《備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第8章 第3講

第八章第3講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【解析】直線l1，l2是異面直線，一定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件．故選A．2．(2018年西安二模)下列命題正確的是()①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面；③如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面．A．①③ B．①④C．②④ D．②③【答案】C【解析】在①中，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；在②中，兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故②正確；在③中，如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面相交、平行或在另一個(gè)平面內(nèi)，故③錯(cuò)誤；在④中，如果兩個(gè)平面平行，那么由面面平行的性質(zhì)得其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面，故④正確．故選C．3．(2018年欽州三模)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列幾種說(shuō)法正確的是()A．A1C1與B1C成60°角 B．D1C1⊥ABC．AC1與DC成45°角 D．A1C1⊥AD【答案】A【解析】如圖，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠ACB1即為A1C1與B1C所成的角，在正△AB1C中易得，∠ACB1＝60°，故A正確；選項(xiàng)B，由正方體的性質(zhì)易得D1C1∥AB，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，可得DC∥D1C1，∠AC1D1即為AC1與DC所成的角，在Rt△AC1D1中，∠C1D1A＝90°，AD1≠D1C1，故AC1與DC不可能成45°角，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，易得∠D1A1C1為A1C1與AD所成的角，在等腰直角三角形D1A1C1中易得∠D1A1C1＝45°，故A1C1與AD不可能垂直，故錯(cuò)誤．故選A．4．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c【答案】C【解析】若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C．5．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【答案】A【解析】連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面．所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線．6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,7)【答案】B【解析】連接DF，則AE∥DF，所以∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D1D＝a，DF＝D1F＝eq\f(\r(5),2)a，所以cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).7．如果兩條直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a與b的位置關(guān)系是________．【答案】平行或異面【解析】空間中兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面，沒(méi)有公共點(diǎn)．由此可知，如果兩條直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a與b的位置關(guān)系是平行或異面．8．(2018年渭南二模)已知m，n是空間兩條不同直線，α，β是空間兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中真命題的編號(hào)是________．(寫出所有真命題的編號(hào))【答案】②③【解析】在①中，若m∥α，n∥β且α∥β，則m與n相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；在②中，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則由線面垂直的性質(zhì)得m⊥n，故②正確；在③中，若m⊥α，n∥β且α∥β，則由線面垂直的性質(zhì)得m⊥n，故③正確；在④中，若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m與n相交、平行或異面，故④錯(cuò)誤．故答案為②③.9．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．【解析】(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).[B級(jí)能力提升]10．以下四個(gè)命題中，①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形，④不正確．11．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【答案】D【解析】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C．若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直．因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定．12．(2018年永州三模)三棱錐A－BCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線BM與AN所成角的余弦值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】取DN中點(diǎn)O，連接MO，BO，因?yàn)槿忮FA－BCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N別是棱AD，BC的中點(diǎn)，所以MO∥AN，所以∠BMO是異面直線BM與AN所成角(或其補(bǔ)角)．設(shè)三棱錐A－BCD的所有棱長(zhǎng)為2，則AN＝BM＝DN＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，MO＝eq\f(1,2)AN＝eq\f(\r(3),2)＝NO＝eq\f(1,2)DN，BO＝eq\r(BN2＋NO2)＝eq\f(\r(7),2)，所以cos∠BMO＝eq\f(BM2＋MO2－BO2,2BM·OM)＝eq\f(3＋\f(3,4)－\f(7,4),2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3).所以異面直線BM與AN所成角的余弦值為eq\f(2,3).故選D．13．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是上底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．【答案】1【解析】由PQ∥平面AA1B1B知Q在過(guò)點(diǎn)P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知點(diǎn)Q在A1D1，B1C1中點(diǎn)的連線MN上，故PQ的最小值為PM＝eq\f(1,2)AA1＝1.14．如圖所示，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為_(kāi)_______________________________________________________________________．【答案】eq\f(\r(3),6)【解析】取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.由題設(shè)，HF綊eq\f(1,2)AD．所以∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)．在△GHF中，可求得HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，所以cos∠HFG＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).15．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2.(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值．【解析】(1)如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M.因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC，所以C1C⊥底面ABC，所以C1C⊥AC．又因?yàn)镋C＝2FB＝2，所以O(shè)M∥EC∥FB且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB．所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF