2025年中考數(shù)學總復習《二次函數(shù)中新定義型存在性問題》專項檢測卷附答案

第第頁2025年中考數(shù)學總復習《二次函數(shù)中新定義型存在性問題》專項檢測卷附答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．已知y是以x為自變量的函數(shù)，當x=m時，函數(shù)值為M，若存在實數(shù)m，使得M=3m?3，則稱點(m，M)是函數(shù)y的“奇妙點”，以下函數(shù)存在兩個“奇妙點”的是（）A．y=?1x B．y=5x2?x 2．新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍點.若二次函數(shù)y=x2?x+c（c為常數(shù)）在?2<x<4A．?2<c<14 B．?4<c<94 C．二、填空題3．對于一個二次函數(shù)y=a(x?m)2+k（a≠0）中存在一點P(x',y三、解答題4．定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標互為相反數(shù)的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“琦點”．例如，點(1,?1)是函數(shù)y=x?2的圖象的“琦點”．（1）分別判斷函數(shù)y=?x+4，y=x（2）若拋物線y=ax2+2ax+b(a>0)有兩個“琦點”為點A(1,m),B(n,?n)（3）若函數(shù)y=?x2+6的圖象記為W1，將其繞點(0,m)旋轉180°后的圖象記為5．定義：對于兩個關于x的函數(shù)，如果存在x取某一值時，兩個函數(shù)的函數(shù)值相等，那么稱兩個函數(shù)互為“明盟函數(shù)”，其中x的值叫做這兩個函數(shù)的“明盟點”，相等的函數(shù)值叫做“明盟值”．例如：對于函數(shù)y1＝2x與y2＝﹣x+3，當x＝1時，y1＝y(tǒng)2＝2，因此，y1、y2互為“明盟函數(shù)”，x＝1是這兩個函數(shù)的“明盟點”，“明盟值”為2．（1）下列函數(shù)中是y＝﹣2x的“明盟函數(shù)”的有（填序號）；①y＝x﹣2；②y=1x；③y＝x（2）已知函數(shù)y1＝m（x+2）﹣3與函數(shù)y2=x?3(x≥3)3?x(x＜3)，若y1與y2只存在一個“明盟點”，求（3）若無論n取何值，y=3x?n(n+1n+2w)(w為常數(shù)）與函數(shù)y＝x2﹣（2n﹣3）x+4n﹣1（n為常數(shù)，﹣1＜n6．我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“T函數(shù)”，其圖象上關于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”．根據(jù)該約定，完成下列各題．（1）若關于x的函數(shù)y＝(m+1)x2+(m2-1)x是“T函數(shù)”，求m的值；（2）若點A（1，r）與點B（s，4）是關于x的“T函數(shù)”y＝?4x(x<0)tx2(（3）若關于x的“T函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過坐標原點O，且與直線l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常數(shù)）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，當x1，x2滿足x1+x2＝x1x2時，直線l是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標；否則，請說明理由．7．我們不妨稱Pm,m+2為“長梅點”，例如0.2（1）下列函數(shù)圖象中存在“長梅點”的是________．①y=x?2；②y=3x；③（2）在反比例函數(shù)y=6x1≤x≤16的圖象上存在三點At,6t、Bs,6s、C（3）設Q是二次函數(shù)y=x2圖象上的“長梅點”，一次函數(shù)y=kx+b與二次函數(shù)y=x2相交于點M、N（不妨設M在8．新定義：對于拋物線y=ax2+bx+c，若b（1）求：此黃金拋物線的表達式及D點坐標；（2）點B2,k①點Cc,?12②在射線AB上找一點P，使以點P、A、D所組成的三角形與△AOD相似，求：P點坐標．9．定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為10．定義：如果兩個函數(shù)y1，y2存在x取同一個值，使得y1＝y(tǒng)2，那么稱y1，y2互為“等值函數(shù)”，對應的x值為y1，y2的“等值根”．（1）函數(shù)y1＝12x+b與y2=（2）如圖所示的是y＝﹣|x2+2x|的圖象，它是由二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x的圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變得到的．若y1＝12x+b與y2＝﹣|x2+2x|互為“等值函數(shù)”，且有兩個“等值根”，求b11．規(guī)定：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一對點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“守望函數(shù)”，這對點稱為“守望點”．例如：點P（2，4）在函數(shù)y=x2上，點Q（?2，?4）在函數(shù)y=?2x?8上，點P與點Q關于原點對稱，此時函數(shù)y=x（1）函數(shù)y=?2x?1和函數(shù)y=4x是否互為“守望函數(shù)”？