2017年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點15 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角的基本關(guān)系式、簡單的三角恒等變換

高考試題分類解析PAGE考點15三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角的基本關(guān)系式、簡單的三角恒等變換選擇題1.(2017·全國丙卷·文科·T6)函數(shù)f(x)=sin+cos的最大值為()A.QUOTE65 B.1 C. D.【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式,考查學(xué)生的觀察分析和運算的能力.【解析】選A.由誘導(dǎo)公式可得:cos=cos=sin,則f=QUOTE15sin+sin=QUOTE65sin,因為-1≤sin≤1,故函數(shù)f(x)的最大值為QUOTE652.(2017·山東高考文科·T4)已知cosx=,則cos2x=()A.- B. C.- D.【命題意圖】本題考查二倍角公式的應(yīng)用和三角恒等變換,意在考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力,運算求解能力.【解析】選D.cos2x=2cos2x-1=2×-1=.3.(2017·山東高考文科·T7)函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期為()A. B. C.π D.2π【命題意圖】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)周期的求解,意在考查考生對數(shù)學(xué)式子的變形應(yīng)用能力.【解析】選C.由題意y=2sin,其周期T==π.填空題4.(2017·全國甲卷文·T13)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為.【命題意圖】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、簡單的三角恒等變換,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸思想以及運算能力.【解析】根據(jù)輔助角公式,可以得到f(x)=2cosx+sinx=sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值為1,故f(x)的最大值為.答案:5.(2017·全國甲卷理科·T14)函數(shù)f(x)=sin2x+cosx-QUOTE34x∈0,π2的最大值是.【命題意圖】三角函數(shù)的性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì).意在考查學(xué)生的三角轉(zhuǎn)換能力和運算能力.【解析】f(x)=1-cos2x+cosx-=-cos2x+QUOTE3cosx+=-+1,因為x∈,所以cosx∈[0,1],所以當(dāng)cosx=時,函數(shù)取得最大值1.答案:16.(2017·北京高考文科·T9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinα=,則sinβ=.【命題意圖】本題主要考查三角恒等變換.意在培養(yǎng)學(xué)生計算能力.【解析】因為角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,所以β=2kπ+π-α,k∈Z,所以sinβ=sin=sinQUOTEπ-α=sinα=.答案:【誤區(qū)警示】在表達(dá)角α與角β的關(guān)系時,易錯誤地寫成β=π-α.檢索號:167.(2017·北京高考理科·T12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinα=QUOTE13,cos(α-β)=.【命題意圖】本題主要考查三角恒等變換.意在培養(yǎng)學(xué)生計算能力.【解析】因為sinβ=sinα,cosβ=-cosα,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-QUOTE79.答案:-QUOTE798.(2017·江蘇高考·T5)若tanQUOTEα-π4=QUOTE16,則tanα=.【命題意圖】考查兩角和正切公式的應(yīng)用.【解析】tanα=tanQUOTEα-π4+π4=QUOTEtanα-π4+tanπ41-tanα-π4tanπ4==QUOTE75.故答案為QUOTE答案:QUOTE75三、解答題9.(2017·山東高考理科·T16)設(shè)函數(shù)f(x)=sinQUOTEωx-π6+sinQUOTEωx-π2,其中0<ω<3,已知fQUOTEπ6=0,(1)求ω.(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移QUOTEπ4個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在QUOTE-π4,3π4上的最小值.【命題意圖】本題考查三角函數(shù)圖象的變換及三角函數(shù)的性質(zhì),意在考查考生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.【解析】(1)因為f(x)=sinQUOTEωx-π6+sinQUOTEωx-π2,所以f(x)=QUOTE32sinωx-QUOTE12cosωx-cosωx=QUOTE32sinωx-QUOTE32cosωx=QUOTE312sinωx-32=QUOTE3sinQUOTEωx-π3.由題設(shè)知fQUOTEπ6=0,所以=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=QUOTE3sinQUOTE2x-π3,所以f(x)=QUOTE3sinQUOTEx+π4-π3=QUOTE3sinQUOTEx-π12,因為x∈QUOTE-π4,3π4,所以x-QUOTEπ12∈QUOTE-π3,2π3,當(dāng)x-QUOTEπ12=-QUOTEπ3,即x=-QUOTEπ4時,g(x)取得最小值-QUOTE32.10.(2017·浙江高考·T18)已知函數(shù)fQUOTEx=sin2x-cos2x-2QUOTE3sinxcosxQUOTEx∈R.(1)求fQUOTE2π3的值.(2)求fQUOTEx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.【解析】(1)因為sinQUOTE2π3=,cos=-QUOTE12,所以fQUOTE2π3=QUOTE322-QUOTE-122-2QUOTE3×QUOTE32×QUOTE-12即fQUOTE2π3=2,(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得fQUOTEx=-cos2x-QUOTE3sin2x=-2sinQUOTE2x+π6,所以fQUOTEx的最小正周期是π,由正弦