2024−2025學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市楊凌區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（附解析）

2024?2025學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市楊凌區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線與直線的夾角為（）A. B. C. D.2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則公比q=A. B. C.2 D.33.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B. C.2 D.4.已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（）A. B.C. D.5.如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，，則（）A. B. C. D.6.有一批燈泡壽命超過(guò)500小時(shí)的概率為0.9，壽命超過(guò)800小時(shí)的概率為0.8，在壽命超過(guò)，500小時(shí)的燈泡中壽命能超過(guò)800小時(shí)的概率為（）A. B. C. D.7.若正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.8.已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則b的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)兩個(gè)變量與進(jìn)行線性相關(guān)性和回歸效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.殘差平方和越小模型，擬合的效果越好B.由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心C.用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好D.若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，則變量x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性10.如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，直線與平面所成角的正切值為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.異面直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.點(diǎn)到平面的距離為11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的最小值為_(kāi)_____.13.已知隨機(jī)變量X，Y滿足，且隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P則隨機(jī)變量Y的方差等于______；14.如圖，某正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱，，都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)，，到平面的距離分別為，，，則該正方體的表面積為_(kāi)_____.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.近年來(lái)，我國(guó)居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長(zhǎng)趨勢(shì)，其對(duì)人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)衡量人體胖瘦程度是否健康，中國(guó)成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．下面是社區(qū)醫(yī)院為了解居民體重現(xiàn)狀，隨機(jī)抽取了100名居民體檢數(shù)據(jù)，將其值分成以下五組：，，，，，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并估計(jì)該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法在，兩組中抽取6名居民，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取到2人的值不在同一組的概率．16.已知函數(shù)．（1）求曲線的斜率等于1的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.18.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．19.如圖①，在直角梯形中，，，.將沿折起，使平面平面，連，得如圖②的幾何體.（1）求證：平面平面；（2）若，二面角的平面角的正切值為，在棱上是否存在點(diǎn)使二面角的平面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.1.B設(shè)兩直線傾斜角分別為，由，則，由，則，即，則兩直線夾角為.故選：B.2.C依題意，解得，故選C.3.D如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設(shè)，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積．故選：．4.B直線在軸上的截距為，點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式方程得即.故選：B.5.C連接，.故選：C6.A記燈泡壽命超過(guò)500小時(shí)為事件，燈泡壽命超過(guò)800小時(shí)為事件，則，所以.故選：A7.C由題意若，則，所以，但這與矛盾，所以不可能存在這種情況，若，則，所以，即，但這與矛盾，所以不可能存在這種情況，所以只能，則則，所以，對(duì)比選項(xiàng)可知只有C正確.故選：C.8.A因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)P，使得，所以，以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，又以為直徑的圓，圓心為O0,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，所以，即，即.故選：A9.ABD對(duì)于A，由殘差的意義可得，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，A正確；對(duì)于B，若回歸方程為，則，即回歸方程表示的直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，B正確；對(duì)于C，相關(guān)指數(shù)越大，說(shuō)明殘差的平方和越小，即模型的擬合效果越好，C正確；對(duì)于D，變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，故相關(guān)系數(shù)較為接近，所以變量x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.D正確；故選：ABD.10.ABDA選項(xiàng)，平面，直線與平面所成角,，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)直線與所成的角大小為，則，故，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)直線與所成的角大小為，則，故，B正確；C選項(xiàng)，可取為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角大小為，則，故直線與平面所成的角為，C正確；

因?yàn)樗倪呅螢檎叫危浴?，又平面，平面，故，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，故可取為平面的法向量，故點(diǎn)到面的距離，D正確.故選：ABD11.ABD在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD12.解：曲線表示的是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.13.##因?yàn)?，所以，，，所?故答案為：.14.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取空間的一個(gè)基底，設(shè)是平面的一個(gè)方向向上的單位法向量.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.由題意，在方向上的投影向量的長(zhǎng)度分別為，，.于，即，即，即.同理，，，從而，由，得，其中，即，解得，所以正方體的表面積.故答案為：15.解：（Ⅰ）由題設(shè)條件可得，解得，又前三組頻率之和為，前四組的頻率之和為，故樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為x，則有，解得，即該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為26.5．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，可得兩組人數(shù)比值為1：2，按照分層抽樣抽取6人，則在，分別抽取2人和4人，記這組兩個(gè)樣本編號(hào)為a，b，這組編號(hào)為1，2，3，4，故從6人隨機(jī)抽取2人所有可能樣本構(gòu)成的樣本空間為，共15種組合；設(shè)事件A為“抽取到兩人的值不在同一組”，則，共8種，故，即從這6個(gè)人中隨機(jī)抽取2人，抽取到2人的值不在同一組的概率為．16.（1）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，，，所以切線方程為，即．（2）的定義域?yàn)?,+∞．令即，，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在極小值，無(wú)極大值．17.（1）平面平面，且兩平面交于，又，平面.在中，，，.且，是等腰直角三角形，，.，，又，為等腰直角三角形，.，，又，所以，平面,平面，平面.（2）由（1）得平面，且，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.可得，，，即，.設(shè)平面法向量為，則，解得.平面的法向量為.設(shè)二面角為，所以，則.18.（1）法一：取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，，又，，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.法二：取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，，平面平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面又，平面，平面平面，又平面，平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，，平面，取中點(diǎn)，連接，則平面，所以是直線與平面所成的角，即，又，，又，又，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取，則，易得平面一個(gè)法向量可取，設(shè)平面與平面所成的夾角為，，故平面與平面所成的夾角的余弦為.19.（1）∵平面平面，平面平面，又，∴平面，∴，又，∴平面，平面，∴平面平面.（2）由（1）知平面，，.∴為二面角的平面角，又平面，∴，，∴，.在①，∴，令，則，解得.即，.在①中作，垂足.①則可得，.∵平面平面，∴平面，過(guò)作，以為原點(diǎn)，，，分別為軸軸軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則②，，，.設(shè)，.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，，即，設(shè)平面的法向量為，則取，，.即..解得（舍去），或.∴.2024?2025學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市楊凌區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．143．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．（2，﹣1，2）C． D．（1，﹣2，1）4．三棱錐中，點(diǎn)面，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．5．已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（

