2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十一章第7講含答案

2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十一章第7

講含答案第7講離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

［課程標(biāo)準(zhǔn)］了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列及其

數(shù)字特征(均值、方差).

基礎(chǔ)知識(shí)整合

＞知識(shí)梳理

1.隨機(jī)變量的概念及特征

(1)概念：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間。中的每個(gè)樣本點(diǎn)都有畫唯

二的實(shí)數(shù)x(”)與之對應(yīng)，我們稱x為隨機(jī)變量.

(2)特征：隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，隨機(jī)變量

有如下特征：

①取值依賴于兩樣本點(diǎn).

②所有可能取值是畫明確的.

(3)離散型隨機(jī)變量

可能取值為同有限個(gè)或可以畫一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱之為離散型隨

機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列及具性質(zhì)

(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X2,…，X”，我們

稱X的每一個(gè)值M的概率P(X=r)=p/,i=l,2,3,…，〃為X的概率分布列，

簡稱分布列.

(2)表示：離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格表示，如下表所示：

XA\A2???Xn

???

P0戶

(3)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

①畫方2,…，〃);

②r^i〃i+啰+…+〃〃=1.

3.離散型隨機(jī)變量的均值

⑴離散型隨機(jī)變量的均值的概念

一般地，若離散型隨機(jī)變量x的分布列為

?.

XXIX2?Xn

???

PPiP2P"

則稱網(wǎng)E(X)=x如++…+工物=百為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期

望.

(2)離散型隨機(jī)變量的均值的意義

均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的回加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變

量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的「同平均水平.

(3)離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

若y=〃x+化其中。，人均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則y也是隨機(jī)變量，且有

FiT|E(aX+〃)=aE(X)+b.

4.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

XXIX2???Xn

PPlP2???P"

我們用x所有可能取值X,與E(x)的偏差的平方3-E(X))2,U2-E(X))2,…,

(x〃-E(X))2關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏

離程度.

⑵稱D(X)=向川-1X))2〃]+(X2-E(X))2〃2+…-(MLE(X)fp.=回夕(劉

-E(X))2PL為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記為%MX),并稱區(qū)。(X)為隨機(jī)變量X

的標(biāo)準(zhǔn)差，記為6X).

(3)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)

①設(shè)。，〃為常數(shù)，則。(內(nèi)＞與=回上跡.

②0(0=回氯其中。為常數(shù)).

5.兩點(diǎn)分布

如果P(A)=〃，則P(Z)=l—p,那么X的分布列為

X01

p1-PP

稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布.且E(X)=回入D(X)=叮〃(1一〃).

a知識(shí)拓展

1.分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用

(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.

(2升庖機(jī)變量X所取的道分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相

關(guān)事件的概率.

2.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

＞雙基自測

1.(人教B選擇性必修第二冊習(xí)題4-2BT4改編)某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)

子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為X,貝IJ“X=5”表示的試驗(yàn)結(jié)

果是()

A.第5次擊中目標(biāo)B.第5次未擊中目標(biāo)

C.前4次未擊中目標(biāo)D.第4次擊中目標(biāo)

答案C

解析因?yàn)閾糁心繕?biāo)或子彈打完就停止射擊，所以射擊次數(shù)X=5說明前4

次均未擊中目標(biāo).故選C.

2.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=攵)弓，k=\,2,貝”(2＜XW4)=

B

A亢4

rv—16ou—16

答案A

113

解析P(2<XW4)=P(X=3)+P(X=4)=R+研二而故選A.

3.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描述一次試驗(yàn)的成

功次數(shù)，則P(X=0)=()

O3二

A.B.D

12

C--

23

答案B

2

解析設(shè)P(X=1)=〃，貝1)尸。=0)=1-〃.依題意知，〃=2(1-〃)，解得〃=?

故P(X=O)="〃=；.故選B.

