重慶市兩江新區(qū)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025九年級(jí)下第一次月考定時(shí)練習(xí)一、單選題1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B. C. D.2.下列五線譜符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.4.如圖，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若與的面積比為，則為的值為（）A. B. C. D.5.已知，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B.C D.6.下列四個(gè)命題中，假命題是（）A.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是矩形D.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形7.如圖，用同樣大小的棋子按以下規(guī)律擺放，第1個(gè)圖有6顆棋子，第2個(gè)圖有9顆棋子…那么，第9個(gè)圖中的棋子數(shù)是（）A.27 B.30 C.35 D.388.如圖，與菱形的邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.9.如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的值為（）A2 B. C. D.10.對(duì)于兩個(gè)代數(shù)式，記，，以下說法正確的個(gè)數(shù)是（）①若，則；②若關(guān)于方程的解為和，則的值為，③若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則．A.0 B.1 C.2 D.311.已知整式，其中，，，…，為自然數(shù)，且．下列說法：①當(dāng)，時(shí)，則；②若，不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且僅有3個(gè)；③當(dāng)時(shí)，滿足條件的所有整式有且僅有28個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題12______．13.甲、乙、丙三位同學(xué)把自己的數(shù)學(xué)課本放在一起，每人從中隨機(jī)抽取一本（不放回），三位同學(xué)抽到的課本都不是自己課本的概率是___________．14.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，并且每一個(gè)內(nèi)角都相等，則這個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是____°.15.如果關(guān)于的不等式組有解且至多有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為________．16.如圖，已知是的直徑，弦于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接．若，則的半徑是__________，__________．17.一個(gè)四位自然數(shù)，如果的千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)與的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)的和等于72，那么就稱這個(gè)數(shù)為“72變數(shù)”．把“72變數(shù)”的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)，設(shè)．例如：一個(gè)四位數(shù)2493，，是“72變數(shù)”，且．則最小的“72變數(shù)”是__________，若是“72變數(shù)”，且，則滿足條件的所有的和為__________．三、解答題18.（1）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．19.計(jì)算：（1）（2）20.“發(fā)展科學(xué)技術(shù)，迎接美好未來”，重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校在校開展了科技文化知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從七年級(jí)和八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生中各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理、描述和分析（單位：分，滿分100分，成績(jī)均不低于70分，90分及90分以上為優(yōu)秀），并將學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)分為A、B、C三個(gè)等級(jí)：A：，B：，C：．下面給出了部分信息：抽取的七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?5，76，84，84，84，86，86，94，95，96；抽取的八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐等級(jí)的為：81，83，84，88，88．兩個(gè)年級(jí)抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：抽取的八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．學(xué)生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)8685b八年級(jí)86a88根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：_____，_____，_____度；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好？請(qǐng)說明理由（一條理由即可）（3）若八年級(jí)共有500名學(xué)生參賽，請(qǐng)你估計(jì)八年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．21.如圖，在四邊中，，對(duì)角線．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作線段的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)O，E，F(xiàn)．連接．（只保留作圖痕跡）（2）在（1）問所作的圖形中，求證：四邊形為菱形．（請(qǐng)完成下面的填空）證明：∵垂直平分∴①______，∵∴②______∵在和中∴，∵∴四邊形BFDE為平行四邊形∵④______∴四邊形BFDE為菱形（對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形）在作圖過程中，進(jìn)一步研究還可發(fā)現(xiàn)，夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后，可以得到一個(gè)特殊四邊形，請(qǐng)你依照題意完成下面命題：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后⑤______．