2025北京清華附中高三（下）統(tǒng)練一數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京清華附中高三（下）統(tǒng)練一數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A.12 B.6C. D.4.已知數(shù)列滿足對任意的，都有．若，則（）A.1 B.2C.3 D.45.已知，且，則（）A. B.C. D.6.已知點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7.“”是“對任意，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）A. B. C. D.9.在中，，，為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.10.對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集”，則下列說法正確的是（）A.是“可分集” B.是“可分集”C.若是“可分集”，則中元素全為奇數(shù) D.若是“可分集”，則中元素個數(shù)為奇數(shù)二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．11.已知函數(shù)，則_______12.如圖，五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的體積為_______．13.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．14.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則=_________.15.設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為m，稱為數(shù)列和的距離．記滿足的所有數(shù)列構(gòu)成的集合為C．已知數(shù)列和為集合C中的兩個元素，項(xiàng)數(shù)均為m，給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列1，3，5，7和數(shù)列2，4，6，8的距離為4②若，則③若則④若數(shù)列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470．其中，所有正確結(jié)論的序號是_______三、解答題共6道小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.在中，．（1）求B；（2）若求邊a以及的面積．17.四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，，E為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，C，E的平面交棱于點(diǎn)F．（1）求證：F為中點(diǎn)；（2）若，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使四棱錐唯一確定，求二面角的余弦值．條件①：條件②：條件③：與平面所成角的正切值為2如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．18.上學(xué)期間，甲每天7:30之前到校的概率為，乙每天7:30之前到校的概率為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（1）設(shè)為事件“在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)恰為2天”，求事件發(fā)生的概率；（2）在上學(xué)期間隨機(jī)選擇兩天，記為甲7:30之前到校的天數(shù)，記為乙7:30之前到校的天數(shù)，，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）在上學(xué)期間隨機(jī)選擇天，若在這天中，甲7:30之前到校的天數(shù)多于乙，則記，否則記，分別比較，的大小和，的大小，直接寫出結(jié)論.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）若不等式無整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20.已知橢圓，E的離心率，短軸長為4.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）對于給定的點(diǎn)，在E上存在不同的三點(diǎn)A，B，Q，使得四邊形為平行四邊形，且直線AB過點(diǎn)，求t的取值范圍.21.已知m為大于0的偶數(shù)，集合．給定項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列，對于集合中任意元素，記．（1）若，數(shù)列，寫出的所有可能值．（2）對于各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，證明：存在，使得．（3）對于各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列和，證明：存在，使得同時(shí)成立．注：表示中最大的數(shù)，表示中最小的數(shù)．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】求出集合后可求它們的交集.【詳解】，，故，故選：B.2.【答案】D【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法求復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求，進(jìn)而確定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由，則，對應(yīng)點(diǎn)為.故選：D3.【答案】A【分析】求出展開式的通項(xiàng)后可求常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令得，故常數(shù)項(xiàng)為，故選：A.4.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件賦值可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.5.【答案】B【分析】分別畫出的圖像，結(jié)合圖像即可求解；【詳解】分別畫出的圖像，為的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合圖像可知：故選：B6.【答案】D【分析】先求出動點(diǎn)的軌跡方程（雙曲線的右支），再根據(jù)漸近線方程可求參數(shù)的范圍.【詳解】因?yàn)?，故在雙曲線的右支上，而半焦距，實(shí)半軸長為，故雙曲線右支的方程為：，故漸近線方程為，而直線與雙曲線右支有公共點(diǎn)，故，故選：D.7.【答案】C【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷條件關(guān)系.【詳解】若，則，當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故能推出；反之，若對任意，，因?yàn)闀r(shí)，，故，故即；而時(shí)，，故，故即；時(shí)顯然成立，故，故對任意，能得到，故“”是“對任意，”的充要條件，故選：C.8.【答案】D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.9.【答案】B【分析】可證，延長至，使得，則為的垂直平分線，根據(jù)對稱可求的最小值.【詳解】因?yàn)?，故，故，故，所以，延長至，使得，連接，則為的垂直平分線，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號成立，而，故的最小值為，故選：B.10.【答案】D【分析】選項(xiàng)A，B根據(jù)“可分集”定義性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；選項(xiàng)C，D，根據(jù)“可分集”定義可知“可分集”元素之和減去任意一個元素一定為偶數(shù)，根據(jù)此特性分類討論集合中元素為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)的情況即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)集合為時(shí)，去掉3，其余數(shù)字和為24，若分拆成為符合題意的兩個集合，則每個集合的數(shù)字之和為12，但｛3，5，7，9｝中任意一個，兩個或三個的和都不為12，故不可拆分成符合題意的可分集，故不是“可分集”，故A錯誤.對于選項(xiàng)B，對于集合，去掉后，其余各數(shù)的和為27，是奇數(shù)，不可能分解成兩個整數(shù)集合的并集，故無法分成兩個交集為空且元素之和相等的集合，所以不是“可分集”，故B錯誤.設(shè)集合所有元素之和為M.由題意可知集合中除去任意一個元素后所得集合可以分拆成兩個元素和相等各元素都是正整數(shù)的集合，因此，均為偶數(shù)，因此同為奇數(shù)或同為偶數(shù).(Ⅰ)當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，則也均為奇數(shù)，由于，所以n為奇數(shù).(Ⅱ)當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)，則也均為偶數(shù)，此時(shí)可設(shè)，因?yàn)闉椤翱煞旨?