4.(多選)(人教B選擇性必修第二冊424練習(xí)AT5改編)設(shè)離散型隨機(jī)變量

X的分布列為

X01234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機(jī)變量丫滿足r=2X+l,則下列結(jié)果正確的是()

A.q=0.1

B.E(X)=2,D(X)=i.4

C.E(X)=2,￡>(X)=1.8

D.E(r)=5,D(r)=7.2

答案ACD

解析因?yàn)間+0.4+0.1+0.2+0.2=l,所以g=0.1,故A正確；E(X)=0x0.l

+1x0.4+2x0.1+3x0.2+4x0.2=2,D(X)=(0-2)2X0.1+(l-2)2X0.4+(2-2)2

X0.1+(3-2)2X0.2+(4-2)2X0.2=1.8,故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)閅=2X+\,所

以E(K)=2E(X)+1=5,D(r)=4D(X)=7.2,故D正確.故選ACD.

5.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)

抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為C,則P(X=2)=,E(X)=

答案I畀或申

解析從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中隨機(jī)抽取3張，共有

G種取法，其中所抽取的卡片上數(shù)字的最小值為2的取法有CJ+CJC3種，所以

Cl+CiC516Cs

F(X=2)=—百一二天，山已知可得X的可能取值為1,2,3,4,P(X=1)=^1

二11,P(X=2)=!|,P(X=3)=言=號(hào)，P(X=4)二表=去，所以E(X)=lx||+2x||

c3,112

+3X35+4X35=T

核心考向突破

考向一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

例1(2024.東莞模擬)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察朝上一面出現(xiàn)的

點(diǎn)數(shù).設(shè)兩枚骰子中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為X,X2,記乂=1我囚必，X2}.

(1)求乂的概率分布列；

(2)求產(chǎn)(2vXv5).

解(1)根據(jù)題意，拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有36種等可能的情況:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(51),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6);

因此X的可能取值為1,2,3,4,5,6,詳見下表:

X的值出現(xiàn)的點(diǎn)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

1(1,1)1

2(1,2),(2,2),(2,1)3

3(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1)5

4(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1)7

(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(5,4),(5,3),

59

(5,2),(5,1)

(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,5),

611

(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)

由古典概型可知X的概率分布列為

X123456

1157111

P

36V23636436

571

(2)由題意可知，P(2vXv5)=P(X=3)+P(X=4)=*+x=?.

1觸類旁通I離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用

(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每

個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).

(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)

變量的各個(gè)取值的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.

r即時(shí)訓(xùn)練1.某電話亭中裝有一部公用電話，在觀察使用這部電話的人數(shù)時(shí)，

設(shè)在某一時(shí)刻，有〃個(gè)人正在使用電話或等待使用的概率為P(〃)，P(〃)與時(shí)刻/

無關(guān)，統(tǒng)計(jì)得到：PS)［，)'⑻(°W〃W5),那么在某一時(shí)刻，這個(gè)電話

10(〃26),

亭一個(gè)人也沒有的概率P(())的值為()

答案A

解析由P(O)+尸⑴+P(2)+尸(3)+P(4)+尸(5)=1,得

/iii?r>32

P(O)[1+2+4+8+T6+32<解得P(0)=而故選A.

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為

X1234

11\

pm

346

則P(|X-3|=1)=.

答案會(huì)

解析由卜加+卜卷=1,解得加斗「(|X-3|=1)=尸(X=2)+尸(X=4)=*

15

6=l2,

考向二求離散型隨機(jī)變量的分布列

例2(2024.湖北新高考協(xié)作體高三開學(xué)考試)袋中有同樣的球5個(gè)，其中3

個(gè)紅色，2個(gè)黃色，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地取球，每次取1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的球

都被取到時(shí)，即停止取球，記隨機(jī)變量X為此時(shí)已取球的次數(shù)，求：

(1)P(X=2)的值；

(2)隨機(jī)變量X的分布列.

解(1)由已知可得從袋中不放回地取球兩次的所有取法有NCJ種，事件X=

2表示第一次取到紅球第二次取到黃球或第一次取到黃球第二次取到紅球，故事

....CJC1+CJCJ3

件X=2包含ClCi+C3C1種取法，所以P(X=2)=—西^—=亍

(2)隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4.