22.甲、乙兩人計(jì)劃周末到詩橙奉節(jié)徒步三峽之巔，甲選擇乘坐高鐵，已知主城到奉節(jié)的高鐵線路長(zhǎng)，乙選擇乘坐順風(fēng)車，主城到奉節(jié)的駕車線路長(zhǎng)，已知高鐵的平均速度為順風(fēng)車的1.5倍，甲乘坐高鐵到奉節(jié)的時(shí)間比乙乘坐順風(fēng)車到奉節(jié)的時(shí)間少3小時(shí)．（1）求出甲乘坐高鐵和乙乘坐順風(fēng)車的平均速度；（2）甲、乙商議在各自去奉節(jié)的途中拍攝精美照片．由于高鐵速度快，乙每小時(shí)可拍到的精美照片比甲每小時(shí)可拍到的2倍還多4張，最后要使甲、乙拍到的精美照片總和不少于115張，請(qǐng)問甲每小時(shí)至少要拍多少張精美照片？23.如圖，在中，，為邊上的高，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，過點(diǎn)作交的邊于點(diǎn)，點(diǎn)，的距離為．（1）請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，的距離為3時(shí)的值．24.2025年重慶“新年第一跑”活動(dòng)在渝北區(qū)中央公園中央廣場(chǎng)舉辦，活動(dòng)方開辟出了兩條經(jīng)典路線．如圖是兩條跑步路線的平面示意圖，已知終點(diǎn)C在起點(diǎn)A的東北方向．路線①從起點(diǎn)A出發(fā)向北偏東的方向先跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)B，再沿正東方向跑一段步道即可到達(dá)終點(diǎn)C；路線②從起點(diǎn)A出發(fā)沿北偏東的方向跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到達(dá)終點(diǎn)C．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）（2）某班有兩位同學(xué)小軒和小鵬參加了跑步活動(dòng)，小軒選擇路線①，他的平均速度為80米/分鐘，小鵬選擇了路線②，他的平均速度為90米/分鐘，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)？（結(jié)果精確到0.1）25.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于A、C兩點(diǎn)（A在C的左側(cè)），連接，．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；（3）如圖，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸與的交點(diǎn)，將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線剛好經(jīng)過點(diǎn)Q，K為新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)K坐標(biāo)的過程．26.在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接、，且．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，求證：；（3）如圖3，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)得到，連接交于點(diǎn)，連接、，當(dāng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

2024-2025九年級(jí)下第一次月考定時(shí)練習(xí)一、單選題1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)“正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的而反而小”進(jìn)行比較即可判斷求解，掌握實(shí)數(shù)的大小比較方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正數(shù)大于負(fù)數(shù)，∴最小數(shù)在和中，∵，，又∵兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的而反而小，∴，∴最小的數(shù)是，故選：．2.下列五線譜符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸，據(jù)此判斷即可求解，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；故選：．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)、冪的乘方、單項(xiàng)式的除法、同底數(shù)冪的乘法等知識(shí)．根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算后即可得到答案．【詳解】A.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)正確，符合題意；C.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B4.如圖，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若與的面積比為，則為的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的概念得到，，得到，得到根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，，．．．與的面積比為，與的相似比為，即．．故選：D5.已知，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算及無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，∴，∴，∴．故選A．6.下列四個(gè)命題中，假命題是（）A.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是矩形D.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【分析】此題考查了中點(diǎn)四邊形、特殊四邊形的判定等知識(shí)．根據(jù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，是真命題，不符合題意；B.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，是真命題，不符合題意；C.對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，選項(xiàng)是假命題，符合題意；D.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，是真命題，不符合題意；故選：C7.如圖，用同樣大小的棋子按以下規(guī)律擺放，第1個(gè)圖有6顆棋子，第2個(gè)圖有9顆棋子…那么，第9個(gè)圖中的棋子數(shù)是（）A.27 B.30 C.35 D.38【答案】B【解析】【分析】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，觀察題圖，發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖中棋子的枚數(shù)比前一個(gè)圖中棋子的枚數(shù)多，第個(gè)圖中棋子的枚數(shù)為，即可判斷第個(gè)圖中的棋子數(shù)．結(jié)合圖形得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：觀察題圖，第個(gè)圖中的棋子數(shù)為：，第個(gè)圖中的棋子數(shù)為：，第個(gè)圖中的棋子數(shù)為：，第個(gè)圖中的棋子數(shù)為：，……發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖中棋子的枚數(shù)比前一個(gè)圖中棋子的枚數(shù)多，

