題(2024·長沙模擬)南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n＋1層球數是第n層球數與n＋1的和，設各層球數構成一個數列{an}.(1)求數列{an}的通項公式；例1所以b1＋b2＋b3＋…＋bn<2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，令Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，令2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1，所以－Tn＝2＋21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋11.本題的第(3)問關鍵是利用第(2)問的結論，恰當地給x賦值后，轉化為數列的求和問題.2.解決數列的新情境問題要首先理解題意，從新情境中抽象出等差數列、等比數列等特殊的數列、轉化為數列的通項、性質或求和問題.規(guī)律方法(2024·佛山模擬)佛山新城文化中心是佛山地標性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應.坊塔是文化中心的標志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結構.底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.訓練1由題意可知a1＝33.6，注意到33.6－24＝9.6，24－19.2＝4.8，取等差數列的公差d＝－2.4，則an＝33.6－2.4(n－1)＝36－2.4n，令an＝36－2.4n＝24，解得n＝5，即24為第5項；令an＝36－2.4n＝19.2，解得n＝7，即19.2為第7項；故an＝36－2.4n符合題意.(1)請根據坊塔方體的高度數據，結合所學數列知識，寫出一個等差數列{an}的通項公式，該數列以33.6為首項，并使得24和19.2也是該數列的項；

可以，理由如下：由(1)可知m≤7，a1＝33.6，a2＝31.2，a3＝28.8，a4＝26.4，a5＝24，a6＝21.6，a7＝19.2，設數列{(n＋1)an}的前n項和為Sn，∵S7＝2a1＋3a2＋4a3＋…＋8a7＝856.8>310，故新堆疊坊塔的高茺可以超過310米.(2)佛山世紀蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據你得到的等差數列，連續(xù)取用該數列前m(m∈N*)項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2a1、3a2、4a3、……、(m＋1)am((m＋1)am表示高度為am的方體連續(xù)堆疊m＋1層的總高度)，請問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.題型二數列的新定義問題例2因為a1＝1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－7，所以數列{an}的“min點”為3，5.(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，數列{an}的“min點”的個數為p，證明：a1－am≤p.①若an≥a1(n≥2)，則數列{an}不存在“min點”，即p＝0.由am－a1≥0，得a1－am≤0，所以a1－am≤p.②若存在an，使得an<a1.下證數列{an}有“min點”.證明：若a2<a1，則2是數列{an}的“min點”；若a2≥a1，因為存在an，使得an<a1，所以設數列{an}中第1個小于a1的項為an1，則an1<a1≤ai(2≤i≤n1－1)，所以n1是數列{an}的第1個“min點”.綜上，數列{an}存在“min點”.不妨設數列{an}的“min點”由小到大依次為n1，n2，n3，…，np，則ani＋1是ani，ani＋1，ani＋2，…，ani＋1－1，ani＋1中第1個小于ani的項，故ani－ani＋1≤ani＋1－1－ani＋1，因為an≥an－1－1(2≤n≤m)，所以an－1－an≤1，所以ani＋1－1－ani＋1≤1，所以ani－ani＋1≤1.所以a1－am≤a1－anp＝(a1－an1)＋(an1－an2)＋(an2－an3)＋…＋(anp－1－anp)≤(an1－1－an1)＋(an2－1－an2)＋(an3－1－an3)＋…＋(anp－1－anp)≤1＋1＋1＋…＋1(p個1).所以a1－am≤p.綜上a1－am≤p，得證.數列中的新定義問題，主要是指即時定義新概念、新定理、新法則、新運算等，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新定義，這樣有助于更透徹地理解新定義.但是，歸根結底這些問題考查的還是數列的基本概念、性質和運算，根據條件適時轉化是解決此類問題的基本思路與原則.規(guī)律方法(2024·鹽城模擬)在數列{an}的第k項與第k＋1項之間插入k個1，稱為變換Γ.數列{an}通過變換Γ所得數列記為Ω1(an)，數列Ω1(an)通過變換Γ所得數列記為Ω2(an)，…，以此類推，數列Ωn－1(an)通過變換Γ所得數列記為Ωn(an)(其中n≥2).(1)已知等比數列{an}的首項為1，項數為m，其前m項和為Sm，若Sm＝2am－1＝255，求數列Ω1(an)的項數；

訓練2(2)若數列{an}的項數為3，Ωn(an)的項數記為bn.①當n≥2時，試用bn－1表示bn；②求證：2×32n－1≤bn≤62n－1.于是lgbn－lg2>2(lgbn－1－lg2)，則有l(wèi)gbn－lg2>2n－1(lgb1－lg2)，所以lgbn－lg2>2n－1lg3，得lgbn>lg2＋2n－1lg3，即bn>2·32n＋1(n≥2)，所以bn≥2×32n－1.題型三數列的凹凸性例3(2)若函數f(x)＝b1＋b2x＋b3x2＋b4x3有三個零點，其中bi>0(i＝1，2，3，4).證明：數列b1，b2，b3，b4為“對數凹性”數列；

