2025年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 (數(shù)學三) 真題及答案

2025年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試(數(shù)學三)試卷詳解

一、選擇題:1~10小題,每小題5分,共50分,下列每小題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答·題·紙·指定位置上.

+

(1)當x→0時,下列無窮小量中,與x等價的是()

(A)e—sinx—1(B)·x+1—cosx

(C)1—cos·i2x(D)

【答案】(C)

【解析】

—sinx

A.e—1~—sinx~—x

2

22

tt2

(2)已知函數(shù)esinedt.sinx,則

(A)x=0是f(x)的極值點,也是g(x)的極值點

(B)x=0是f(x)的極值點,(0,0)是曲線y=g(x)的拐點

(C)x=0是f(x)的極值點,(0,0)是曲線y=f(x)的拐點

(D)(0,0)是曲線y=f(x)的拐點,也是曲線y=g(x)的拐點

【答案】(B)

【解析】

1

222

xxx

f,(x)=esinx,f,,(x)=e2xsinx+ecosx

,2x2

x2t

g(x)=esinx+edt.2sinxcosx

2222

x2xxt

g,,(x)=e2xsinx+e2sinxcosx+e2sinxcosx+edt2cos2x

f,(0)=0,f,,(0)=1>0→x=0為f(x)的極值點,但不是拐點

g,(0)=0,g,,(0)=0

,,

2222

,,,x2x2xx

g(x)=2esinx+x(2esinx)+4cos2xe+2sin2x(e)

22

t

—4sin2xedt+2cos2xex

g,,,(0)=6>0→x=0為g(x)的拐點

(3)已知k為常數(shù),則級數(shù)()

(A)絕對收斂(B)條件收斂

(C)發(fā)散(D)斂散性與k的取值有關

【答案】(B)

【解析】

條件收斂絕對收斂

故而條件收斂

2

1

(4)設函數(shù)f(x)連續(xù),則dyf(x)dx()

∫0

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(D)

【解析】

(5)已知A是m×n的矩陣,#是m維非零向量若A有k階非零子式,則

(A)當k=m時Ax=#有解(B)當k=m時Ax=#無解

(C)當k<m時Ax=#有解(D)當k<m時Ax=#無解

【答案】(A)

【解析】

k=m時,r(A)=r(A)=m進而Ax=#有解,A正確

(6)設A為3階矩陣,則A3—A2可對角化是A可對角化的

(A)充分但不必要條件(B)必要但不充分條件

(C)充分必要條件(D)即不充分也不必要條件

【答案】(B)

【解析】

若A可對角化,則A3—A2可對角化

(7)設矩陣若fxA+yB是正定二次型,則a

的取值范圍是

(A)(B)

(C)(D)(0,4)

3

【答案】(B)

【解析】

=(—ax+ay)(x+y)—2x(—2x+y)

22

=(4—a)x—2xy+ay

因為f(x,y)=xA+yB是正定二次型

所以正定,即解得

4-a>0,2—<a<2+

(8)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(-1,1),Y服從正態(tài)分布N(1,2),若X與X+2Y不

相關,則X與X-Y的相關系數(shù)為

(A)(B)(C)(D)

(9)設X1,X2,...,X20是來自樣本總體B(1,0.1)的簡單隨機樣本令利

用泊松分布表示二項分布方法可得P{T≤1}≈

(A)(B)(C)(D)

【答案】(C)

【解析】

由X1,X2,...,X20來自B(1,0.1)的簡單隨機樣本

4

P{T≤1}=P{T=0}+P{T=1}

其中、≈0.1.20=2

(10)設總體X的均勻分布為F(x),X1,X2,...,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本,

樣本

的經驗分布函數(shù)為Fn(x),對于給定的x(0<F(x)<1),D(Fn(x))=

2

(A)F(x)(1-F(x))(B)(F(X))(C)(D)

【答案】

二、填空題:11-16小題,每小題5分,共30分,請將答案寫在答·題·紙·指定位置上.

(11)設g(x)是函數(shù)的反函數(shù),則曲線y=g(x)的漸近線方程為

【答案】y=3和y=-3

【解析】

解得所以

limg(x)=3,limg(x)=-3

x→+∞x→-∞

所以有水平漸近線y=3和y=-3

5

設dx=ln2,則a=_______.

【答案】2

【解析】

所以

解得a=2或a=-6若a=-6發(fā)散舍去,綜上a=2

(13)微分方程xy,-y+x2ex=0滿足條件y(1)=-e的解為y=.

【答案】-xex

【解析】

x

=x(-e+C)

因為y(1)=-e,y(1)=-e+C→C=0

所以y=-xex

6

2

一t

(14)已知函數(shù)由z+lnz一xedt=1確定,則=_______.

1

一2

【答案】e

8

【解析】

將x=1,y=1代入①②③中解得

2112x+13

51一24x一3

已知f=則

12

2x+1

一4

一24x

方程f(x)=g(x)的不同根的個數(shù)為.

【答案】2

【解析】

因為f(x)=g(x)所以g(x)-f(x)=0

7

所以有兩個不同的實根

(16)設A,B,C為三個隨機事件,且A與B相互獨立,B與C相互獨立,A與C互

不相容,已知PB)=,則在事件A,B,C至少有一個發(fā)生的事

件下,A,B,C中恰有一個發(fā)生的概率為.

2

【答案】3

【解析】

8

三、解答題:17-22小題,共70分.請將解答寫在答·題·紙·指定位置上·解答應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟●

(17)(本題滿分10分)

【答案】ln2+

【解析】

由于

2

1abx+c(a+b)x+(—2a+b+c)x+2a+c

=+=

222,

(1+x)(x—2x+2)1+xx—2x+2(1+x)(x—2x+2)

9

則→.

(18)(本題滿分12分)設函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù),且

=—3,證明f在x=0處可導,并求f,(0)

【答案】f,(0)=5

10

【答案】f,(0)=5

【解析】

x→0-x

因為

x→0x

11

所以即f(x)在x=0處可導且f,(0)=5

22

(19)(本題滿分12分)已知平面有界區(qū)域D={(x,y)y≤x,x≤y},計算二重

2

積分dxdy

【答案】

【解析】

(20)(本題滿分12分)設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)可導,證明導函數(shù)f,(x)在(a,b)

內嚴格單調遞增的充分必要條件是:對(a,b)內任意x1,x2,x3,當x1<x2<x3時,有

12

【答案】略

【解析】證明:(1)必要性

由于f,(x)在(a,b)上單增,且1<2,則f,(1)<f,(2),進而

(2)充分性

對于任意<c2∈有:f,,

當<x<c2<b時,由知,

兩邊同時取極限及極限的保號性可知:

13

進而,即f,在上

單增.

(21)(本題滿