3A?Ci+A?Ci3

P(X=2)=m，P(X=3)=cgCld=6

P(X=4)=cicicici=To-

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X234

331

P

51()1()

［觸類旁通1離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟

(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些及每一個(gè)取值所表示的意義.

(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的

概率.

(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列.

(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正碓.

F即時(shí)訓(xùn)練(2023?石家莊模擬)甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，分輪次進(jìn)行，每輪

比賽甲、乙各投籃一次.比賽規(guī)定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得-1

分；若甲未投中，乙投中，甲得分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，

甲、乙均得。分.當(dāng)甲、乙兩人累計(jì)得分的差值大于或等于4分時(shí)，就停止比賽，

分?jǐn)?shù)多的獲勝；四輪比賽后，若甲、乙兩人累計(jì)得分的差值小于4分也停止比賽,

分?jǐn)?shù)多的獲勝，分?jǐn)?shù)相同則平局，甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6,且

互不影響.一輪比賽中甲的得分記為X.

(1)求乂的分布列；

(2)求甲、乙兩人最終平局的概率；

(3)記甲、乙一共進(jìn)行了丫輪比賽，求丫的分布列.

解⑴依題意，

X的所有可能取值為-1,0,1.

p(X=-1)=(1-0.5)xi).6=0.3,

P(X=0)=0.5x0.6+(1-0.5)(1-0.6)=0.5,

P(X=l)=0.5x(l-0.61=0.2,

所以X的分布列為

X-101

P0.30.50.2

(2)因?yàn)榧?、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進(jìn)行了四輪比賽，分三種情況:

①四輪比賽中甲、乙均得。分，其概率為0.54=0.0625；

②四輪比賽中，有兩輪甲、乙均得()分，另兩輪甲、乙各得1分，其概率為

2C4X0.2X0.3X0.5X0.5=0.18；

③四輪比賽中，甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分，其概率為

2x0.2x03x2x0.2x0.3=0.0144.

故甲、乙兩人最終平局的概率為().0625+().18+0.0144=().2569.

(3)丫的所有可能取值為2,3,4,

P(Y=2)=0.3x03+0.2x0.2=0.13,

P(Y=3)=2x0.3x0.5x03+2x0.2x0.5x0.2=0.13,

P(y=4)=1-P(r=2)-P(r=3)=0.74,

所以y的分布列為

Y234

P().130.130.74

多角度探究突破

考向二離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

~~角度1數(shù)字特征的計(jì)算

例3(2022?全國甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，

每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得。分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高

的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,().8,各

項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

解(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為4B,C,所以甲學(xué)校獲得冠

軍的概率為P=P(ABQ+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5x().4x().8+

0.5x04x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x04x0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題意可知，X的可能取值為0,10,20,30,

P(X=0)=0.5x04x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x04x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x04x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0,6x0.8+0.5x0,4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x02=0.06.

即X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E（x）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

角度2數(shù)字特征的應(yīng)用

例4某投資公司在2024年年初準(zhǔn)備將1000萬元投盜到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)

有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：

項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目二，到年底可能獲利30%,

72

也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為§和于

項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%,

可能損失30%,也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為|,上咕.

針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.

解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X萬元，則Xi的分布列為

Xi300-15()

72

p

99

72

E(Xi)=3()()x-+(-150)x-=200.

7?

0(X1)=(300—200)2xg+(—150-200)2X§=35000.

若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為

X25(X)-3000

311

P

5315

311

2(X2):500x-+(-300)x1+Ox——200.

0(X2)=(500-200)2Xj+(-300-200)2x|+(0-200)2X^=140000.

...E(Xi)=E(X2),D(X\)<D(X2),

這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.

綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.

口觸類旁通I離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常見類型及解題策略

(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分

布列，然后利用期望、方差公式直接求解.

(2)由已知期望或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參

數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值.

