2024-2025學(xué)年山東省日照市五蓮縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省日照市五蓮縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量（與不重合，），下列說(shuō)法：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．現(xiàn)有一段底面周長(zhǎng)為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛳屡佬?厘米到達(dá)點(diǎn)，另一只從沿下底部圓弧逆時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛏吓佬?厘米爬行到達(dá)點(diǎn)，則此時(shí)線段長(zhǎng)（單位：厘米）為（

）A． B． C．6 D．124．若，則（

）A． B． C． D．5．正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．在棱長(zhǎng)為a的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則與面MBD的距離是（

）．A． B． C． D．7．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化.A．①② B．①③ C．②③ D．③④二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則的最小值為C．D．若是關(guān)于的方程：的根，則10．如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面的夾角的正切值為11．在邊長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，動(dòng)點(diǎn)平面，則（

）A．正方體被平面截得的截面面積為B．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．若，則的最小值為D．將正方體的上底面繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)連接上、下底面各頂點(diǎn)，得到一個(gè)側(cè)面均為三角形的十面體，則該十面體的體積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知i為虛數(shù)單位，是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則.13．已知向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．14．已知梯形如圖1所示，其中，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面⊥平面，得到如圖2所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面，則λ的值為．

圖1

圖2四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間中三點(diǎn)，設(shè)(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐標(biāo).16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；17．如圖，在三棱柱中，底面，，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的正切值.18．如圖，PC是圓臺(tái)的一條母線，是圓的內(nèi)接三角形，AB為圓的直徑，．

(1)證明：；(2)若圓臺(tái)的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．19．如圖①所示，矩形中，，，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐，N為中點(diǎn)，

(1)若平面平面，求直線與平面所成角的大?。?2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.

參考答案1．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)，則，所以.故選：D2．【答案】C【分析】利用空間向量法分別判斷即可得到答案.【詳解】因?yàn)椴恢睾?，，?duì)①，平面平行等價(jià)于平面的法向量平行，故①正確；對(duì)②，平面的法向量垂直等價(jià)于平面垂直，故②正確；對(duì)③，若，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，，故④正確.故選C.3．【答案】A【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過(guò)作的垂線為軸，如圖建系，過(guò)向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，所以圓弧的長(zhǎng)度為：，，則，同理，過(guò)向圓O作垂線垂足為，則，所以.故選：A.4．【答案】B【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以．故選B．5．【答案】D【詳解】因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面,平面平面,平面平面,所以,是靠近的三等分點(diǎn)，所以,平面平面即是,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為3，則設(shè)直線l與所成角為.故選：D.6．【答案】A【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則所以設(shè)平面的法向量，則即

設(shè)，則所以

則點(diǎn)到平面的距離為.故選:A7．【答案】B【分析】對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對(duì)于BD，利用空間向量判斷；對(duì)于C，利用體積公式求解即可.【詳解】對(duì)于A：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于B：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谄矫嫱?，所以直線與平面平行，故B正確；對(duì)于C：，所以三棱錐的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，直線BC與平面所成的角為，，故D錯(cuò)誤.故選B.8．【答案】C【分析】根據(jù)正方體棱長(zhǎng)可知其外接球半徑為,其表面積為，可判斷①錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的余弦值可求得②正確，求出平面的法向量為，可知，即③正確，易知點(diǎn)到平面的距離是定值，利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時(shí)外接球的表面積為，可知①錯(cuò)誤；對(duì)于②，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時(shí)，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對(duì)于③，由②可知，，則；設(shè)平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時(shí)，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對(duì)于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會(huì)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，即④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解異面直線所成角的方法：（1）平移法：將兩異面直線通過(guò)平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量所成的角與異面直線所成的角的關(guān)系，求得兩向量夾角的余弦值.9．【答案】BD【詳解】A選項(xiàng)：由虛數(shù)單位的定義，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，B選項(xiàng)：由，則，且，則，，又，所以當(dāng)時(shí)取最小值為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，，，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由已知復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的兩根滿足，且與互為共軛復(fù)數(shù)，由可知，則，即，D選項(xiàng)正確；故選：BD.10．【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A由線面平行的判定定理可證；選項(xiàng)B由線面垂直可證線線垂直；選項(xiàng)CD可由空間向量法可得.【詳解】選項(xiàng)A：如圖連接交于，連接，由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面，故A正確；選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，故,又棱柱為直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正確；選項(xiàng)C：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因，故A3,0,0所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由題意平面的一個(gè)法向量為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，故，故D正確，故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，連接并延長(zhǎng)，與所在直線交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，則正方體被平面截得的截面為六邊形，連接，則，因?yàn)闉檎襟w，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又分別為棱的中點(diǎn)，所以，所以，則點(diǎn)為中點(diǎn)，，同理可得，，所以六邊形為正六邊形，則，故A正確；對(duì)于B，由A可知，平面即為平面，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，則，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)?，所以，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為的圓，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以為靠近的三等分點(diǎn)，則，連接，由，，得，所以，所以關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以，故C正確；對(duì)于D，如圖所示，即為側(cè)面均為三角形的十面體，在平面，以為對(duì)角線作正方形，連接，則是上底和下底都是正方形的四棱臺(tái)，底面邊長(zhǎng)為和1，高為1，所以，因?yàn)椋?，故D正確；故選：ACD．12．【答案】4【詳解】是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，，，解得，，故.故答案為：413．【答案】【詳解】由，得，解得，又，得，解得，所以與夾角為鈍角，實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故答案為：.14．【答案】/【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴則，若是平面的一個(gè)法向量，則可得，若是平面的一個(gè)法向量，則可得由平面平面，得，即，解得．故答案為：.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又，所以，得?（2）因?yàn)?，又，所以，解得或，所以的坐?biāo)為或.16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）依題意，平面的法向量為，且平面過(guò)點(diǎn)，由，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.17．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，則，，則平面的法向量，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以.

