《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第8講　函數(shù)與方程

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第二章第8講函數(shù)與方程(本講對(duì)應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P54)課標(biāo)要求考情概覽1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個(gè)數(shù)的判斷及由函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)是否存在.預(yù)測(cè)本年度高考將以零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷或根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍為主要命題方向，以客觀題或解答題中一問的形式呈現(xiàn).學(xué)科素養(yǎng)：主要培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使

的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).

(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有

.

零點(diǎn)f(x)＝0x軸(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(函數(shù)零點(diǎn)存在定理)：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［a，b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得

，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.

f(a)·f(b)＜0f(c)＝0(a，b)

2.二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

(x1，0)，(x2，0)

(x1，0)

2

1

03.二分法對(duì)于在區(qū)間［a，b］上圖象連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近

，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

零點(diǎn)f(a)f(b)＜0一分為二【特別提醒】1.函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)即是方程f(x)＝0的實(shí)根，易誤認(rèn)為是函數(shù)的坐標(biāo)點(diǎn).【常用結(jié)論】有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的3個(gè)結(jié)論：(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).

BA

C

AD

x＝3由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a，b］上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如圖所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間［a，b］上有零點(diǎn)的充分不必要條件.重難突破能力提升2函數(shù)零點(diǎn)的確定與求解

例1(1)(2022年瓊海三模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x－1)為奇函數(shù)，f(x＋1)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f(x)＝－x2＋1，則函數(shù)y＝f(x)＋lgx的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.5 C.6 D.7C

【解析】(1)y＝f(x)＋lg

x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即y＝f(x)，y＝－lg

x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)閒(x－1)為奇函數(shù)，故f(x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱.又由于f(x＋1)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.又當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f(x)＝－x2＋1，畫出圖象，易得函數(shù)y＝f(x)，y＝－lg

x的圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選C.函數(shù)零點(diǎn)的確定與求解

B

【解題技巧】判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：

直接法令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間［a，b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)圖象法畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；或?qū)⒑瘮?shù)f(x)拆分成兩個(gè)函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

C

C【解析】(2)由f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，如圖，作出y＝f(x)與y＝2|x|的圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故方程f(x)－2|x|＝0的解的個(gè)數(shù)為2.故選C.函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用

示通法求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時(shí)，可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.考向1由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例2-1(2023年乙卷)函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(

)A.(－∞，－2)

B.(－∞，－3)C.(－4，－1)

D.(－3，0)

B

D

【解析】依題意，作出y＝e－x與g(x)＝ln(x＋a)的圖象如圖所示.由題意知，函數(shù)y＝e－x與g(x)＝ln(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上有交點(diǎn).當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)＝ln(x＋a)的圖象是由函數(shù)y＝ln

x的圖象向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，根據(jù)圖象可知此時(shí)只需要g(0)＝ln

a＜1，即0＜a＜e；當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)＝ln(x＋a)的圖象是由函數(shù)y＝ln

x的圖象向右平移－a個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，此時(shí)在(0，＋∞)上y＝e－x與g(x)的圖象恒有交點(diǎn)，滿足條件.綜上，a＜e.故選D.考向3求函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)(方程根)的和例2-3(2023年江西三模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，f(x)＝x2，則函數(shù)y＝7f(x)－x＋2的所有零點(diǎn)之和為(

)A.7

B.14

C.21

D.28B

【解題技巧】

看個(gè)性(1)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，通常先對(duì)解析式變形，然后在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍，應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，建立參數(shù)所滿足的不等式，解不等式，即得參數(shù)的取值范圍；(3)求函數(shù)的多個(gè)零點(diǎn)(或方程的根以及直線y＝m與函數(shù)圖象的多個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo))的和時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是對(duì)稱性特征(這里的對(duì)稱性主要包括函數(shù)本身關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱、關(guān)于直線的對(duì)稱等)找共性根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的一般步驟：(1)轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的情況；(2)列式：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式；(3)結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍

D

D

(3)(2023年天津)若函數(shù)f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

.

(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)【解析】(3)①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x－|x2＋1|＝－2x－x2－1＝－(x＋1)2，不滿足題意；②當(dāng)方程x2－ax＋1＝0滿足a≠0且Δ≤0時(shí)，有a2－4≤0，即a∈［－2，0)∪(0，2］，此時(shí)f(x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1，當(dāng)a＝1時(shí)，不滿足題意，當(dāng)a≠1時(shí)，Δ＝(a－2)2＋4(a－1)＝a2＞0，滿足題意；

二次函數(shù)的零點(diǎn)問題

例3

(2023年四川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，其中a為常數(shù).(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＜2的解集；

二次函數(shù)的零點(diǎn)問題

例3

(2023年四川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，其中a為常數(shù).(2)若方程f(x)＝1有三個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍.

【解題技巧】解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式(組).【變式精練】3.(2023年荊州期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋mx，函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

【變式精練】3.(2023年荊州期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋mx，函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象如圖所示.(2)討論關(guān)于x的方程f(x)－a＝0的根的個(gè)數(shù).解：(2)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.易知f(－1)＝f(1)＝－1.方程f(x)－a＝0的根的個(gè)數(shù)等價(jià)于y＝a與函數(shù)f(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).由圖可知，當(dāng)a＜－1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)－a＝0的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)a＞0或a＝－1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)－a＝0的根的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)－a＝0的根的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)－a＝0的根的個(gè)數(shù)為3.素養(yǎng)微專直擊高考3素養(yǎng)提升——直觀想象：解嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題函數(shù)的零點(diǎn)是高考命題的熱點(diǎn)，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍，?？疾槎魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點(diǎn)，與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆分為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

D

作出函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象，直線t＝t1，t＝－2，t＝0如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上，函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.【點(diǎn)評(píng)】求解嵌套函數(shù)零點(diǎn)問題的步驟：(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)；(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

［－1，＋∞)【解析】