2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《線段問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《線段問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．在中，，，根據(jù)題意完成下列問題：(1)如圖①，點(diǎn)為內(nèi)的點(diǎn)，連接，，，將繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得．連接，，若，，，求證：．(2)如圖②，若點(diǎn)是中斜邊上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），試求、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．在中，，以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到；再以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到；連結(jié)，

(1)如圖，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖，，探究與的位置關(guān)系，并說明理由．3．在中，，點(diǎn)D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)連結(jié)，證明：．(2)在線段延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，滿足，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，，補(bǔ)充圖形，直接寫出的大小，并說明理由．4．如圖1，在中，，，點(diǎn)D在上，交于點(diǎn)E，F(xiàn)是中點(diǎn)．(1)線段與線段的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是_____；(2)如圖2，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與線段的關(guān)系是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論并證明；(3)將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果，，直接寫出線段長(zhǎng)的取值范圍_______．5．如圖1，已知、都是等腰直角三角形，，，E為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，如圖2，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)當(dāng)A、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求的長(zhǎng)．6．如圖，已知點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，且，，．(1)求的度數(shù)；以下是甲，乙，丙三位同學(xué)的談話：甲：我認(rèn)為這道題的解決思路是借助旋轉(zhuǎn)，我選擇將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°；乙：我也贊成旋轉(zhuǎn)，不過我是將進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；丙：我是將進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你借助甲，乙，丙三位同學(xué)的提示，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟮亩葦?shù)；(2)若改成，，，的度數(shù)＝______°，點(diǎn)到的距離為______；類比遷移：(3)已知，，，，，，求的度數(shù)．7．在中，，，為平面內(nèi)的一點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，且，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的外部，且滿足，求證：；(3)如圖3，，當(dāng)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，直線與的交點(diǎn)為，連接，直接寫出旋轉(zhuǎn)中面積的最大值．8．如圖，在中，，，于點(diǎn)D．點(diǎn)G是射線AD上一點(diǎn)，過G作分別交AB、AC于點(diǎn)E、F：

(1)如圖①所示，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，求證：；(2)如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)G在線段AD外，且點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的最小值．參考公式：9．已知，在中，，，E是邊上一點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．若，，求的面積；(2)如圖2，連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，取的中點(diǎn)N，連接．證明：；(3)如圖3，已知，連接，P為上一點(diǎn)，在的上方以為邊作等邊，剛好點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值的條件下，點(diǎn)G是直線上一點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折得到（與在同一平面內(nèi)），連接，當(dāng)取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．10．在中，，是上一點(diǎn)．(1)如圖1，是中點(diǎn)，，，，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，，點(diǎn)在線段上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，連接，若，直接寫出的最小值．11．在中，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．是邊上的動(dòng)點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，交于，連接．且，．

(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作△，取的中點(diǎn)為，連接．當(dāng)最大時(shí)，直接寫出的值．12．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點(diǎn)F、D、G共線，易證_________，故之間的數(shù)量關(guān)系為_________．(2)類比引申：如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊的延長(zhǎng)線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并給出證明．(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在中，，點(diǎn)D、E均在邊上，且．若，直接寫出和的長(zhǎng)．13．在中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．

(1)如圖1，，，點(diǎn)在射線上，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，，于點(diǎn)，，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：(3)如圖3，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到的距離．14．如圖所示，等腰直角中，．(1)如圖1所示，若D是內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，，則線段、的關(guān)系為______；(2)如圖2所示，若D是外一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且，求證：；(3)如圖3所示，若是斜邊的中線，為下方一點(diǎn)，且，，，求出的長(zhǎng)．15．如圖，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，，且．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，探究是否為定值，并說明理由；(3)當(dāng)，，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．參考答案1．(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)平行線的判定定理得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，∵將繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，∴，，∴，∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：，理由：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，則，，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)平行，理由見詳解【分析】（1）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，和，證明四邊形為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出．（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，易證，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，故可得出．【詳解】?）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，∴四邊形為矩形，∵旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴四邊形為正方形，∴．∴的長(zhǎng)為．（2）與的位置關(guān)系是平行．理由：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．∴與的位置關(guān)系是平行．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．(1)見詳解(2)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，取中點(diǎn)N，連接，由等腰三角形的“三線合一”得到，，可證明，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求證；（2）在射線上取點(diǎn)H，使得，連接，先證明，則可得，再證明，則，繼而，可證明，因此，可證明，繼而求解．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，取中點(diǎn)N，連接，由題意得，，∵中點(diǎn)為點(diǎn)N，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即：；（2）解：，在射線上取點(diǎn)H，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴∵點(diǎn)E與點(diǎn)G關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)＝，⊥；(2)線段與線段的關(guān)系不發(fā)生變化．證明見解析；(3)．【分析】（1）由直角三角形斜邊中線定理即可證明，進(jìn)而可證；（2）如圖，延長(zhǎng)到M使得，延長(zhǎng)到N，使得，連接、、、，延長(zhǎng)交于H，交于O，證明，推出，再利用三角形中位線定理即可解決問題；（3）分別求出的最大值、最小值即可解決問題．【詳解】（1）∵，，∴，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，，故答案為：＝，⊥；（2）線段與線段的關(guān)系不發(fā)生變化．理由如下：如圖，延長(zhǎng)到M使得，延長(zhǎng)到N，使得，連接、、、，延長(zhǎng)交于H，交于O，

∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可證，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，，同理可證，，∴，∵，，∴，∴，∴，；（3）如圖2，連接．

∵，∴如圖3時(shí)取得最大值時(shí)，點(diǎn)E落在上時(shí)，

∵，，∴，∵，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴的最大值；如圖4中，當(dāng)點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最小，

∵，，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴的最小值，綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊的關(guān)系，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．(1)見解析(2)(3)長(zhǎng)為或．【分析】此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，判斷出是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，再判斷出夾角相等，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出是等邊三角形，進(jìn)而判斷出，求出，借助（1）的結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：先判斷出，利用勾股定理求出，進(jìn)而得出，最后借助（1）結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，，，，同理：，，，，，，；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)前，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在中，取的中點(diǎn)，連接，，，由旋轉(zhuǎn)知，，是等邊三角形，，，，，，，由（1）知，，，；（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，，，由（1）知，，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖4，同①的方法得，，，由（1）知，，，，即：滿足條件的長(zhǎng)為或．6．(1)(2)，4.(3)【分析】（1）甲：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，分別計(jì)算與的度數(shù)即可得到的度數(shù)．乙：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，分別計(jì)算與的度數(shù)即可得到的度數(shù)．（2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性質(zhì)可求點(diǎn)到的距離；（3）利用（1）中的方法，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，同理可得，，由此即可求出．【詳解】（1）解：（1）選擇甲：如圖1，作，且，連接，，則是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，；乙：如圖2，同理可得，，，；丙：如圖3同理可得，，，；（2）同理（1）可得：，∴，如圖4，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，∴，∴，故答案為：，4.（3）如圖5，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，∴，，，∴，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．7．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）將沿折疊，得到，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求解即可；（2）過作，且，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求解即可；（3）連接交于G，證明出，得到，然后證明出為直角三角形，點(diǎn)P在以中點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓上，連接交所在直線于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最大，然后利用三角形中位線和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，將沿折疊，得到，連接，

∵，∴，將沿折疊，得到，∴∴，，，∴，∴為等邊三角形，為等腰直角三角形∴，∴；（2）如圖，過作，且，連接，

∵∴，又∵，∴∴又∵，∴，，即，，∴∴；（3）如圖3，連接交于G點(diǎn)∵繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)∴，，∵∴∴∴∵∴∴為直角三角形∴點(diǎn)P在以中點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓上，連接交所在直線于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最大，∵∴A、P、B、C四點(diǎn)共圓∵，∴N是的中點(diǎn)∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P到所在直線的距離的最大值為．∴的面積最大值為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線性質(zhì)，四點(diǎn)共圓性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．8．(1)證明見詳解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）過點(diǎn)作上交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由等腰直角三角形可得，，由““可證，可得，可得結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，由角所對(duì)直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解．【詳解】（1）解：由題：在中，，，于點(diǎn)，,則也是上的中點(diǎn)，即是的垂直平分線，，，，，，，．（2），理由如下：如圖1，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，AI

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，，，，，是等邊三角形，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，，，，，，，的最小值為：．【點(diǎn)睛】考查綜合運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)作輔助線證明的能力，用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決幾何最值問題，對(duì)于與等腰直角三角形有關(guān)的證明題往往要進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)，把要證明的要素集中到一個(gè)熟悉的圖形中進(jìn)行，最值問題常常要通過軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)把要求的線段之和或差轉(zhuǎn)化為俱有固定端點(diǎn)的折線，然后據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來解決．9．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明，可得，由三角形的面積公式可求解；（2）作輔助線如解析圖，證明，可得，進(jìn)一步可得，證明，可得，從而可得結(jié)論；（3）作輔助線如解析圖，可得當(dāng)點(diǎn)，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，由折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而得點(diǎn)K在以C為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)點(diǎn)K落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，然后由直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)F作直線于H，

∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴的面積；（2）證明∶如圖2，過點(diǎn)M作，交直線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作，交于Q，

∵，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

∵點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴平分垂直平分，∵是等邊三角形，∴，∴，∵點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴為等邊三角形，∵，∴當(dāng)點(diǎn)，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點(diǎn)K在以C為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)K落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，∵為等邊三角形，，∴垂直平分，∵，∴，∵，，∴，，

∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，由題意得到，利用勾股定理得到，根據(jù)是中點(diǎn)，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取，取的中點(diǎn)Q，連接，證明，得到，設(shè)，則，根據(jù)點(diǎn)C，Q分別為的中點(diǎn)推出，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出結(jié)論；（3）連接，取的中點(diǎn)P，連接，將繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)S，交于點(diǎn)T；根據(jù)是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，則，由題意證明，得到，進(jìn)而得到，是等腰直角三角形，推出，，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)T重合時(shí)，有，有最小值，則有最小值，最后根據(jù)，利用銳角三角函數(shù)求解出的長(zhǎng)即可得出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，

，，，即，，，即，，，是中點(diǎn)，，，，是等腰三角形，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取，取的中點(diǎn)Q，連接，

線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，設(shè)，則，點(diǎn)C，Q分別為的中點(diǎn)，，，，是等腰三角形，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點(diǎn)P，連接，將繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)S，交于點(diǎn)T；

是等腰直角三角形，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，，，，，，則，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，如圖，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)T重合時(shí)，有，有最小值，則有最小值，

，在中，，，，都是直角三角形，，，設(shè)，則，，，，，，，即，解得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合問題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三角形，正確構(gòu)造輔助線，證明三角形全等和構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解等腰三角形求得，解斜三角形，求得，證明，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）作于，作于，連接，作交的延長(zhǎng)線于，由得出，證明可得，解斜三角形可得，進(jìn)而得出和的關(guān)系，進(jìn)一步求得結(jié)論；（3）可得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線交的處時(shí)，最大，然后解直角三角形和斜三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，

作于，作交的延長(zhǎng)線于，，，，，在四邊形中，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖2，

作于，作于，連接，作交的延長(zhǎng)線于，由（1）知：，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)、、、共圓，，，，，，在中，，在和中，，，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，

由（2）得：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線交的處時(shí)，最大，設(shè)，，，，，，，在中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)綜合題，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理了、三角函數(shù)等．第三問的難度較大，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．12．(1)，(2)，證明見解析(3)，【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，計(jì)算，即點(diǎn)、、共線，再根據(jù)證明，得，可得結(jié)論；（2）作輔助線：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，所以；（3）同理作輔助線：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，先由勾股定理求的長(zhǎng)，證明，求出，，繼而得到，過A作，垂足為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，可得，利用勾股定理可得．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，即點(diǎn)、、共線，四邊形為矩形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）如圖2，，理由是：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則在上，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，連接，，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，．，，，，過A作，垂足為，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達(dá)到解一題知一類的目的，本題通過旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．13．(1)；(2)，理由見解析；(3)．【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)及等腰直角三角形的性質(zhì)得，，，，，進(jìn)而求得，然后分別在、和中，解直角三角形即可得解；（2）如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而得最后證明，，即可得解；（3）如圖，在、上分別取點(diǎn)、，使得，則，連接，延長(zhǎng)到，使得，連接，先證、和都是等邊三角形，得，，，，進(jìn)而證明，得，由三角形相似得，于是有點(diǎn)在等邊的外接圓的上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接、，分別過、作，于點(diǎn)、，則，利用解直角三角形及勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，，∴，，，，∴，∵，∴，在中，，即，解得，∴，在中，，即，∴，在中，，即，解得；（2）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，∴，，∵，∴，化簡(jiǎn)得，∵，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，，即，∴，∵在和中，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴；（3）解：如下圖，在、上分別取點(diǎn)、，使得，則，連接，延長(zhǎng)到，使得，連接，

∵，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，，∴和都是等邊三角形，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，即，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在等邊的外接圓的上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接、，分別過、作，于點(diǎn)、，則，

∴，∵，∴，∵，，∴，∴即，解得，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及解直角三角形等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．14．(1)垂直且相等(2)見解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，然后由證，即可得出結(jié)論；（2）連接、，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，證，得，再證，則，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，且，連接、，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，證，得，，再證，則是等腰直角三角形，得，設(shè)，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解