將p，q互換得t＝(q－p)Wr＋(p－r)Wq＋(r－q)Wp＝－t，所以t＝0，令p＝1，q＝2，得－Wr＋(2－r)W1＋(r－1)W2＝0，所以Wr＝(2－r)W1＋(r－1)W2＝W1＋(r－1)(W2－W1)，故數列{Wn}是等差數列，

1.解第(3)問的關鍵是利用賦值法證明數列{Wn}是等差數列，從而利用等差數列的相關概念及公式證明.2.數列的凹凸性是類比函數的凹凸性得到的，解決此類問題一般要從題目條件中挖掘出一個特殊的數列(例如等差數列、等比數列)，數列的凹凸性給出的不等關系就可以利用這個特殊數列的運算，結合不等式放縮加以證明.規(guī)律方法訓練3【精準強化練】1.(2024·泰安三模)對于m，t∈N*，s∈N，t不是10的整數倍，則m＝t·10s，則稱m為s級十全十美數.已知數列{an}滿足：a1＝8，a2＝40，an＋2＝5an＋1－6an. (1)若{an＋1－kan}為等比數列，求k；

設{an＋1－kan}的公比為q，則an＋2－kan＋1＝q(an＋1－kan)，即an＋2＝(q＋k)an＋1－qkan，其中－2＋15(k－1)不是5的倍數，故若原式能被125整除，需k為偶數且能被25整除，即k需是50的倍數，在1，2，3，…，2024中，50的倍數有40個：50，100，150，…，2000，故在a1，a2，…，a2024中，3級十全十美數的個數為40.2.(2024·深圳二模)無窮數列a1，a2，…，an，…的定義如下：如果n是偶數，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是an；如果n是奇數，就對3n＋1盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是an. (1)寫出這個數列的前7項；

根據題意，a1＝(3×1＋1)÷2÷2＝1，a2＝2÷2＝1，a3＝(3×3＋1)÷2＝5，a4＝4÷2÷2＝1，a5＝(3×5＋1)÷24＝1，a6＝6÷2＝3，a7＝(3×7＋1)÷2＝11.三角函數與解三角形創(chuàng)新題型突破高考定位三角函數與解三角形問題在高考中一般難度不大，其創(chuàng)新性主要體現在以下幾個方面：(1)把問題置于新情境中；(2)新定義三角函數問題；(3)與其他知識的交匯命題.精準強化練題型一解三角形的新情境問題題型二三角函數的新定義問題題型三三角與數列的交匯題型突破題型一解三角形的新情境問題例1√解決此類問題首先應充分理解題意，作出示意圖，把已知量盡量集中在一個三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.規(guī)律方法我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖(1)，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖(2)，傘完全收攏時，傘圈D已滑動到D′的位置，且A，B，D′三點共線，AD′＝40cm，B為AD′的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，∠BAC的正弦值是________.訓練1題型二三角函數的新定義問題例1因為f(x)＝2x，則f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函數f(x)＝2x具有性質P；因為g(x)＝cosx，則g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cosx，又g(2π)＝cos2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cosx＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cosx不具有性質P.已知定義域為R的函數h(x)滿足：對于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，則稱函數h(x)具有性質P.(1)判斷函數f(x)＝2x，g(x)＝cosx是否具有性質P；(直接寫出結論)(3)設函數f(x)具有性質P，且在區(qū)間[0，2π]上的值域為[f(0)，f(2π)].函數g(x)＝sin(f(x))，滿足g(x＋2π)＝g(x)，且在區(qū)間(0，2π)上有且只有一個零點.求證：f(2π)＝2π.由函數f(x)具有性質P及(2)可知，f(0)＝0，由g(x＋2π)＝g(x)可知函數g(x)是以2π為周期的周期函數，則g(2π)＝g(0)，即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及題設可知，函數f(x)在[0，2π]的值域為[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；當k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π時，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，

這與g(x)在區(qū)間(0，2π)上有且只有一個零點矛盾，因此k＝1或k＝2；當k＝1時，f(2π)＝π，函數f(x)在[0，2π]的值域為[0，π]，此時函數g(x)的值域為[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函數f(x)在[2π，4π]的值域為[π，2π]，此時函數g(x)的值域為[－1，0]，函數g(x)＝sin(f(x))在當x∈[0，2π]時和x∈[2π，4π]時的取值范圍不同，與函數g(x)是以2π為周期的周期函數矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命題得證.解決三角函數新定義問題的思路(1)找出新定義的幾個要素及其所代表的意義；(2)把新定義下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數學背景中；(3)利用三角函數的公式、性質解答問題.規(guī)律方法訓練2題型三三角與數列的交匯例3(3)在(2)的條件下證明：數列{Sn}是遞減數列.規(guī)律方法訓練3【精準強化練】