《備考指南 理科數(shù)學》課件-第11章 第9講

計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第十一章第9講離散型隨機變量的均值與方差【考綱導學】1．理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念．2．能計算簡單的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．3．利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義．欄目導航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎(chǔ)診斷11．離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學期望平均水平平均偏離程度標準差2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝__________.(2)D(aX＋b)＝___________.(a，b為常數(shù))3．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則EX＝_______，DX＝________.(2)若X～B(n，p)，則EX＝_______，DX＝______________.aEX＋b

a2DX

pp(1－p)npnp(1－p)1．(2018年孝感模擬)設(shè)隨機變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝3.2，Dξ＝1.92，則(

)A．n＝8，p＝0.4

B．n＝4，p＝0.4C．n＝8，p＝0.6

D．n＝4，p＝0.6【答案】A2．(2018年哈爾濱模擬)籃球運動員在比賽中每次罰球，命中得1分，不中得0分，若運動員甲罰球命中的概率為0.8，X表示他罰球一次的得分，則X的數(shù)學期望EX

為(

)A．0.3

B．0.8

C．0.2

D．1【答案】B1．在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定．(

)(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越?。?

)(3)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．(

)(4)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×課堂考點突破2離散型隨機變量的均值與方差【考向分析】離散型隨機變量的均值與方差是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是近幾年高考中主要的概率題型，常與排列組合、概率等知識綜合考查．常見的考向有：(1)求離散型隨機變量的均值、方差；(2)已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值．【答案】D【解析】因為η～B(n，p)，且E(2η)＝8，D(4η)＝32，所以E(2η)＝2Eη＝2np＝8，D(4η)＝16Dη＝16np(1－p)＝32，解得n＝8，p＝0.5.【規(guī)律方法】離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略：(1)求離散型隨機變量的均值與方差．可依題設(shè)條件求出離散型隨機變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求參數(shù)值．可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程，解方程即可求出參數(shù)值．【跟蹤訓練】1．(1)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內(nèi)同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學期望為(

)A．0.9

B．0.8

C．1.2

D．1.1均值與方差在決策中的應(yīng)用

(2018年懷化模擬)近年來，共享汽車給市民們提供了一種新型的出行方式．某共享汽車用戶每次租車時按行駛里程(1元/千米)加用車時間(0.1元/分鐘)收費．李先生家離上班地點10千米，每天租用共享汽車上下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機變量，根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費時間在各時間段內(nèi)的情況如下：時間(分鐘)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]次數(shù)814882以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為[15,65]分鐘．(1)若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)ξ是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；(2)若李先生每天上下班使用共享汽車2次，一個月(以20天計算)平均用車費用大約是多少？(同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表)課后感悟提升33條性質(zhì)——期望與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))．(2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.(3)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))．3種方法——求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．1．(2018年新課標Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(

)A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3【答案】B3．(2018年北京)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k＝1,2,3,4,5,6)，寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系．4．(2018年新課標Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．(ⅰ)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？(2)(ⅰ)由(1)知p＝0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B(180