(3)由已知條件，作出對兩種方案的判斷.可依據(jù)期望、方差的意義，對實(shí)際

問題作出判斷.

r即時(shí)訓(xùn)練I.某檢測機(jī)構(gòu)在對某一傳染病毒進(jìn)行核酸檢測時(shí)采取7合1檢測

法”，即將％個(gè)人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性

的；若為陽性，則還需要對本組的每個(gè)人再做檢測.現(xiàn)有100人，已知其中2人

感染此病毒.

(1)①若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)；

②已知10人分成一組，分1。組，兩名感染患者在同一組的概率為定義

隨機(jī)變量X為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)若采用“5合1檢測法“，檢測次數(shù)丫的期望為E(Y),試比較E(X)和E(K)的

大小(直接寫出結(jié)果).

解(1)①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；

再對結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次.

所以總檢測次數(shù)為20.

②由題意，知X可以取20,30,

P(X=2())=十，P(X=3())=14書

則X的分布列為

X2030

110

P

1111

1]()32()

所以E(X)=20x—+30x-j-j-=-「「.

(2)由題意，知丫可以取25,30,

嬴

兩名感染患者在同一組的概率為P二20奇C?廣C二為4，

不在同一組的概率為哈符，

4952950

貝ijE(r)=25x—+3()v—=.

2.已知A,3兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X和X2,根據(jù)市場分

析，M和X2的分布列如下：

(1)在A,8兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬元，看和力(單位：萬元)表示投資項(xiàng)目A

和B所獲得的利潤，求Q(K)和D(y2)；

(2)將X0<A<200)萬元投資A項(xiàng)目，(200-幻萬元投資B項(xiàng)目，火幻表示投資

A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資8項(xiàng)目所得利潤的方差之和.則當(dāng)x為何值時(shí)，/㈤

取得最小值？

解(1)依題意得,

E(Yi)=4x0.1+16x0.5+24x0.4=18,

0(/1)=(10-14)2x0.6+(20-14>XO.4=24,

。(上)=(4—18)2x0.1+(16—18)2x0.5+(24-18)2x0.4=36.

x200-x

(2)設(shè)投資A項(xiàng)目所得利潤為辦二赤H，投資8項(xiàng)目所得利潤為Z?=-^-Y2.

,")=D(Z.)+。0)=。島+。(安匕)=(就之a(chǎn)”)+(安『。(如

=磊(5/-1200%+120000),0<r<200,故當(dāng)x=120時(shí)，/)取得最小值.

課時(shí)作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2023?吉安模擬)設(shè)隨機(jī)變量4的分布列為啟=§=成/=1,2,3,4,

5),則6*聲4]=()

A.|B.1

C.|D.1

答案D

解析.??隨機(jī)變量C的分布列為柬二§二成供=1,2,3,4,5),/.?(1+2

+3+4+5)=1,解得〃=.,.《^<。<；)=「仁=1)+產(chǎn)仁=2)==+看=上.故選

D.

2.(2023?溫州模擬)隨機(jī)變量X的分布列如表所示：若E(X)=g,貝IJO(3X-

2)=()

X-101

2

P6ah

C.5D.7

答案C

1

1,a=3y

解析VE(X)=1,/.由隨機(jī)變量X的分布列，得v

1]解得,

遂+吟，

5

-

/.D(3X-2)=9ZXX)=9x9-

5.故選C.

3.簽盒中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為

這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為()

A.5B.5.25

C.5.8D.4.6

答案B

解析由題意可知，X的所有可能取值為3,4,5,6,P(X=3)=^=*，

Ci3Ca31

P(X=4)=d=行,P(X=5)=0=行,P(X=6)=過=s.由數(shù)學(xué)期望的定義可得E(X)

1331

=3x—+4x—+5x—+6x-=5.25.故選B.

4.(2023?浙江強(qiáng)基聯(lián)盟模擬)已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的

時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間

段內(nèi)的頻率如下：

時(shí)間/分鐘10?2020?3030?4040?50

甲的頻率0.10.40.20.3

乙的頻率00.30.60.1

某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá),

用X表示甲、乙兩人在要求時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則

X的數(shù)學(xué)期望和方差分別是()

A.E(X)=1.5,D(X)=0.36

B.E(X)=1.4,D(X)=0.36

C.E(X)=1.5,D(X)=0.34

D.E(X)=1.4,D(X)=0.34

答案D

解析設(shè)事件4表示“甲在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)”，事件8表示“乙在規(guī)定的時(shí)

間內(nèi)到達(dá)”,P(A)=0.5,P(8)=0.9,A,8相互獨(dú)立，.?.P(X=O)=P(ZB)=P(A)P(B)

=(1-0.5)x(I-0.9)=0.05,P(X=1)=P(。8)+P(AE)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(l

-0.5)x0.9+0.5x(I-0.9)=0.5,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B}=05x0.9=0.45,/.E(X)

=0x0.05+1x0.5+2x0.45=1.4,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0.34.故選D.

5.(2023?西寧模擬)某車間打算購買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購

買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)120元.在設(shè)備使用

期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件時(shí)，價(jià)格為每個(gè)280元.在使用期

間，每臺(tái)設(shè)備需更換的零件個(gè)數(shù)X的分布列為

X678

P0.40.50.1

若購買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購買易損零件13個(gè)，則在使用期間，這2臺(tái)設(shè)備另需

購買易損零件所需費(fèi)用的期望為()

A.1716.8元B.206.5元

C.168.6元D.156.8元

答案D

解析記丫表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，則丫的所有可能取值為

12,13,14,15,16,P(y=12)=0.42=0.16,P(Y=13)=2x0.4x0.5=0.4,P(Y=

14)=0.52+2X0,4X0.1=0.33,P(Y=15)=2xO.5xO.l=0.1,P(Y=16)=0.12=0.01.

若購買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購買易損零件13個(gè)，在使用期間，記這2臺(tái)設(shè)備另需購買

易損零件所需費(fèi)用為Z元，則Z的所有可能取值為0,280,560,840,P(Z=O)

=P(13)=0.16+0.4=0.56,P(Z=280)=P(r=14)=0.33,P(Z=560)=P(K=15)

=0.1,P(Z=840)=P(Y=16)=0.01,E(Z)=280x0.33+560x0.1+840x0.01=156.8.

故選D.

6.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得I分，負(fù)者得。分，比賽進(jìn)

行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為宗乙在

每局中獲勝的概率為I且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望

印0為()

A劌B迪

A.8]U.8]

「274、670

=r8—1o口—243

答案B

解析依題意，知X的所有可能取值為2,4,6,設(shè)每兩局比賽為一輪，則

22

該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概絲為停)+(1)=5?若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、

乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.從

而有P(X=2)=|,P(X=4)=1X|=|Y，P(X=6)=^j=^y,故￡(X)=2X|+4X|Y+

6入所二故選B.

7.已知某口袋中有3個(gè)白球和。個(gè)黑球(a€N)現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再

放入一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球，則放入一個(gè)黑球；若取出的是黑球，

則放入一個(gè)白球)，記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是X.若￡(%)=3,則。(％)=()

A.；B,1

3

C，2D.2

答案B

解析由題意得x的所有可能取值為2,4,且P(X=2)=H，P(X=4)=”;,

J"T"C4JL<

。11

.?.E(X)=2x^^+4xy^=3,解得a=3,.\P(X=2)=^,P(X=4)=^,：.D(X)

=(2-3)2X1+(4-3)2X^=1.故選B.

