大學物理課后題答案13

習題十三

［解］(a)因為長直導線對空間任一點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為:

B=^(COS<91-COS^)

對于導線1：4=0,d=%,因此坊=必

24處

對于導線2：四=%=)，因此%=。

綜=…我

方向垂直紙面向外。

(b)因為長直導線對空間任一點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：

8=^—(cos仇一COS?！?

4必

對于導線1：4=0,%=工，因此用=必=必，方向垂直紙面向內(nèi)。

對于導線2：，=三，&=乃，因此'=幺三=必，方向垂直紙面向內(nèi)。

2~4加4和

半圓形導線在尸點產(chǎn)生的磁場方向也是垂直紙面向內(nèi)，大小為半徑相同、電流相同的

圓形導線在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的一半，即

9=,必=必，方向垂直紙面向內(nèi)。

22r4r

所以，8P=5+&+g=9+9+必=應(yīng)+應(yīng)

p444行4r2m，4r

(c)P點到三角形每條邊的距離都是

,也

d=-a

6

4=300,2=150”

每條邊上的電流在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的方向都是垂直紙面向內(nèi)，大小都是

緣=^(cos300-cosl50°)=^

04成,72的

故P點總的磁感應(yīng)強度大小為

八35=袈

2加

方向垂直紙面向內(nèi)。

13-2有一螺線管長L=20cm,半徑『2.0cm,導線中通有強度為/=5.()A的電流，若在螺線

管軸線中點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B=6.16X10-3T的磁場，問該螺線管每單位長度應(yīng)多少

匝？

［解］已知載流螺線管軸線上場強公式為

B=(cos%-cosg)

1010

由圖知:cos0A-

2V104

所以,

所以，〃=4!還=1000匝

10〃。/

13-3若輸電線在地面上空25m處，通以電流1.8X1()3A。求這電流在正下方地面處產(chǎn)生的

磁感應(yīng)強度。

［解］輸電線可看作無限長直導線，直線電流所產(chǎn)生的磁場為:

氏1

2m

4^-xlQ-7xl,8xl03

=1.44X10-5T

2萬x25

13-4在汽船上，指南針裝在距載流導線0.80m處，該導線中電流為2()A。(1)將此導線作無

限長直導線處理，它在指南針所在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度是多大?(2)地磁場的水產(chǎn)分量(向北)

為0.18X1()TT。由于電流磁場的影響，指南針的N極指向要偏離正北方向。如果電流的

磁場是水平的，而且與地磁場垂直，指南針的指向?qū)⑵x多大?求在最壞情況下，上述汽船

中的指南針的N極將偏離北方多少度?

［解］(1)電流在指南針所在處的磁感應(yīng)強度的大小為

2X10-7X20

用二T=5.0X10-6T

27n.0.80

(2)如果電流的磁場是水平的而口與地磁場的水平分量名垂直,指南針偏離正北方向

的角度為°,則

0=15°31'

B20.18X10-4

設(shè)指南針由于電流磁場偏離正北方向的角度為外，

B2sin①、=B]sin(p2

兩邊微分后可得

dp】B]cos(p2

d%B2COS中、

為求化的最大值8m，令學?=()，則有

d02

COS%=°=—

2

因此sin^m=A=o.288m=16°8'

B)

13-5在半徑為R和一的兩圓周之間，有一總匝數(shù)為N的均勻密繞平面線圈，通有電流/,

方向如圖所示。求中心0處的磁感應(yīng)強度。

［解］由題意知，均勻密繞平面線圈等效于通以

NI圓盤，設(shè)單位長度線圈匝數(shù)為n

N

n=-----

R-r

建立如圖坐標，取一半徑為x厚度為dx的

圓環(huán)，其等效電流為：

d/=jdv=-^dv

R-r

2x2x(R-r)

=〃oMhJ

所以叫=

2x(7?-r)-2(R-r)r

Nl

方向垂直紙面向外.

13-6電流均勻地流過一無限長薄壁半圓筒，設(shè)電流/=5.0A,圓筒半徑R=l.()xl()2m如圖

所示。求軸線上一點的磁感應(yīng)強度。

［解］把無限長薄壁半圓筒分割成無數(shù)細條，每一細條可看作一無限長直導線，

取一微元出

則(］/二巴■/

7lR

則d/在O點所產(chǎn)生的磁場為

dH=〃od/=

2成-2%2R2

又因，d/=Rd。

所以，m=為任=也”

2做2TT2R

dA、=dBcos0，dZ?=dBsin0

J

因而8°=與=組，方向垂直紙面向外.