二面角的平面角的正切值為18．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2).【詳解】（1）由題知，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由圓臺(tái)性質(zhì)可知，平面，且四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）圓臺(tái)的體積，其中，解得或(舍去).由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得于是可取.設(shè)直線與平面的夾角為，則，故所求正弦值為.19．【答案】(1)；(2).【分析】（1）借助面面垂直的性質(zhì)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求出大小.（2）連接DG，過(guò)點(diǎn)D作平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及法向量，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過(guò)作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線BC與平面所成的角為，則，所以直線BC與平面所成角的大小為.（2）連接，由，得，而，則為的平面角，即，過(guò)點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，顯然平面，平面，則平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作于點(diǎn)，則平面，設(shè)，而，則，，，即，，所以，于是，，設(shè)平面PAM的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，則，令，得，設(shè)平面和平面為，則令，，則，即，則當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．【方法總結(jié)】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大小；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角．2024-2025學(xué)年山東省日照市五蓮縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)、必修第二冊(cè)、選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章2.4.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，.若，則（）A.4 B. C.8 D.2，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.3，若直線：與直線：垂直，且直線：與直線：垂直，則（）A.1 B. C.2 D.4.若點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5.在山西的某個(gè)旅游景點(diǎn)內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（）A. B. C. D.6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)7.在四面體中，為的外心，底面，，，，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知，直線：，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)到軸的距離的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，，，則（）A. B. C. D.10.已知一組數(shù)據(jù)為1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，則（）A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能為3B.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的方差為1.25D.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，的最小值為11.已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，平面，，，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.當(dāng)為底面的中心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為6D.當(dāng)時(shí)，為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為______，______.13.已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______.14.已知函數(shù).若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）若，求；（2）若，，求的面積.16.（15分）如圖，在正六棱柱中，為的中點(diǎn).設(shè)，，.（1）用，，表示向量，；（2）若，求的值.17.（15分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若一條光線從點(diǎn)射向直線，經(jīng)該直線反射后經(jīng)過(guò)圓上的點(diǎn)，求該光線從點(diǎn)到點(diǎn)的路線長(zhǎng)的最小值.18.（17分）如圖，已知，，，四點(diǎn)均在直徑為6的球的球面上，，，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）證明：平面.（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值.19.（17分）過(guò)點(diǎn)作斜率分別為，的直線，，若（），則稱直線，是定積直線或定積直線.（1）已知直線：（），直線：，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得直線，是定積直線？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在第一象限，且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上.若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo).（3）已知直線與是定積直線，設(shè)點(diǎn)到直線，的距離分別為，，求的取值范圍.

高二數(shù)學(xué)參考答案1.D根據(jù)題意可得，解得.2.A易得.3.B由得.4.D根據(jù)題意可得解得或.5.B將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃分別設(shè)為，，，，，根據(jù)題意可得該游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗的所有情況有，，，，，，，，，，共10種，其中該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的情況有3種，故所求概率為.6.C設(shè)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則.在圖①中，，，，則，，所以，滿足；在圖②中，，，，則，，所以，滿足；在圖③中，，，，則，，所以，不滿足.7.C設(shè)四面體的外接球?yàn)榍颍浒霃綖?，外接圓的半徑為.由正弦定理得，則.由，，得，解得，所以球的表面積為.8.B由，得.令解得即過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，其中圓心，半徑為.因?yàn)閳A心到軸的距離為4，所以點(diǎn)到軸的距離的最小值為.9.AC由題意得，，所以，A，C正確，B，D錯(cuò)誤.10.BCD當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，A錯(cuò)誤.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，這與這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1矛盾，所以，B正確.當(dāng)時(shí)，，，，，C正確.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.11.BCD連接，.