8.設(shè)0<〃vl,隨機(jī)變量。的分布列是

02

1一〃1

P11

222

則當(dāng)〃在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.Q?減小B.￡)?增大

C.。?先減小后增大D.。?先增大后減小

答案D

2

解析由題意可得E?K+P，所以O(shè)?="+〃+/=d)+1所

以當(dāng)〃在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，。(給先增大后減小.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=0)=*則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=￡(X)B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4D.D(X)=^

答案AB

121

解析依題意P(X=0)=.所以尸(X=1)="P(X=0)=?所以￡(X)=OX-+

22

X---1(29

3=3X)Hxg+U一引=§，所以P(X=1)=E(X),E(3X+2)=3E(X)

2

-2

3=4,D(3Y+2)=32D(X)=32X^=2,所以A,B正確，C,D錯(cuò)誤.故

選AB

10.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:

X-101

pmn

x+X

記“函數(shù)於)=3sin=-7t(x￡R)是偶函數(shù)”為事件A,則下列結(jié)論正確的是

()

33

A.E(X)=4-B.+〃=^

c.P(A)=5D.P(A)=；

答案BC

3

確

故

-B正

解析由隨機(jī)變量的分布列知，〃+(+，?=1,〃+-

4X)

=-1xm+Ox-+1=-m+n=-ni+--m=--2m,故A錯(cuò)誤；二,函數(shù)貫刈二

x+X

3/】亍11(八€R)是偶函數(shù)為事件A,.?.涉足條件的事件A的X的可能取值為-I

3

或1,.?.P(A)=/〃+〃=a，牧C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.

H.已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停

止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為〃(0<〃〈I),

發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則〃的取值可以為()

A4D1

號(hào)D.|

答案AB

解析由題意可知，P(x=l)=p,P(X=2)=(l-p)p,P(X=3)=(l-p)2p+(l

-〃)3=(i-〃)2,則E(y)=p+2(1-〃)p+3(l-p)2=p2-3〃+3.由E(X)>1.75可知

4/72-12/?+5>0,解得〃vg或〃<又〃￡(0,1),故Ov〃v；.故選AR.

三、填空題

12.(2023?華南師大附中模擬)設(shè)隨機(jī)變量4的分布列如下:

123456

Pa\ai43(14。5。6

其中S,。2,…，。6構(gòu)成等差數(shù)列，則41+46=

答案5

解析因?yàn)?12,…，。6構(gòu)成等差數(shù)列，所以0+46=。2+。5=。3+出，因

為+(12+(13+(14+C15+?6=1,所以Cl\+(16=y

735

13.已知離散型隨機(jī)變量X的取值為有限個(gè)，E(X)=2,D(X)=^t則E(X2)

=?

…91

答案T

735

解析因?yàn)镋(X)=~,D(X)=—，由DGX3=E(X2)-[￡(X)]2,得￡(X2)=DG￥)

+[E(x)]2=||+g)2=y.

14.袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的

紅球數(shù)為。，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為右一紅一黃的概率為：，則加-〃

=,E?=?

Q

答案1I

Cl191

解析由題意可得，P(D=瓦(4+,…)一(3+,…)=不化簡，

得(陽+〃)2+7(〃?+〃)-60=0,解得〃?+〃=5,取出的兩個(gè)球一紅一黃的概率。=

廣察解得〃?=3,故〃=2.所以〃一?=1.易知E的所有可能取值為0,

IClclScl55S

1,2,且P《=2)=不1)=^^=3,2《=0)=杏=6所以E?=0x^+Ixj

18

_-

2X6=

9-

四、解答題

15.(2024?北京第三十五中學(xué)開學(xué)考試)為了解某中學(xué)高

一年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)情況，對高一年級(jí)的(1)?(8)班進(jìn)行

了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽取1。名學(xué)生進(jìn)

行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測

成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)的散點(diǎn)圖如圖(工軸表示對應(yīng)的班號(hào)，

軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)).

⑴若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽

測1人，求該學(xué)生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；

(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一(2)班和高一(4)班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)X表示2

人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體

素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名學(xué)生，用“以二1”表示第攵班抽

到的這名學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀，“熬=0”表示第k班抽到的這名學(xué)生身體素質(zhì)不優(yōu)秀

(A=l,2,8).寫出方差。?),。仁3),。⑸的大小關(guān)系(不必寫出證

明過程).