4做

(2)由安培環(huán)路定理，有：

fBdZ=//o^/i=Ao(/-1z)=Ay{

.5.5

13-9矩形截面的螺繞環(huán)，尺寸如圖所示，均勻密繞共N匝，通以電流/,試證明通過螺繞

環(huán)截面的磁通最為

e=5佇

2萬D2

［證明］建立如圖所示坐標，在螺繞環(huán)橫截面上任取一微元dS=/?dr

以與螺繞環(huán)同心的圓周為環(huán)路，其半徑為八2＜一＜2,

22

2/ir

d(P=BOS

所以(D=Jd(D=jBdS=

13-10試證明在沒有電流的空間區(qū)域內(nèi)，如果磁感應(yīng)線是一些同方向的平行線，則磁場一

定均勻。

［證明］在3線同方向平行的磁場中，作如圖的矩形回路R及而，其時邊與8線平行。由于

回路中無電流，所以安培環(huán)路定理給出［BdL=0

又B

J

￡BC1L=￡BIdL+￡fidL+JB2-dL+^BdL---------------b

其中￡8?dL及￡'5dL因〃_Ld/所以其值為零。jl---------------c

故'?"=]>

■d￡+￡B2-dL=0

因為磁感應(yīng)強度B是垂直于通過單位面積的磁通量即磁通密度，所以B線平行的磁場

中，4〃線上B處處等于4,W線上8處處等于呂2,因此有

B］ab-B2cd=0

又7=員所以"=色

由于矩形回路的位置和寬度不限，此式均可成立。所以，在沒有電流的空間區(qū)域內(nèi),

若5線是同方向平行的直線，則磁場一定均勻。

13-11如圖所示，空心圓柱無限長導體內(nèi)外半徑分別為。和b,導體內(nèi)通有電流/,且電流

在橫截面上均勻分布，介質(zhì)的影響可以忽略不計。求證導體內(nèi)部（a<r<加各點的磁感應(yīng)強度

由下式給出

［解］作圖示的安培環(huán)路有

護3〃五）

因為導體電流在橫截面上均勻分布，所以六/?,「

7r\l）~-cr\

22

即￡B-dL=/70j^-（r-a）

嚴一〃2）

所以

27r（b，-a2）r

13-12一電磁鐵的長直引線構(gòu)造如下：中間是一直徑為。I=5.0cm的鋁棒，周圍同軸地套

以內(nèi)直徑為。2=7.0cm，外直徑為4=9Ocm的鋁筒作為電流的回程（筒與棒間充以油類并

使之流動以便散熱）。若通以電流/=5.0X1（）3A,且導體的截面上電流分布均勻。試計算從

軸心到圓筒外側(cè)的磁場分布（鋁和油本身對磁場分布無影響），并畫出相應(yīng)的關(guān)系曲線。

［解］取圓筒軸線上一點為圓心，以，?為半徑的圓周為積分回路3圓面垂直于軸線。則L上

各點的磁感應(yīng)強度/大小相等。方向沿徑向。由安培環(huán)路定理得

=，內(nèi)所以=/內(nèi)

當Ovr<2.5cm,即在I區(qū)時，

_lrtr~=8xl06r2

內(nèi)="（0.025）2

所以人繚啥小心展出

當2.5cm<r<3.5cin,即在II區(qū)時，/內(nèi)=/

所以8=叢，=貯

2〃r

當3.5cm<r<4.5crn,即在HI區(qū)時,

_//（一一0.0352）

一~^-（0.0452-0.0352）

所以8必；仁0.0352)

2療2"40.045--0.0352J

2.5x10-3

=---------------1.25r

r

當r>4.5cm,即在IV區(qū)時，/內(nèi)=/一/=0

所以8=()

13-13厚為2d的無限大導體平板，其內(nèi)有均勻電流平行于表面流動，電流密度為，，求空

間磁感應(yīng)強度的分布。

［W］建立如圖所示的坐標系,對板內(nèi)，取安培環(huán)路abed

則，B?dL=2BI=4o2.W

所以B=4）jx

對板外，取安培環(huán)路"Z/cW,則有:

/dL=“）/

即2BI'=氏式2d

所以8=〃o*/

13-14一根半徑為R的長直導體圓柱載有電流/，作一寬為R長為/的假想平面S,如圖所

示。若假想平面S可在導體直徑和軸00'所確定的平面內(nèi)離開。0'軸移動至遠處，試求當

通過面5的磁通量最大時平面5的位置（設(shè)直導線內(nèi)電流分布是均勻的）。

/2

［解］足〃時：＜［?,-d/=/y0/=z/0-^-^r

J成/

雙哪麻°

用2m=〃。/0即為="

R22成2

時：d/=〃。/

即

R：271r=〃o/口2=她

2"

