四川省資陽市高中2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次診斷性考試（二模）數(shù)學(xué)試題含答案

/四川省資陽市高中2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次診斷性考試（二模）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．2．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或24．某項智力測試共有，，，，五道試題，測試者需依次答完五道試題且至少答對其中三道試題才算通過測試．小明答對，，三道試題的概率均為，答對，兩道試題的概率均為，且每道試題答對與否相互獨立，則小明在答錯試題的條件下通過測試的概率為（

）A． B． C． D．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且可導(dǎo)，若是的極小值點，則下列說法錯誤的是（

）A．是函數(shù)的極大值點 B．是函數(shù)的極小值點C．是函數(shù)的極小值點 D．是函數(shù)的極小值點6．將函數(shù)圖象上的所有點經(jīng)過平移和伸縮變換得到函數(shù)的圖象，若點被變換成了點，且，則的所有可能值之和為（

）A． B． C． D．7．已知，函數(shù)，則“”是“存在最小值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某直播帶貨公司統(tǒng)計了今年1月份至5月份的某種產(chǎn)品的月銷量（單位：千件）如下表所示：月份12345月銷量2.43.1455.5已知變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，通過最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線方程為，則下列說法正確的是（

）參考公式：相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)．A． B．C．每增加1，一定增加0.81 D．10．如圖，在直三棱柱中，點，，分別是棱，，的中點，直線平面，直線與平面所成角為45°，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．點到平面的距離為C．五面體的體積為 D．三棱柱的外接球的表面積為11．若函數(shù)有三個不同零點，則（

）A． B．C．可以等于 D．可以等于1三、填空題（本大題共3小題）12．在中，是邊上靠近的一個三等分點，若與平行，則實數(shù)．13．已知為坐標原點，是拋物線：的焦點，，是上位于軸異側(cè)的兩點，且，，則的面積為.14．設(shè)，為常數(shù)，，若對任意，都有，則；．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，是圓錐的頂點，是圓錐底面圓心，，是底面圓的兩條直徑，點在上，．(1)求證：；(2)若為的中點，求二面角的余弦值．16．已知的面積．(1)求證：；(2)設(shè)為的中點，且，求的值．17．已知，函數(shù).(1)當時，求證：；(2)若，求的取值范圍.18．已知，分別是雙曲線：的上頂點，下焦點．(1)求的標準方程；(2)過的直線與的上，下支分別交于，兩點（異于），直線平分線段與的下支交于點．（?。┣笞C：直線與直線的交點在一條定直線上；（ⅱ）過三點的圓是否經(jīng)過定點，請說明理由．19．如果數(shù)列滿足：存在，，使得任意，都成立，則稱數(shù)列是數(shù)列．(1)設(shè)，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，請說明理由；(2)證明：對任意，公差為2的等差數(shù)列都是數(shù)列；(3)若數(shù)列既是數(shù)列，又是數(shù)列，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的值．