∴第個(gè)圖中的棋子數(shù)為：，

∴第個(gè)圖中的棋子數(shù)是：．

故選：B．8.如圖，與菱形的邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖連接，，，，．證明，推出，推出點(diǎn)在菱形的對(duì)角線上，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖連接，，，，．四邊形是菱形，，，在和中，，，，點(diǎn)在菱形的對(duì)角線上，，，，是切線，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．9.如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是添加輔助線改造直角三角形，熟練掌握利用面積法求線段的長(zhǎng)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，利用勾股定理和正方形性質(zhì)求出，再利用三角形面積和勾股定理求出，，，，，進(jìn)一步求出，由，即可求出，【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，∵為邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，在中，由勾股定理得：，∵，∴的面積，∴，∴，∴，∵的面積，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵，即，∴，∴，故選：A．10.對(duì)于兩個(gè)代數(shù)式，記，，以下說法正確的個(gè)數(shù)是（）①若，則；②若關(guān)于的方程的解為和，則的值為，③若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的解；根據(jù)解一元二次方程判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷②，根據(jù)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，即可求解．【詳解】解：將，代入方程得，即解得：，故①不正確；②將，代入方程得，∴，∵∴∴，故②不正確；③將，代入方程得，設(shè)如圖所示，當(dāng)，，∴當(dāng)經(jīng)過和之間時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；∴，故③錯(cuò)誤故選：A．11.已知整式，其中，，，…，為自然數(shù)，且．下列說法：①當(dāng)，時(shí)，則；②若，不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且僅有3個(gè)；③當(dāng)時(shí)，滿足條件的所有整式有且僅有28個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①當(dāng)，時(shí)，可得，，，，，，，即可求解；②若，分類討論：時(shí)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行求解，即可判斷；③分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理可求．【詳解】解：①當(dāng)，時(shí)，，，…，為自然數(shù)，且，，，，，，，，；故此項(xiàng)正確；②若，當(dāng)時(shí)，，有個(gè)；當(dāng)時(shí)，，可以取、、、，有個(gè)；當(dāng)時(shí)，，為，，，，，，有個(gè)；當(dāng)時(shí)，，為，，，有個(gè)；當(dāng)時(shí)，，為，有個(gè)；此時(shí)共有：個(gè)；存在一個(gè)，使得滿足條件整式有且僅有3個(gè)；故此項(xiàng)正確；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，整式：，有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，整式：；時(shí)，整式：，此時(shí)共有：個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，整式：，有個(gè)；時(shí)，整式為，可以取、，有個(gè)；時(shí)，整式為，為，有個(gè)；此時(shí)共有：個(gè)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，整式：，有個(gè)；時(shí)，整式為，可以取、、，有個(gè)；時(shí)，整式為，為，，，有個(gè)；時(shí)，整式為，為，有個(gè)；此時(shí)共有：個(gè)；當(dāng)時(shí)，由②得此時(shí)共有：個(gè)；綜上所述：共有個(gè)，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了整式中的探究規(guī)律，理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題12.______．【答案】##【解析】【分析】先化簡(jiǎn)各式，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可．【詳解】解：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算．熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．13.甲、乙、丙三位同學(xué)把自己的數(shù)學(xué)課本放在一起，每人從中隨機(jī)抽取一本（不放回），三位同學(xué)抽到的課本都不是自己課本的概率是___________．【答案】【解析】【分析】畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖即可得出答案．【詳解】解：設(shè)甲的數(shù)學(xué)課本用A表示，乙的數(shù)學(xué)課本用B表示，丙的數(shù)學(xué)課本用C表示，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有六種等可能的結(jié)果數(shù)，其中三位同學(xué)抽到的課本都不是自己的課本有二種結(jié)果：，所以三位同學(xué)抽到的課本都不是自己課本的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，并且每一個(gè)內(nèi)角都相等，則這個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是____°.