當假想平面的內(nèi)邊界離OO'軸工時

?/??/?dr+^--/?(jr=-l/?z-x-------

"f黑271r2成22''27R

包=_絲2?+曲，=。

令“=0

dv4成一2冗R

V5-I_/=-昌生式（舍）

內(nèi)=1—R

d》_〃（）〃，〃o〃

對。求二階導數(shù)----------------------------十-----------------------

22

dv2成217T（X+R）

因此修=彗二R時，有最大值。

13-15電流為人的等邊三角形載流線圈與無限長直線電流L共面，如圖所示。求:

⑴載流線圈所受到的總的磁場力：

(2)我流線圈所受到的磁力矩(通過點c并垂直于紙面方向的直線為軸)。

［解］ab邊到長直導線的距離為d,電流乙在ah邊上的磁場為

8=皿

271d

方向垂直紙面向內(nèi)。此磁場對加邊的作用力為

「AB=，2*=

2出

方向向左。

在ac邊上任取一d/,設(shè)dZ到/,的距離為x，則L在＜1/處產(chǎn)

生的磁場為3=幺色，〃受到的磁力d/=/,d，xB,又因為dZ_L3

2K

所以=IQIB=幺必■—^―,

-2Kcos30°

所以居c=f"日'縹必5=41￡in(l+型)，方向如圖所示。

acJ"V3.7x岳2d，

同理，可求得小=居『方向如圖所示。

則線圈受到的合力為：

ZK=。，

=Kb+%x+&x=——^ln(l+—)1

乙xab“Xhex4［2,/62JJ

方向沿X軸負向。

(2)因為dE=/dS〃〃的方向垂直直面向外

所以d尸MHB

又因為dM=dPMxB,所以dM=0,所以M=o

13-16試證明：一個任意形狀的閉合載流線圈在均勻磁場中所受的總的磁場力恒為零。

［證明］把閉合線圈分成無數(shù)個皿，則|"［=|/d/xM=/d/B,

將d/沿x、y軸分解

dFx=d/sin。

dF、.=dFcos^

dFA=/JBdv

所以

dFy=/BcLv

A=pBdv=p/5dy=()