若是，求出它們的“守望點”，若不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)y=x2+2x（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca>0與y=2bx+1互為“守望函數(shù)”，有且僅有一對“守望點”，若二次函數(shù)的頂點為M，與x軸交于Ax1,0，Bx2,0，其中0<x12．我們把函數(shù)圖象上橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)的點定義為這個函數(shù)圖象上的“互反點”.例如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點P（﹣1，1），則點P為二次函數(shù)y＝x2圖象上的“互反點”.（1）求一次函數(shù)y＝﹣2x﹣3的“互反點”.（2）若二次函數(shù)y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一個“互反點”，且與y軸交于正半軸，求當1≤x≤3時，y的取值范圍.（3）若對于任意的實數(shù)n，在二次函數(shù)y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的圖象上，恒有兩個相異的“互反點”，求m的取值范圍.13．新定義：已知y是x的函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在一點P（a，a+2），則稱點P為函數(shù)圖象上的“樸實點”．例如：直線y＝2x+1上存在的“樸實點”是P（1，3）．（1）判斷直線y＝13（2）若拋物線y＝x2+3x+2-k上存在兩個“樸實點”，兩個“樸實點”之間的距離為22，求k的值；（3）若二次函數(shù)y＝18x2四、實踐探究題14．新定義：若函數(shù)圖象一定過點m,n，我們稱m,n為該函數(shù)的“永固點”．如：一次函數(shù)y=k(x?2)(k≠0)，無論k值如何變化，該函數(shù)圖象一定過點2,0，則點2,0稱為這個函數(shù)的“永固點”．【初步理解】一次函數(shù)y1【理解應用】二次函數(shù)y2【知識遷移】點P為拋物線y2=?mx2+2mx+3mm>0的頂點，設點A到直線y1=?mx+3mm>0的距離為d15．小亮同學喜歡研究數(shù)學問題．他在一本資料中看到一個新的數(shù)學概念“對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形”，并對垂等四邊形進行了研究．具體內(nèi)容如下：【理解應用】（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是垂等四邊形，點A的坐標為4,0，點C的坐標為0,3，求點B的坐標；【規(guī)律初探】（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上，點F在邊BC上，點G在邊CD上，點H在邊AD上，若四邊形滿足EG=FH，請直接寫出四邊形EFGH面積S的取值范圍；【綜合探究】（3）如圖3，已知拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于M、N兩點，點M在點N的左側，P、Q兩點在該拋物線上．若以M、N、P、Q為頂點的四邊形是垂等四邊形且MN∥PQ．設點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為n參考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】44．【答案】（1）函數(shù)y=?x+4的圖象上不存在“琦點”；函數(shù)y=x2?2x的圖象上存在“琦點”為(0,0)（2）y=x（3）m=258或2或5．【答案】（1）①③（2）解：當直線y1＝m（x+2）﹣3與y＝x﹣3平行時，y1與y2只存在一個交點，此時m＝1，∴m≥1時，y1與y2只存在一個“明盟點”；當y1＝m（x+2）﹣3經(jīng)過點（3，0）時，m=35，此時y1與y當直線y1＝m（x+2）﹣3與y＝3﹣x平行時，y1與y2不存在交點，此時m＝﹣1，∴m＜﹣1時，y1與y2只存在一個交點；綜上所述：m≥1或m=35或m＜﹣1時，y1與y（3）解：由題可得3x﹣n（n+1n+整理得，x2﹣2nx+4n+2nw+n2＝0，∵只有一個“明盟點”，∴Δ＝0，即16n+8nw＝0，∵無論n取何值都成立，∴w＝﹣2，當w＝﹣2時，x2﹣2nx+n2＝0，解得x＝n，y＝﹣n2+7n﹣1＝﹣（n?72）2∴y≤456．【答案】（1）解：依題意：m2-1=0，且m+1≠0，得m=1；（2）解：∵A，B關于y軸對稱，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐標為（1，4），把A（1，4）代入是關于x的“T函數(shù)”中，得：t＝4，故答案為r＝4，s＝﹣1，t＝4；（3）解：∵y＝ax2+bx+c過原點，∴c＝0，∵y＝ax2+bx+c是“T函數(shù)”，∴b＝0，∴y＝ax2，聯(lián)立直線l和拋物線得：y=ax2y=mx+n∴x1+x又∵x1+x2＝x1x2，∴ma∴y＝mx+n＝mx﹣m，當x＝1時，y＝0，∴直線l必過定點（1，0）．7．【答案】（1）②（2）2（3）一次函數(shù)y=kx+b過定點(1,2)或(1,0)或(?2,3)或(?2,5)8．【答案】（1）y=x2（2）①14；②12,49．【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；函數(shù)y=x2?x的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）b=43或?2310．【答案】（1）解：12x+b=4x，

∴x2-2bx-8=0，

△=(2b)2+32=4b2+32>0，

∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根，

∴函數(shù)y1＝12x+b與y2=4x是互為“等值函數(shù)”；

當b=1時，則有x（2）解：如圖，當直線在點A與點O之間運動時，與y＝﹣|x2+2x|的圖象有兩個等值根，

當﹣|x2+2x|=0時，

解得x=-2或0，

∴點A（-2，0），點O（0，0），

當y1＝12x+b過點A時，12×（-2）+b=0，

解得b=1，

當y1＝12x+b過點O時，12×0+b=0，

解得b=0，

∴0<b<1，y1＝12x+b與y2＝﹣|x2+2x|互為“等值函數(shù)”，

當-2<x<0，二次函數(shù)y=x2+2x，當y1＝12x+b與y2＝x2+2x有一個等值根時，即x2+2x=12x+b，

整理得：△=x2+32x-b=0，

△=b2-4ac=94+4b=0，

解得b=-916，

∴當b<-916，y1＝12x+b與y2＝﹣|x2+2x|互為“等值函數(shù)”，且有兩個“等值根”，

∴當0<b<1或b<-11．【答案】（1）解：設Pa,b在y=?2x?1上，則Q?a,?b在y=4x，∴b=?2a?1?b=?4a，

解得a=?16b=?23，

∴（2）解：設Ps,t在y=x2+2x上，則Q?s,?t在y=4x+n?2022上，∴t=s2+2s?t=?4s+n?2022，

∴消去t得s2?2s+n?2022=0，

∵是“守望函數(shù)”，

∴Δ=4?4n?2022≥0，

∴n≤2023，即n有最大值2023，

當n=2023時，s（3）解：設Px,y在y=ax2+bx+c，則Q?x,?y在y=2bx+1上，∴y=ax2+bx+c?y=?2bx+1，

整理得ax2?bx+c+1=0，

∵有且僅有存在一對“守望點”，

∴Δ=b2?4ac+1=0，即4ac?b24a=?1，

∴頂點M的縱坐標為?1，

∵由二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于Ax1,0，Bx2,0，即x1，x2為ax2+bx+c=0兩個根，

∴x1+x2=?ba，x1?x2=ca，

∴AB=x1+x22?4x1x2=2a，

∵AB=2，

∴a=1，

∵a=4c12．【答案】（1）解：設一次函數(shù)y＝﹣2x﹣3的“互反點”為（x，﹣2x﹣3），則：﹣2x﹣3+x＝0，解得：x＝﹣3，∴﹣2x﹣3＝3.∴一次函數(shù)y＝﹣2x﹣3的“互反點”為（﹣3，3）；（2）解：設二次函數(shù)y＝x2﹣（2a+1）x+a的“互反點”為（x，x2﹣（2a+1）x+a），則：x2﹣（2a+1）x+a+x＝0.∴x2﹣2ax+a＝0.∵二次函數(shù)y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一個“互反點”，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝0.即：4a2﹣4a＝0.解得：a1＝0，a2＝1.令x＝0，則y＝a，∴拋物線y＝x2﹣（2a+1）x+a與y軸交于點（0，a）.∵二次函數(shù)y＝x2﹣（2a+1）x+a與y軸交于正半軸，∴a＞0.∴a＝1.∴y＝x2﹣3x+1.當x＝1時，y＝﹣1，當x＝3時，y＝1.∴1≤x≤3時，y的取值范圍為：﹣1＜y＜1.（3）解：二次函數(shù)y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的圖象上的“互反點”為（x，（m+1）x2+nx+n﹣1），則：（m+1）x2+nx+n﹣1+x＝0.即：（m+1）x2+（n+1）x+n﹣1＝0.∵二次函數(shù)y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的圖象上，恒有兩個相異的“互反點”，∴Δ1＝（n+1）2﹣4（m+1）（n﹣1）＞0.∴n2﹣（4m+2）n+4m+5＞0.∵對于任意的實數(shù)n，此不等式恒成立，∴Δ2＝[﹣（4m+2）]2﹣4×1×（4m+5）＜0.∴16m2+16m+4﹣16