）A． B．C． D．6．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（

）A． B． C． D．7．如圖，三棱錐中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，則（

）A． B．C． D．8．已知平行六面體的各棱長(zhǎng)均為1，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線的方程是，的方程是，則下列各圖中，可能正確的（

）A． B．C． D．10．已知，，，則（

）A．直線與線段有公共點(diǎn)B．直線的傾斜角大于C．的邊上的高所在直線的方程為D．的邊上的中垂線所在直線的方程為11．空間直角坐標(biāo)系中，已知，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C．點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)，，且，則實(shí)數(shù)．13．已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為.14．已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(7,7,λ),若,,共面,則實(shí)數(shù)λ=.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.求：(1)邊上的中線所在直線方程；(2)邊上的高所在直線方程.16．如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.17．如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到直線的距離．18．求符合下列條件的直線l的方程：(1)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，﹣3)，且斜率為；(2)A(1，3)，B(2，1))求直線AB的方程；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.19．已知△ABC中，頂點(diǎn)A(3,7)，邊AB上的中線CD所在直線的方程是，邊AC上的高BE所在直線的方程是.（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（3）過(guò)A作直線，使B,C兩點(diǎn)到的距離相等，求直線的方程.

參考答案1．【答案】C【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.2．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，解?故選C.3．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的求解公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故向量在向量上的投影向量?故選：A．4．【答案】D【分析】由四點(diǎn)共面的充要條件列方程即可得解.【詳解】由題意三棱錐中，點(diǎn)面，且，所以，解得.故選：D.5．【答案】C【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個(gè)法向量為，則有，即，令，得，所以，故A,B錯(cuò)誤，令，得，則此時(shí)法向量為，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．【答案】A【分析】利用直線的平行系方程及點(diǎn)在直線上即可求解.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以所求直線的方程為.故選：A.7．【答案】C【詳解】.故選：C.8．【答案】B【詳解】取為空間向量的基底，因?yàn)椋?，，所以?因?yàn)?，所以，所?故選：B9．【答案】AB【詳解】對(duì)A：由直線可知：，，由直線可知：，，故A正確；對(duì)B：由直線可知：，，由直線可知：，a>0，故B正確；對(duì)C：由直線可知：，，由直線可知：，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由直線可知：，，由直線可知：，，故D錯(cuò)誤；故選：AB10．【答案】BC【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，，所以點(diǎn)在直線的同一側(cè)，所以直線與線段無(wú)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)橹本€的斜率為：，所以直線的傾斜角大于，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以邊的高所在直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得的邊上的高所在直線的方程為，即，故C正確；對(duì)D：因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的中垂線所在直線的方程為，即，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．【答案】AB【分析】利用向量的坐標(biāo)公式，模的計(jì)算公式，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，及數(shù)量積公式依次計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】，,，A正確,D錯(cuò)誤.若，則,則,B正確，點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤，故選：AB.12．【答案】8【詳解】由向量共線，得，則.故答案為：813．【答案】【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系及傾斜角的范圍，求出傾斜角即可.【詳解】由題設(shè)，，若的傾斜角為，則，又，故.14．【答案】9【詳解】∵=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(7,7,λ),，∴由若,,共面，則存在實(shí)數(shù)m，n，使得，∴（7，7，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2），∴，解得n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9．故答案為9．15．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式斜率公式求出的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.（2）由兩點(diǎn)式斜率公式求出斜率，利用垂直關(guān)系得的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】（1）由題知的中點(diǎn)，所以直線BD的斜率，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得.（2）由題意得直線AC的斜率，且，所以.則邊上的高所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，由底面是正方形，可知為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，，又平面，平面，平面.（2）設(shè)，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點(diǎn)，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角為，.二面角的平面角的余弦值為.17．【答案】(1)證明