解(1)從高一年級(jí)(1)?(8)班學(xué)生中抽測了80人，其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績優(yōu)

秀的人數(shù)為8+6+9+4+7+5+9+8=56,

所以身體素質(zhì)監(jiān)測成績優(yōu)秀的概率是焉.

因?yàn)槭请S機(jī)抽樣，所以用樣本估計(jì)總體，可知從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測1

人，該學(xué)生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率是看.

(2)因?yàn)楦咭?2)班抽出的10名學(xué)生中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的有6人,

不優(yōu)秀的有4人，

高一(4)班抽出的10名學(xué)生中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的有4人，不優(yōu)

秀的有6人，

所以從高一(2)班和高一(4)班的學(xué)生中各抽出1人,X的所有可能取值為0,1,

2.

236

P(X=0)=5X5=25,

332213

P(X=l)=-x-+-x-=-,

P(X=2)=淺=微,

所以X的分布列為

X012

6136

P

252525

數(shù)學(xué)期望E(X)=Ox^+lx1|+2x^=1.

(3)。@)=。(a)>。?)>。哈).

理由：由于夕脩=1)=0.8,P(2=1)=06P(+=l)=0.9,P(^4=I)=0.4,

且薇服從兩點(diǎn)分布，

「II21

所以。（a）=p（&=i）u-p（蔡=i）]=-忸（&=i）+不

由于p(<3=1)=0.9>P(4=1)=0.8>P(<2=1)=0.6片P?=1)=0.4,

。恪）=七-（以=1）1_2+;在/1）、上單調(diào)遞減，

所以D?）=。仁2）＞。?）＞。（韶）.

16.某烘焙店加工一人成本為60元的蛋糕，然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售，

如果當(dāng)天賣不完，剩下的這種蛋糕作廚余垃圾處理.

（1）若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，求當(dāng)天的利潤M單位：元）關(guān)于當(dāng)天需

求量〃（單位:個(gè)，〃《N）的函數(shù)解析式；

（2）烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：

日需求量〃14151617181920

頻數(shù)10201616151310

以這10。天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率.

①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，X表示日利潤（單位：元），求X的分布

列、數(shù)學(xué)期望及方差；

②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕，僅從獲得利潤大的角度考慮，

你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)？請說明理由.

120//-960,[0,16）,?€N,

i960,〃€[16,+00）,n€N.

（2）①由題意可得，X的所有可能取值為720,840,960,對應(yīng)的概率分別為

0.1,0.2,0.7,所以X的分布列為

X720840960

P0.10.20.7

E(X)=720x0.1+840x0.2+960x0.7=912(元);

D(X)=(720—912產(chǎn)x0.1+(840-912)2X0.2+(960-912)2X0.7=6336.

②當(dāng)加工17個(gè)這種蛋糕時(shí)，y表示日利潤(單位：元)，貝ijy的分布歹ij為

y6607809001020

p0.10.20.160.54

則E(Y)=660x0.1+780x0.2+900x0.16+1020x0.54=916.8(7E),9I6.8>912.

從數(shù)學(xué)期望來看，一天加工17個(gè)這種蛋糕的日利潤高于一天加工16個(gè)這種

蛋糕的日利潤，所以應(yīng)加工17個(gè).

17.(2023?武漢模擬)口袋中共有7個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個(gè)是

黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，直到將4個(gè)黑球

全部取出時(shí)停止.

⑴記總的抽取次數(shù)為X,求E(X)；

(2)現(xiàn)對方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)小球分裝在甲、乙兩個(gè)口袋中，甲袋裝3個(gè)

小球，其中2個(gè)是黑球；乙袋裝4個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球.采用不放回抽取方

式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)甲袋的2個(gè)黑球被全部取出后再用同樣方

式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個(gè)黑球也全部取出后停止.記這種方案的

總抽取次數(shù)為y,求反為，并用實(shí)際意義解釋E(n與(D中的E(X)的大小關(guān)系.

解(DX的所有可能取值為4,5,6,