參考答案1．【答案】B【詳解】由可得，即，所以，所以.故選：B2．【答案】C【詳解】由圖可得陰影部分表示的集合為.由可得，即，由可得，即,則，故.故選：C.3．【答案】C【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，當時，可得，所以離心率，解得；當時，可得，所以離心率，解得，所以；所以或4.故選：C4．【答案】D【詳解】小明已經(jīng)答錯了試題,故要通過測試需在，，，四道試題中至少答對其中三道試題.∵至少答對其中三道試題包括恰好答對三道試題和答對四道試題兩種情況，∴至少答對其中三道試題的概率為.所以小明在答錯試題的條件下通過測試的概率為.故選：D.5．【答案】D【詳解】對于A，因為是定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以是函數(shù)的極大值點，正確；對于B，因為單調(diào)遞增，又是的極小值點，即存在區(qū)間，，此時單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，正確；對于D，因為的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，由是的極小值點，是函數(shù)的極大值點，可知是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，D錯誤；對于C，由D可知是函數(shù)的極小值點，所以存在區(qū)間，此時單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，C正確；故選：D6．【答案】A【詳解】由題意得，所有點經(jīng)過平移和伸縮變換得到函數(shù)，點被變換成了點，即先變換為，再變換為，即，所以，即或,又因為，所以或，則的所有可能值之和為，故選：A.7．【答案】C【詳解】由題意，，，當時，若，，函數(shù)單調(diào)遞減，且時，，沒有最小值，∴.當時，，此時，當時，，，當且僅當時取等號.若，則，可知，，滿足要求，若，則，，可知，，滿足要求，若，則，，可知，若有最小值，則，解得：，綜上，若函數(shù)有最小值，則，∴“”是“存在最小值”的充要條件，故選：C.8．【答案】C【詳解】由題意，，設(shè)，即，∵，∴，即，∵，∴，∵，得，則有，由，，解得：，∴，，∴.故選：C.9．【答案】ABD【詳解】由題意及表得，在中，，，A項，∵，∴，故A正確；B項，，即，∴，故B正確；C項，經(jīng)驗回歸直線方程為，并不意味著每增加1，一定增加0.81，會有一定的浮動，故C錯誤；D項，∴，∴，故D正確；故選：ABD.10．【答案】ACD【詳解】由題意，在直三棱柱中，面，面，面，面，直線與平面所成角為45°，∴，，，，在中，，，∴，，∴是等腰直角三角形，，，建立空間直角坐標系如下圖所示，設(shè)直三棱柱高為，，，∴在面中，設(shè)其一個法向量為，，即，解得：，當時，，∴，解得：，故A正確；B項，連接，，，由幾何知識得，，，，，在中，，由勾股定理得，，在中，同理可得，，在中，過點作于點，則是的中點，也是矩形對角線交點，連接，在中，，由勾股定理得，，設(shè)點到平面的距離為，點到平面的距離為，∴，，，，∵，解得：，故B錯誤；C項，五面體的體積為：，故C正確；D項，由幾何知識得，，，∴四邊形為正方形，設(shè)正方形中心，是的中點，也是矩形對角線的交點，所以是的中點，是的中點，所以,因為平面，所以平面所以點在過正方形中心，平面的垂線上，∴點到正方形的四個頂點距離都相等，有，在矩形中，由幾何知識得，點到矩形的四個頂點距離都相等，有，所以點為球心，點到各頂點的距離都等于球的半徑，即，∴三棱柱的外接球的半徑為，∴三棱柱的外接球的表面積為：，故D正確；故選：ACD.11．【答案】AD【詳解】由題意，的定義域為,當時，∴，函數(shù)在上沒有零點，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，∴不可能有三個零點，即，當時.，若,∵，則，∴，此時.令,解得：或（舍）當時，；當時，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故不可能有三個不同零點若，則，當時，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，，令，解得：或（舍）當時，在上遞增，此時，在上單調(diào)遞增，此時，不可能有三個不同零點，不合題意，舍去.當即時，令，解得：，令，解得：，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時,；當時,,且.∴若函數(shù)有三個零點，則有，C，D項，，∴，即，解得：，∴∴，∴可以等于1，不可以等于，故C錯誤，D正確；A，B項，，解得：，即，故A正確，B錯誤；故選：AD.12．【答案】4【詳解】根據(jù)題意可得，所以，由與平行可得，即，又不共線，所以，解得.故答案為：413．【答案】/【詳解】由題意即可知：，不妨設(shè)點，且點在第一象限，則，，故，所以直線的方程為：，令得，即三點共線，所以.故答案為：或.14．【答案】【詳解】由題意，，兩邊同乘以，得，，所以有，，，，，將它們累加得，，已知，所以，則，；由，，所以，所以若，為常數(shù)，則.故答案為：；.15．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：因為，為的中點，所以，又，且，平面，平面,所以平面．又平面，所以．（2）由題意，在中，，所以，所以，又為的中點，所以，.設(shè)，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則．因此，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．16．【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）記角，的對邊分別為，，，由題意可知，由正弦定理得因為，所以．（2）在中，由余弦定理得，①同理，在中，②①-②得，．在中，由正弦定理得，，所以，即，所以．17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意證明如下，，在中，，當時，，要證，只需證，令，則，令，得，所以當時，，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由題意及（1）得，，，在中，，令，由題意，在時恒成立，設(shè)，，則，令，當時，，所以，在上單調(diào)遞減，所以，符合題意，當時，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意，綜上所述，的取值范圍為.1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3.適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論；4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）過三點的圓經(jīng)過定點，理由見解析【詳解】（1）由題意，，，所以，所以的方程為．（2）（?。┯深}意，直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，，．由，消去整理得，，由于同號，所以，即，則，所以，由，解得，所以，所以直線方程為：，即，由得，所以直線與直線的交點在一條定直線上．（ⅱ）過三點的圓經(jīng)過定點，理由如下：由弦長公式．設(shè)線段的中點為，則，所以，所以，即點在以線段為直徑的圓上．又，即，所以在以線段為直徑的圓上，所以過，，三點的圓經(jīng)過定點．19．【答案】(1)是數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析