《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第6講　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第二章第6講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(本講對(duì)應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P44)課標(biāo)要求考情概覽1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過具體事例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a＞0，且a≠1)考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來看，本講為高考中的一個(gè)熱點(diǎn).預(yù)測(cè)本年度高考主要以考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用、最值、比較大小為命題方向.此外，與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)也是一個(gè)重要的考查方向，主要以復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題呈現(xiàn).學(xué)科素養(yǎng)：主要考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11.對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，

叫做真數(shù).

x＝logaNN

N

logaM－logaN

N

logaM＋logaN

nlogaM

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y＝logaxa＞10＜a＜1圖象

定義域

值域R性質(zhì)過定點(diǎn)

，即x＝1時(shí)，y＝0

當(dāng)x＞1時(shí)，

；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

當(dāng)x＞1時(shí)，

；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

在(0，＋∞)內(nèi)是

函數(shù)

在(0，＋∞)內(nèi)是

函數(shù)

(0，＋∞)

(1，0)

y＞0

y＜0

y＜0

y＞0

增減4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.

y＝x【特別提醒】1.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低，如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)底數(shù)，則0＜c＜d＜1＜a＜b.

1.(2022年天津)化簡(jiǎn)(2log43＋log83)(log32＋log92)的值為(

)A.1 B.2 C.4 D.6B

C

C4.(多選)如果函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是減函數(shù)，那么(

)A.f(x)在(1，＋∞)上遞增且無最大值B.f(x)在(1，＋∞)上遞減且無最小值C.f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱AD

1.換底公式的推廣：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0).2.對(duì)一些與對(duì)數(shù)有關(guān)的復(fù)雜的函數(shù)圖象，首先應(yīng)分析它可以由哪一個(gè)基本函數(shù)的圖象變換過來，一般是先作出基本函數(shù)的圖象，再通過平移、對(duì)稱、翻折等方法，得出函數(shù)的圖象.重難突破能力提升2對(duì)數(shù)的運(yùn)算

C

對(duì)數(shù)的運(yùn)算

A

【解題技巧】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路：(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.(3)ab＝N?b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.

D

AD

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例2(1)(2023年惠州模擬)若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是(

)D

【解析】由題意可知0＜a＜1.函數(shù)y＝loga(|x|－1)是偶函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x＞1或x＜－1}，函數(shù)y＝loga(|x|－1)(x＞1)的圖象是把函數(shù)y＝logax的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到的.故選D.

B

【解題技巧】1.研究對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的思路：研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象時(shí)，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，要注意底數(shù)a＞1或0＜a＜1這兩種不同情況.2.應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的問題：一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.求參數(shù)時(shí)往往使其中一個(gè)函數(shù)圖象“動(dòng)起來”，找變化的邊界位置，得參數(shù)范圍.【變式精練】2.(1)(2023年浙江聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝logn(x＋m)的圖象恒過定點(diǎn)(－2，0)，則m的值為(

)A.5

B.4

C.3

D.2C【解析】(1)由logn(－2＋m)＝0，得－2＋m＝1，解得m＝3.故選C.

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

示通法解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的問題要遵循“定義域優(yōu)先”的原則，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用.考向1比較大小例3-1

(2023年北京海淀區(qū)期中)設(shè)a＝log25，b＝log35，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A.a＞c＞b

B.a＞b＞cC.b＞a＞c

D.c＞a＞b

B【解析】由題意知a，b分別為y＝log2x，y＝log3x在x＝5時(shí)的函數(shù)值，由圖象知a＞b.因?yàn)閥＝log3x是增函數(shù)，所以b＞c.故選B.

考向3對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題例3-3

(2022年綏化期末)已知f(x)＝log2(ax＋1)(a∈R).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1，1)，求不等式f(x)＜1的解集；

考向3對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題例3-3

(2022年綏化期末)已知f(x)＝log2(ax＋1)(a∈R).(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋log2x只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題技巧】1.比較對(duì)數(shù)式大小的類型及相應(yīng)的方法：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較.(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1，0等中間量進(jìn)行比較.2.解對(duì)數(shù)不等式的類型及方法：(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論.(2)形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式.［提醒］利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.

D

D

素養(yǎng)微專直擊高考3素養(yǎng)提升——數(shù)學(xué)運(yùn)算：指數(shù)式、對(duì)數(shù)式比較大小類型一

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小比較大小時(shí)，若題設(shè)涉及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，則應(yīng)考慮指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).此外，要特別注意數(shù)字“0”和“1”等在比較大小問題中的橋梁作用.

D

【方法習(xí)得】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，要注意考慮a，b，c與特殊數(shù)字“0”和“1”的大小關(guān)系，以便比較大小.類型二

利用特例法、設(shè)元法，巧解涉及三元變量的比較大小問題比較大小時(shí)，若題設(shè)涉及三個(gè)指數(shù)式連等，或三個(gè)對(duì)數(shù)式連等，則可利