，所以也為“可分集?重復(fù)上述有限次操作后，便可得到一個各元素和為奇數(shù)的“可分集”，從而其各個元素也都是奇數(shù)，由(Ⅰ)可知此時(shí)n也為奇數(shù).綜上所述，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù).故C錯D對.故選：D.二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】代入函數(shù)的解析式，利用對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故答案為:.12.【答案】##【分析】作出圖形，結(jié)合二面角的定義分別求出，最后利用五面體的體積為2倍的四棱錐的體積加上三棱柱的體積求出結(jié)果即可.【詳解】如圖，作于，，連接；同理作于，，連接，取中點(diǎn)，連接，再作于，因?yàn)榈妊菪嗡谄矫?等腰三角形所在平面與平面的夾角的正切值均為，因?yàn)椋宽數(shù)牡酌鏋榫匦危?，所以，又中點(diǎn)，，且，所以，所以，，所以由二面角的定義可得，正切值均為.則.所以，因?yàn)椋?，，且底面，所以底面，所以該五面體的體積為2倍的四棱錐的體積加上三棱柱的體積，即，故答案為：.13.【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.14.【答案】【分析】將相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，列方程即可.【詳解】由題可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，得，，設(shè)，有，，解得（舍）或，，；故答案為：.15.【答案】①②④【分析】對于①，利用定義求解即可；對于②，找出，是以4為周期的周期數(shù)列，即可求解；對于③，由②知是以4為周期的周期數(shù)列，結(jié)合，基本不等式即可求解；對于④，利用定義結(jié)合周期性求解.【詳解】對于①，根據(jù)數(shù)列距離的定義可得，數(shù)列1，3，5，7和數(shù)列2，4，6，8的距離為，故①正確；對于②，設(shè)，由可得：，故是以4為周期的周期數(shù)列，且，同理可得也滿足此性質(zhì)，故則，故②正確；對于③，由②知，因?yàn)椋?，所以所以，故③錯誤；對于④，因?yàn)樗詳?shù)列中，,數(shù)列中，,因?yàn)楣薯?xiàng)數(shù)越大，數(shù)列和的距離越大，，故，故數(shù)列和的距離不超過2025，則m的最大值為3470，故④正確；故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問題，用題上的新概念、新法則去解決問題，有時(shí)還需要用到類比，結(jié)合所學(xué)知識，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，掌握三基，以不變應(yīng)萬變.三、解答題共6道小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）（2），【分析】（1）由利用正弦定理以及兩角差的正弦公式化簡，可得，進(jìn)而可求B的值；（2）由結(jié)合（1）利用余弦定理可求a的值，再利用三角形面積公式可求的面積．【小問1詳解】由正弦定理得，又，所以，即，，得，所以.【小問2詳解】由余弦定理得即，解得或(舍)，所以17.【答案】（1）證明見解析（2）選條件①：不合題意；選條件②：；選條件③：；【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理可得結(jié)果；（2）選條件①：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合已知，不合題意；選條件②：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合已知，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角可得結(jié)果；選條件③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得為與平面所成角，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以，又E為棱的中點(diǎn)，所以F為中點(diǎn).【小問2詳解】選條件①：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，所以，又，且平面，所以平面，所以，故四邊形為菱形，但，在中，，這與四邊形為菱形矛盾，不合題意；選條件②：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，所以，又，在中，，所以，所以在中，，在中，，所以，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)平面的一個法向量為，又，因?yàn)?，所以，令，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，又，因?yàn)?，所以，令，則，故，則，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.選條件③：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，所以為在平面?nèi)的射影，故為與平面所成角，即，所以，在中，，所以，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)平面的一個法向量為，又，因?yàn)?，所以，令，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，又，因?yàn)椋?，令，則，故，則，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）；【分析】（1）先判斷在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)符合二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算即得；（2）根據(jù)隨機(jī)變量的可能值，利用獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算其概率，得到的分布列，即可得到數(shù)學(xué)期望；（3）依題意，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，根據(jù)兩點(diǎn)分布的方差公式計(jì)算比較即得.【小問1詳解】依題意知在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)符合二項(xiàng)分布,即，故；【小問2詳解】，，則的可能值有.,,,.故的分布列為：012；【小問3詳解】由題，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，不妨設(shè)，則.故當(dāng)時(shí)，，于是；故當(dāng)時(shí)，，于是，故同理可得：.即：；.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在某點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；（2）當(dāng)確定時(shí)，分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的解集；（3）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范圍，再結(jié)合不等式，討論的取值，即可求解.【小問1詳解】將代入，可得..將代入，.則切線方程為，即.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.即,解得;或，無解.綜上所得，不等式的解集為.【小問3詳解】由，不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不等式無整數(shù)解，即無整數(shù)解，若時(shí)，不等式恒成立，有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，若時(shí)，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以無整數(shù)解，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋@然是的兩個整數(shù)解，不符合題意，綜上可知，.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率得到，根據(jù)短軸長得到，然后結(jié)合解方程即可；（2）利用點(diǎn)差法和直線過點(diǎn)得到中點(diǎn)的軌跡方程，然后根據(jù)，得到，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到，最后根據(jù)的范圍求的范圍即可.【小問1詳解】由題意得，又，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，中點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立得，又直線過點(diǎn)，所以，整理得，即中點(diǎn)的軌跡方程為①，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，代入①式可得②，又點(diǎn)在橢圓