【答案】108【解析】【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為540°，列出方程解出邊數(shù)，進(jìn)一步可求出它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則有解得n=5.∵這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，∴它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為故答案為【點(diǎn)睛】考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.15.如果關(guān)于的不等式組有解且至多有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程，解一元一次不等式組．先解兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組有解且至多有4個(gè)整數(shù)解得到，再解分式方程確定的值即可得到答案．【詳解】解：解不等式得：，解不等式，得：，∴，∵關(guān)于的不等式組至多有4個(gè)整數(shù)解，∴，∴，由，得，∵關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，∴或或或且，∴所有滿足條件的整數(shù)有或，∴所有滿足條件的整數(shù)的值之和為，故答案為：．16.如圖，已知是的直徑，弦于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接．若，則的半徑是__________，__________．【答案】①.4②.【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、勾股定理、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接，，，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得，即，進(jìn)而可得，再解得，然后證明，設(shè)，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半徑，再用三角函數(shù)求出的長(zhǎng)即可求解．詳解】解：如圖，連接，，，是的切線，，，，，于點(diǎn)，，，設(shè)，為的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，，，即的半徑為4．，，，，，，，，，，故答案為：4，．17.一個(gè)四位自然數(shù)，如果的千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)與的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)的和等于72，那么就稱這個(gè)數(shù)為“72變數(shù)”．把“72變數(shù)”的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)，設(shè)．例如：一個(gè)四位數(shù)2493，，是“72變數(shù)”，且．則最小的“72變數(shù)”是__________，若是“72變數(shù)”，且，則滿足條件的所有的和為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】本題主要考查了數(shù)的規(guī)律探索，整式的運(yùn)算，解方程組等知識(shí)點(diǎn)，正確找到規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)題目的對(duì)“72變數(shù)”的定義求解第一空．根據(jù)題目對(duì)“72變數(shù)”的定義，求出a，b，c，d之間的關(guān)系式，然后根據(jù)題目討論求解即可．【詳解】解：根據(jù)“72變數(shù)”的定義，四位數(shù)，千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)與百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)的和等于72，，要使四位數(shù)最小，千位數(shù)字應(yīng)盡可能小，是千位數(shù)字，，此時(shí)要使最小，百位數(shù)字也應(yīng)盡可能小，取，，即，要使最小，應(yīng)盡可能小，是一位數(shù)，，則不符合個(gè)位數(shù)字是一位數(shù)的要求，當(dāng)，無法滿足條件，，時(shí)，，即，，同樣無法滿足要求，，時(shí)，，即，，也無法滿足要求，當(dāng)，時(shí)，，即，，也無法滿足要求，當(dāng)，時(shí)，，即，，此時(shí)取，不符合要求，取，不符合要求，取，滿足要求，最小的“72變數(shù)”為，，是“72變數(shù)”，，，，，即，，，，，，且，且所有字母都取整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)沒有值，使，是整數(shù)，不符合題意，按此思路，分別計(jì)算得，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，而，是整數(shù)，，此時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)當(dāng)，而，是整數(shù)，，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)沒有值，使，是整數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)沒有值，使，是整數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，，，而，不符合題意，當(dāng)，時(shí)，而，，不符合題意，滿足條件的所有的和為，故答案為：，．三、解答題18.（1）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式分別根據(jù)特殊角三角值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值的代數(shù)意義以及零指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先將原式中的括號(hào)內(nèi)進(jìn)行通分，再把除法以轉(zhuǎn)換為乘法，約分后得最簡(jiǎn)結(jié)果，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）；∵，∴，∴原式．19.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式去掉括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可求解；（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)利用除法法則變形，約分，再計(jì)算分式加法即可得到結(jié)果．【小問1詳解】解：原式，，，；【小問2詳解】解：原式，，，，．20.