江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 第15課時 1.3.4 三角函數(shù)的應(yīng)用（1）教學(xué)實錄 蘇教版必修4

江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第15課時1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用（1）教學(xué)實錄蘇教版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課內(nèi)容選自蘇教版必修4第一章三角函數(shù)第15課時，主題為1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用（1）。主要包括正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，以及三角形的解法。通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握如何運(yùn)用三角函數(shù)解決實際問題，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，學(xué)生能夠抽象出數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用邏輯推理進(jìn)行解題，培養(yǎng)直觀想象能力以理解幾何關(guān)系，并通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決實際問題，提升解決復(fù)雜問題的能力。三、教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-正弦定理和余弦定理的理解與應(yīng)用：本節(jié)課的核心內(nèi)容是正弦定理和余弦定理的理解及其在解決實際問題中的應(yīng)用。重點在于使學(xué)生掌握這兩個定理的基本形式，理解它們在幾何圖形中的幾何意義，并能熟練運(yùn)用它們解決三角形邊角關(guān)系問題。

-應(yīng)用實例分析：例如，通過分析一個已知兩邊和一個角（或兩角和一邊）的三角形，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用正弦定理和余弦定理找出第三邊的長度或角度。

2.教學(xué)難點

-正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)過程：學(xué)生可能難以理解這兩個定理的推導(dǎo)過程，尤其是它們在幾何和代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。

-定理的應(yīng)用靈活性：學(xué)生在面對復(fù)雜問題時，可能難以靈活運(yùn)用定理進(jìn)行解題，特別是在多步驟的解題過程中。

-解題策略的選擇：學(xué)生在遇到不同類型的三角形問題時，可能難以選擇合適的定理或方法進(jìn)行解題。例如，在解決一個涉及高和斜邊的三角形問題時，學(xué)生可能不知道是使用正弦定理還是余弦定理更合適。四、教學(xué)資源-軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、計算機(jī)）、三角板、直尺、量角器等。

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺，用于發(fā)布教學(xué)資料和學(xué)生作業(yè)。

-信息化資源：三角函數(shù)相關(guān)的教學(xué)視頻、在線互動練習(xí)平臺、幾何圖形繪制軟件（如GeoGebra）。

-教學(xué)手段：實物模型、教學(xué)課件、課堂板書、小組討論、學(xué)生練習(xí)本。五、教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提前一周通過學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括PPT、相關(guān)視頻和文檔，明確要求學(xué)生理解正弦定理和余弦定理的基本概念。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞三角形的邊角關(guān)系，設(shè)計問題如“如何應(yīng)用正弦定理求解未知邊長？”和“余弦定理在求解三角形角度中的應(yīng)用有哪些？”

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過平臺查看學(xué)生的提交筆記和問題，確保學(xué)生預(yù)習(xí)到位。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生根據(jù)要求閱讀資料，初步了解正弦定理和余弦定理。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生獨(dú)立思考并記錄自己的解題思路和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和問題提交至平臺。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生獨(dú)立探索和學(xué)習(xí)。

-信息技術(shù)手段：利用平臺實現(xiàn)預(yù)習(xí)資料的共享和監(jiān)控。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過幾何圖形的實際應(yīng)用案例，如建筑設(shè)計中的三角形穩(wěn)定性分析，引出本節(jié)課的主題。

-講解知識點：詳細(xì)講解正弦定理和余弦定理的公式、推導(dǎo)過程及其在三角形中的應(yīng)用。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生分組解決實際問題，如“給定一個三角形的三邊，求其最大角”。

-解答疑問：針對學(xué)生在活動中提出的疑問，及時解答。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，積極思考。

-參與課堂活動：學(xué)生積極參與小組討論，嘗試應(yīng)用所學(xué)知識解決問題。

-提問與討論：學(xué)生在討論中提出問題，共同探討解決方案。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：教師詳細(xì)講解定理，確保學(xué)生理解。

-實踐活動法：通過小組合作解決問題，提高應(yīng)用能力。

-合作學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)團(tuán)隊合作精神和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置包含正弦定理和余弦定理應(yīng)用的習(xí)題，如“證明正弦定理在任意三角形中都成立”。

-提供拓展資源：推薦相關(guān)書籍和在線資源，如數(shù)學(xué)競賽題目或幾何軟件。

-反饋作業(yè)情況：批改作業(yè)，提供反饋，鼓勵學(xué)生反思。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，鞏固所學(xué)知識。

-拓展學(xué)習(xí)：利用推薦資源進(jìn)行進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)：學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，總結(jié)經(jīng)驗，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生自我評估和提升。六、知識點梳理1.三角函數(shù)的概念

-正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義。

-三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性。

-三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

2.三角函數(shù)的基本關(guān)系

-正弦、余弦、正切之間的關(guān)系：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。

-同角三角函數(shù)關(guān)系：$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$，$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$，$\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$。

3.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

-常用誘導(dǎo)公式：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$。

-特殊角三角函數(shù)值：$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$，$\cos60^\circ=\frac{1}{2}$，$\tan45^\circ=1$，$\sin90^\circ=1$，$\cos0^\circ=1$，$\tan0^\circ=0$。

4.三角恒等變換

-二倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$，$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$。

-和差化積公式：$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$，$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)$。

-積化和差公式：$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$，$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。