F、=J/BdA=￡/B(k=O

因此尸=0

13-17在一個圓柱磁鐵N極正上方，水平放置一半徑為R的導線圓環(huán)，如圖所示，其中通

有順時針方向（俯視）的電流/。在導線處的磁場B的方向都與豎直方向成a角。求導線環(huán)受

的磁場力。

［解］圓環(huán)上每個電流元受力為d尸二

將B分解為z分量和徑向分量：B=B.?+Br

B/=Bcosa,Br=Bsina

所以dF=/dZx(Bz4-fir)=Zd/xBz4-/d/xBr

dP,=/dZxBrdF,=Zd/x?,

對于圓環(huán)jd居=0

圓環(huán)所受合力為

r=mJd/=/Bsina（TRde=2R?msina,方向沿z軸正向。

13-18一圓線圈的半徑為上載有電流/,置于均勻磁場中，如圖所示。在不考慮載流線圈

本身激發(fā)的磁場的情況下，求線圈導線上的張力（已知線圈法線方向與B的方向相同）。

［解］取半個圓環(huán)為研究對象,受力如圖所示，由平衡條件，有:27=/，半圓所受到的磁力少等

效于長為2R的載流直導線，在磁場中受力：

F=BIl=2BIR

所以r=￡=理=8/R

22

13-19將一均勻分布著面電流的無限大載流平面放入均勻磁場中，已知平面兩側(cè)的磁感應(yīng)強

度分別為4和8/如圖所示）。求載流平面上單位面積所受磁力的大小I

和方向。

［解］由圖可知，色>0，說明載流平面的磁場8的方向與所放入的均

勻磁場凡的方向在平面右側(cè)是一致的，在平面左側(cè)是相反的，進而說

明平面上電流方向是垂直于紙面向內(nèi)。設(shè)面電流密度為人則??J

Bi=B0-B=B0--//0J

B2=B+B0=B0+；4（）/

由此二式解得8（）=—（禺+）>j——-5］）

2〃o

在載流平面上沿電流方向取長為力、寬為（1/的條形面積，面積dS=〃d/,面積上電流W=/W,

此電流受到的磁力大小為

dF=BhdI=Bjhd/=BjdS

載流平面單位面積所受磁力大小為

窄=場=（4+8］居-B］）=J—（8；-麻）

方向為垂直于平面向左。

13-20磁場中某點處的磁感應(yīng)強度3=0.40"0.20/T,一電子以速度

y=0.5x103+I.OxIO'jm/s通過該點。求作用在該電子上的磁場力。

［解】由洛侖茲力公式，有

iJk

F=qvxB=-\.6x\0~190.51.00x106=8x10-14jlN

0.4-0.20

13-21質(zhì)子和電子以相同的速度垂直飛入磁感應(yīng)強度為笈的均勻磁場中，試求質(zhì)子軌道半

徑與電子軌道半徑R?的比值。

［解］由粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑公式r=把

qB

R質(zhì)_，〃貯/加電-_驅(qū)=1.67x10-27

R電徹8/q電B機電0.91x10-3°=1.84x103

13-22估算地磁場對電視機顯像管中電子束的影響。假設(shè)加速電壓為2.0xl04V,電子槍

到屏的距離為0.40m。試計算電子束在().5()X1OTT的橫向地磁場作用下，約偏轉(zhuǎn)多少?假定

沒有其它偏轉(zhuǎn)磁場，這偏轉(zhuǎn)是否顯著？

［解］電子動能—mv2=eU

2

式中U為加速電勢差。電子的速度大小為

\2eU(2xl.6xl0-,9x2.0xl04.。)N/

v=J-------=J-------------------------------------m/s=8.4x10m/s

VmV9.1x10-31

在橫向地磁場的作用下，電子沿弧形軌道運動，軌道半徑為

?mv9.1X10-3IX8.4X107

A=----=-------------------------------in=9.6m

eBI.6X10-19X0.5X10~4

設(shè)電子槍到屏的距離為d,由圖可知，電子到達屏時，它的偏轉(zhuǎn)距離為

x=R-dR2d?=(9.6-A/9.62-0.22Im=2x=2mm

相對于電子槍到屏的距離，這偏轉(zhuǎn)不算顯著。

13-23一塊半導體的體積為ax/’xc,如圖示。沿x方向有電流/,在z方向有均勻磁場人

這時實驗得出的數(shù)據(jù)為《=0.l0cm,/>=O.35cm,c=1.0cm,/=1.0mA,6=0.30T,半導體片兩

側(cè)的霍耳電勢差UM，=6.55mVo

(1)問這塊半導體是〃型還是〃型？

(2)求載流子濃度。

［解］(I)因載流子所受磁力方向沿y軸反方向，側(cè)面A電勢較

低，故我流子是負電荷(即電子)，這半導體是N型半導體。

(2)霍爾電壓=—

nea

由此可得載流子濃度

IB___________l.OxlQ-3xO.3O

個/n?=2.86x1020個/n?

"1.6xIO-19x0.10xIO-2x6.55xIO-3

13-24摻碎的硅片是n型半導體，其中載流子濃度是2.0x1021個/n?,電阻率是

1.6x102Qmo用這種硅做成霍耳探頭以測量磁場。硅片的尺寸相當小，是

0.50cmx0.20cmx0.0050cmo將此片長度的兩端接入電壓為IV的電路中。當探頭放到磁場

某處并使其最大表面與磁場方向垂直時，測得0.20cm寬度兩側(cè)霍耳電壓是1.05mVo求磁場

中該處的磁感應(yīng)強度。

［解］設(shè)a=0.5cm,b=0.2cm>c=0.005cm。硅片的電阻/?=/?￡?

be

因此電流/=-=—

Rpa

硅片的霍爾電壓u=—=—

}lneenepa

由此可得磁感應(yīng)強度

B=nepciUu

，Ub

2xlCpix1.6xIO,x］6x10-2x0.5xICT2*1.05x10-3

T=1.34X10-2T

1x0.2x10-2

13-25從經(jīng)典觀點看，氫原子可視為是一個電子繞核作高速旋轉(zhuǎn)的體系。已知電子和質(zhì)子

的電量均為“，電子質(zhì)量是/"，氫原子圓軌道半徑為八電子作平面軌道運動。試求電子的

軌道磁矩Pm和它在圓心處產(chǎn)生的磁場紇。

圓心處的B/字￡、工=&匚=維、工

13-26半徑為。、線電荷密度為4(常量)的半圓，以角速度/繞軸O'O"勻

速旋轉(zhuǎn)，如圖所示。求：

(1)在點。產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度3：

(2)旋轉(zhuǎn)的帶電半圓的磁矩Pm。

［解］(1)把半圓分成無數(shù)個小弧每段帶電量&7=〃d/=〃de

旋轉(zhuǎn)后形成電流元d/=〃?&/=4~dg=%2

2427

由圓環(huán)土="""得R=as\nOx=acosO

2處十下

由〃。-si/Od=岫s".

2(cr-sin20+a2-cos2句~2“4乃

8=Jd8=I)sin?見〃=""j"方向向上

(2)因為％=0,d%=Sdl=必2sin2閔/=而"；n-'de

八產(chǎn)coAa2,sin20,八cocci'M.，八,八