“發(fā)展科學(xué)技術(shù)，迎接美好未來”，重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校在校開展了科技文化知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從七年級(jí)和八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生中各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理、描述和分析（單位：分，滿分100分，成績(jī)均不低于70分，90分及90分以上為優(yōu)秀），并將學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)分為A、B、C三個(gè)等級(jí)：A：，B：，C：．下面給出了部分信息：抽取的七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?5，76，84，84，84，86，86，94，95，96；抽取的八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐等級(jí)的為：81，83，84，88，88．兩個(gè)年級(jí)抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：抽取的八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．學(xué)生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)8685b八年級(jí)86a88根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：_____，_____，_____度；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好？請(qǐng)說明理由（一條理由即可）（3）若八年級(jí)共有500名學(xué)生參賽，請(qǐng)你估計(jì)八年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【答案】（1）；，；（2）八年級(jí)的成績(jī)更好，理由見解析；（3）150人【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)的定義和意義，扇形統(tǒng)計(jì)圖，利用樣本估計(jì)總體．（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義，可求出、的值，用八年級(jí)C等級(jí)人數(shù)所占百分比，可求出；（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義分析即可；（3）用八年級(jí)參賽學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以樣本中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生所占百分比求解即可．【小問1詳解】解：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，八年級(jí)A等級(jí)人數(shù)為人，八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)中位數(shù)為第五、六名學(xué)生的成績(jī)，；七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)中分出現(xiàn)了三次，次數(shù)最后，；八年級(jí)C等級(jí)人數(shù)為，，故答案為：；，；【小問2詳解】解：八年級(jí)的成績(jī)更好，理由：因?yàn)槠?、八年?jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)相同，但是八年級(jí)學(xué)生的中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級(jí)，所以八年級(jí)的成績(jī)更好；【小問3詳解】解：人，答：估計(jì)八年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為人．21.如圖，在四邊中，，是對(duì)角線．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作線段的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)O，E，F(xiàn)．連接．（只保留作圖痕跡）（2）在（1）問所作的圖形中，求證：四邊形為菱形．（請(qǐng)完成下面的填空）證明：∵垂直平分∴①______，∵∴②______∵在和中∴，∵∴四邊形BFDE為平行四邊形∵④______∴四邊形BFDE為菱形（對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形）在作圖過程中，進(jìn)一步研究還可發(fā)現(xiàn)，夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后，可以得到一個(gè)特殊四邊形，請(qǐng)你依照題意完成下面命題：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后⑤______．【答案】（1）見解析（2），，，，得到的四邊形是菱形【解析】【分析】本題主要考查了尺規(guī)作垂直平分線，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形全等和菱形的判定方法．（1）根據(jù)垂直平分線的基本作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)垂直平分線的定義得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證明，得出，即可證明結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖，為所求作的線段的垂直平分線；【小問2詳解】證明：∵垂直平分∴①，∵∴②∵在和中，∴，∵∴四邊形為平行四邊形∵④∴四邊形為菱形（對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形）在作圖過程中，進(jìn)一步研究還可發(fā)現(xiàn)，夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后，可以得到一個(gè)特殊四邊形，請(qǐng)你依照題意完成下面命題：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線與平行線相交后⑤得到的四邊形是菱形．22.甲、乙兩人計(jì)劃周末到詩橙奉節(jié)徒步三峽之巔，甲選擇乘坐高鐵，已知主城到奉節(jié)的高鐵線路長(zhǎng)，乙選擇乘坐順風(fēng)車，主城到奉節(jié)的駕車線路長(zhǎng)，已知高鐵的平均速度為順風(fēng)車的1.5倍，甲乘坐高鐵到奉節(jié)的時(shí)間比乙乘坐順風(fēng)車到奉節(jié)的時(shí)間少3小時(shí)．（1）求出甲乘坐高鐵和乙乘坐順風(fēng)車的平均速度；（2）甲、乙商議在各自去奉節(jié)的途中拍攝精美照片．由于高鐵速度快，乙每小時(shí)可拍到的精美照片比甲每小時(shí)可拍到的2倍還多4張，最后要使甲、乙拍到的精美照片總和不少于115張，請(qǐng)問甲每小時(shí)至少要拍多少張精美照片？【答案】（1）甲乘坐高鐵的平均速度為千米/時(shí)，乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為千米/時(shí)（2）甲每小時(shí)至少要拍7張精美照片【解析】【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找出相等關(guān)系和不等關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為千米/時(shí)，則甲乘坐高鐵的平均速度為千米/時(shí)，根據(jù)甲乘坐高鐵到奉節(jié)的時(shí)間比乙乘坐順風(fēng)車到奉節(jié)的時(shí)間少3小時(shí)列分式方程求解即可；（2）設(shè)甲每小時(shí)至少要拍張精美照片，根據(jù)甲、乙拍到的精美照片總和不少于115張列不等式求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為千米/時(shí)，則甲乘坐高鐵的平均速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，則原方程的根，∴（千米/時(shí)），答：甲乘坐高鐵的平均速度為千米/時(shí)，乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為千米/時(shí)；【小問2詳解】解：（時(shí)），（時(shí)），設(shè)甲每小時(shí)至少要拍張精美照片，則乙每小時(shí)拍張精美照片，根據(jù)題意得，，解得，，答：甲每小時(shí)至少要拍7張精美照片．23.如圖，在中，，為邊上的高，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，過點(diǎn)作交的邊于點(diǎn)，點(diǎn)，的距離為．（1）請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，的距離為3時(shí)的值．【答案】（1）（2）圖象見解析；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小；（3）或．【解析】【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)（1）分兩種情況分別列出函數(shù)解析式即可；（2）利用兩點(diǎn)法畫圖作出函數(shù)圖象，并寫出性質(zhì)即可；（3）根據(jù)圖象求出答案即可．【小問1詳解】解：∵在中，，為邊上的高，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)時(shí)，∵為邊上的高，∴，∴，∴∴∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∵為邊上的高，∴，∴都是等腰直角三角形，∴∴，∴【小問2詳解】圖象如圖，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減??；【小問3詳解】當(dāng)點(diǎn)，的距離為3時(shí)，即時(shí)，或．24.2025年重慶“新年第一跑”活動(dòng)在渝北區(qū)中央公園中央廣場(chǎng)舉辦，活動(dòng)方開辟出了兩條經(jīng)典路線．如圖是兩條跑步路線的平面示意圖，已知終點(diǎn)C在起點(diǎn)A的東北方向．路線①從起點(diǎn)A出發(fā)向北偏東的方向先跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)B，再沿正東方向跑一段步道即可到達(dá)終點(diǎn)C；路線②從起點(diǎn)A出發(fā)沿北偏東的方向跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到達(dá)終點(diǎn)C．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）（2）某班有兩位同學(xué)小軒和小鵬參加了跑步活動(dòng)，小軒選擇路線①，他的平均速度為80米/分鐘，小鵬選擇了路線②，他的平均速度為90米/分鐘，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)？（結(jié)果精確到0.1）【答案】（1）的長(zhǎng)度約為3477米（2）小鵬會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，在中，求出（米），在中，求出（米），進(jìn)而求解即可；（2）如圖，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分別求出小軒走路線①需要的時(shí)間和小鵬走路線②需要的時(shí)間，進(jìn)而比較求解即可．【小問1詳解】如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由題意，得，，米在中，（米）．在中，（米）（米）．答：的長(zhǎng)度約為3477米；【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由題意，知，由（1）知米，在中，米在中，米，米（米）在中，（米），小軒走路線①需要的時(shí)間為：（分鐘）．小鵬走路線②需要的時(shí)間為：（分鐘）．，小鵬會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)．25.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于A、C兩點(diǎn)（A在C的左側(cè)），連接，．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；（3）如圖，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸與的交點(diǎn)，將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線剛好經(jīng)過點(diǎn)Q，K為新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)K的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)K坐標(biāo)的過程．【答案】（1）（2），的最大值為（3）或【解析】【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再解直角三角形求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出直線解析式為；設(shè)，則直線解析式，求出，，進(jìn)而求出，，則，據(jù)此可得到有最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；再由，得到當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為的長(zhǎng)，據(jù)此利用勾股定理即可求出答案；（3）先求出；可設(shè)原拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，則新拋物線解析式為，利用待定系數(shù)法可得新拋物線解析式為；如圖所示，取，連接，證明，得到；導(dǎo)角可證明，如圖所示，過點(diǎn)Q作交新拋物線與，則，即點(diǎn)即為所求；可求出直線的解析式為，聯(lián)立，可得；如圖所示，過點(diǎn)A作，