高中數(shù)學(xué)第一章算法初步1.3算法與案例人教版

1.3算法案例(列為選學(xué))1/27學(xué)習(xí)目標(biāo)1．經(jīng)過案例體會(huì)算法思想．2．了解案例中算法用途．2/27

課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練1.3算法案例(列為選學(xué))課前自主學(xué)案3/27課前自主學(xué)案溫故夯基1．在兩個(gè)正數(shù)全部條約數(shù)中最大一個(gè)條約數(shù)為它們___________．如12和18最大條約數(shù)為__,4和20最大條約數(shù)為__.最大條約數(shù)644/272．當(dāng)x＝2時(shí)，多項(xiàng)式f(x)＝x(x(x＋1)＋1)＋1值為___，加法與乘法共有__次運(yùn)算．3．在度、分、秒互化中，其進(jìn)制單位為___;在“分米”與“米”互化中，其進(jìn)制單位為___.15560105/27知新益能1．輾轉(zhuǎn)相除法是用于求兩個(gè)正整數(shù)____________一個(gè)方法，這種算法由歐幾里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法．2．所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定兩個(gè)正整數(shù)，用_______除以_______．若余數(shù)不為零,則將______________組成新一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)_______就是原來兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)．最大公約數(shù)較大數(shù)較小數(shù)較小數(shù)余數(shù)和較小數(shù)6/273．更相減損術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中介紹一個(gè)求兩個(gè)正整數(shù)最大條約數(shù)方法．其基本過程是：對(duì)于給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，則用_________________，接著把所得___與_______比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得數(shù)_____為止,則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)數(shù)乘積就是所求最大條約數(shù)．較大數(shù)減去較小數(shù)差較小數(shù)相等7/274．秦九韶算法是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在他代表作《數(shù)學(xué)九章》中提出一個(gè)用于計(jì)算一元n次多項(xiàng)式值方法．5．進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定記數(shù)系統(tǒng)．“滿k(k是一個(gè)大于1整數(shù))進(jìn)一”就是_______，k進(jìn)制基數(shù)是___.k進(jìn)制k8/276．將k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)方法是：先把k進(jìn)制數(shù)寫成用各位上數(shù)字與k冪乘積之和形式，再按照十進(jìn)制數(shù)運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果．7．將十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)方法是：___________，即用k連續(xù)去除十進(jìn)制數(shù)或所得商直到商為零為止，然后把各步得到余數(shù)倒著寫出就是對(duì)應(yīng)k進(jìn)制數(shù)．除k取余法9/27問題探究1．實(shí)際應(yīng)用更相減損術(shù)時(shí)要做第一步工作是什么？提醒：先判斷a，b是否全為偶數(shù)，若是，則先都除以2再進(jìn)行．2．用秦九韶算法求x＝2時(shí)f(x)＝x3＋3x2＋x＋1值，第一個(gè)一次多項(xiàng)式值為多少？提醒：由秦九韶算法知f(x)＝[(x＋3)x＋1]x＋1.∴由內(nèi)到外第一個(gè)一次多項(xiàng)式值為2＋3＝5.10/27課堂互動(dòng)講練求最大條約數(shù)考點(diǎn)一考點(diǎn)突破用輾轉(zhuǎn)相除法求最大條約數(shù)時(shí)，相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果，用更相減損術(shù)求最大條約數(shù)時(shí)，當(dāng)被減數(shù)與差相等時(shí)普通它就是最大條約數(shù)．11/27

用輾轉(zhuǎn)相除法求80和36最大條約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)所得結(jié)果．【思緒點(diǎn)撥】按定義一步步遞推．【解】輾轉(zhuǎn)相除法：80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2＋0.故80和36最大條約數(shù)是4.用更相減損術(shù)檢驗(yàn)：例112/2780－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4，8－4＝4，∴80和36最大條約數(shù)是4.13/27【思維總結(jié)】輾轉(zhuǎn)相除法理論依據(jù)是：由m＝nq＋r能夠看出m，n和n，r有相同條約數(shù)；更相減損術(shù)理論依據(jù)為：由m－n＝r,得m＝n＋r，能夠看出，m，n與n，r有相同條約數(shù)，即二者“算理”相同．14/27設(shè)Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，將其改寫為Pn(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.然后由內(nèi)向外依次計(jì)算．當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)中出現(xiàn)空項(xiàng)時(shí)，要以系數(shù)為零齊次項(xiàng)補(bǔ)充．秦九韶算法及應(yīng)用考點(diǎn)二15/27

用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6當(dāng)x＝2時(shí)值．例2【解】依據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成以下形式：f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照從內(nèi)到外次序，依次計(jì)算當(dāng)x＝2時(shí)一次多項(xiàng)式值．16/27v0＝3，v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14，v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25，v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55，v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238.所以當(dāng)x＝2時(shí)，多項(xiàng)式值為238.17/27【思維總結(jié)】利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式值關(guān)鍵是能準(zhǔn)確地將多項(xiàng)式改寫，然后由內(nèi)向外逐次計(jì)算．因?yàn)楹箜?xiàng)計(jì)算用到前項(xiàng)結(jié)果，故應(yīng)認(rèn)真、細(xì)心，確保每項(xiàng)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性.18/27變式訓(xùn)練1已知f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1，求f(3)值．解：原多項(xiàng)式可化為f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，按照從內(nèi)到外次序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝3時(shí)值：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，19/27v2＝3×3＋1＝10，v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，v5＝94×3＋1＝283.所以，當(dāng)x＝3時(shí)，f(3)＝283.20/27進(jìn)位制考點(diǎn)三十進(jìn)制數(shù)與非十進(jìn)制數(shù)之間可相互轉(zhuǎn)化．

完成以下進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化：(1)將本例(1)中十進(jìn)制數(shù)30轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù);(2)將二進(jìn)制數(shù)101111011(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)．例321/27【思緒點(diǎn)撥】

(1)把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)二進(jìn)制數(shù)，用2重復(fù)去除欲被轉(zhuǎn)化十進(jìn)制數(shù)30，直到商為0為止，將各步所得余數(shù)倒著寫出就是該十進(jìn)制數(shù)30二進(jìn)制表示．(2)這類問題是從這個(gè)數(shù)左邊數(shù)字寫起，寫為1×2m或0×2m形式之和．22/27【解】(1)∴30(10)＝11110(2)．(2)101111011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379.23/27【思維總結(jié)】(1)將k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制方法是：先將這個(gè)k進(jìn)制數(shù)寫成各個(gè)數(shù)位上數(shù)字與k冪乘積之和形式，再按照十進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果．(2)十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制，采取除k取余法，也就是除基數(shù)，倒取余.24/27互動(dòng)探究2將本例(1)中十進(jìn)制數(shù)30轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)．解：30(10)＝36(8)．25/27方法感悟方法技巧1