5.三角函數(shù)的應(yīng)用

-解三角形：利用正弦定理和余弦定理求解三角形的邊角關(guān)系。

-物理問題中的應(yīng)用：如簡諧振動、波的傳播等。

-抽象幾何問題中的應(yīng)用：如證明幾何性質(zhì)、計算幾何圖形的面積和體積等。

6.解三角形

-正弦定理：$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$。

-余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$。

-三角形的內(nèi)角和定理：$A+B+C=180^\circ$。

7.三角函數(shù)在極坐標(biāo)系中的應(yīng)用

-極坐標(biāo)系中的三角函數(shù)定義：$\rho=r\cos\theta$，$\rho=r\sin\theta$，$\rho=r\sec\theta$，$\rho=r\csc\theta$。

-極坐標(biāo)方程的解析：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系方程。

8.三角函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

-直線方程的斜率：$y=kx+b$，其中$k=\tan\alpha$。

-圓的方程：$x^2+y^2=r^2$，其中$r$為圓的半徑，$\theta$為極角。七、重點題型整理1.應(yīng)用正弦定理求解三角形邊長

題型示例：

已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，邊BC=10cm，求邊AC和AB的長度。

解答：

根據(jù)正弦定理，有$\frac{AC}{\sinB}=\frac{BC}{\sinA}$，代入已知數(shù)據(jù)得$\frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{10}{\sin30^\circ}$，解得$AC=10\sqrt{2}$cm。

同理，$\frac{AB}{\sinC}=\frac{BC}{\sinA}$，代入已知數(shù)據(jù)得$AB=10\sqrt{2}\sin105^\circ$。

2.應(yīng)用余弦定理求解三角形角度

題型示例：

在三角形ABC中，已知邊AB=5cm，AC=8cm，BC=10cm，求∠BAC的大小。

解答：

根據(jù)余弦定理，有$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cdot\cosB$，代入已知數(shù)據(jù)得$100=25+64-80\cosB$，解得$\cosB=\frac{1}{2}$，因此$B=60^\circ$。

3.應(yīng)用三角函數(shù)求解實際問題

題型示例：

一個物體從原點沿直線以速度v=3m/s做勻速直線運(yùn)動，求物體在t秒后與原點的距離s。

解答：

物體在t秒后的位移為$s=vt=3t$，因此物體與原點的距離為$s=3t$。

4.應(yīng)用三角函數(shù)解決幾何證明問題

題型示例：

證明：在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，則AC=4cm。

解答：

根據(jù)勾股定理，有$AC^2=AB^2+BC^2$，代入已知數(shù)據(jù)得$AC^2=5^2+3^2=25+9=34$，因此$AC=\sqrt{34}$。

5.應(yīng)用三角函數(shù)解決極坐標(biāo)方程問題

題型示例：

已知極坐標(biāo)方程$\rho=2\cos\theta+3\sin\theta$，求該極坐標(biāo)方程對應(yīng)的直角坐標(biāo)系方程。

解答：

將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系方程，有$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，代入極坐標(biāo)方程得$x=2\cos\theta+3\sin\theta\cos\theta$，$y=3\sin\theta$。

通過三角恒等變換，可以得到$x^2+y^2=(2\cos\theta+3\sin\theta)^2$，進(jìn)一步化簡得$x^2+y^2=4\cos^2\theta+12\cos\theta\sin\theta+9\sin^2\theta$。

利用三角恒等式$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$和$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，最終得到直角坐標(biāo)系方程$x^2+y^2-2x-3y=0$。八、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.回顧今天學(xué)習(xí)的三角函數(shù)應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及它們在解決實際問題中的重要性。

2.總結(jié)了三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式，包括同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式等，這些是解決三角函數(shù)問題的基本工具。

3.討論了三角恒等變換的應(yīng)用，特別是在證明幾何性質(zhì)和求解三角方程時的作用。

4.強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)在幾何圖形和實際問題中的廣泛應(yīng)用，如計算圖形的面積、體積，以及物理問題中的簡諧振動等。

5.指出了解三角形時的關(guān)鍵步驟，包括應(yīng)用正弦定理和余弦定理，以及如何確定使用哪個定理。

當(dāng)堂檢測：

1.題目：已知三角形ABC中，∠A=40°，∠B=60°，邊BC=8cm，求邊AB和AC的長度。

2.題目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，AC=5cm，求∠B的大小。

3.題目：一個物體從原點沿直線以速度v=4m/s做勻速直線運(yùn)動，求物體在t秒后與原點的距離s。

4.題目：證明：在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，則AC=8cm。

5.題目：已知極坐標(biāo)方程$\rho=3\cos\theta-4\sin\theta$，求該極坐標(biāo)方程對應(yīng)的直角坐標(biāo)系方程。

檢測目的：

-通過檢測，幫助學(xué)生鞏固今天學(xué)習(xí)的知識點。

-檢查學(xué)生對三角函數(shù)應(yīng)用的理解程度。

-提高學(xué)生解決實際問題的能力。

-了解學(xué)生對三角函數(shù)應(yīng)用的掌握情況，為后續(xù)教學(xué)提供反饋。內(nèi)容邏輯關(guān)系①正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

-正弦定理：$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$

-余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$

②三角函數(shù)的基本關(guān)系

-基本關(guān)系式：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

-同角三角函數(shù)關(guān)系：$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$，$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$，$\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$

③三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

-常用誘導(dǎo)公式：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

④三角恒等變換

-二倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta