數(shù)學(xué)教案 人教a版必修第一冊 同步備課第4章小節(jié)練習(xí)題

4.1指數(shù)

m

最新課程標(biāo)準(zhǔn)：通過對有理數(shù)指數(shù)基a"（a>0,且aWl；m,n為整數(shù)，且n>0）、實(shí)數(shù)指數(shù)第a%a>0,

且aWl；x￡R）含義的認(rèn)識，了解指數(shù)幕的拓展過程，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

鉗悔例伽附曲""伽制伽""伽伽小!?!!居1?|白寺學(xué)習(xí)，川川川"川"川"樹仲搦陽勿"勿勿勿川川川乃川川川川川h

知識點(diǎn)一n次方根及根式的概念

1.a的n次方根的定義

如果x"=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>],且n￡N*.

2.a的n次方根的表示

（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根表示為露，a《R.

（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，a的n次方根表示為土也，其中一匹表示a的負(fù)的n次方根，ae[Q,+QQ）.

3.根式

式子如叫做根式，這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).

|狀元隨筆|根式的概念中要求n>l,且n￡”.

知識點(diǎn)二根式的性質(zhì)

（1）（^/a）n=a（nGR+,且n〉l）；

n「=R（n為奇數(shù),且n>l）,

㈠*=1回（n為偶數(shù)，且n>l）.

|狀元隨筆|（如）”中當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a￡R；n為偶數(shù)時(shí)，a20,而耨中a《R.

知識點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義及有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)

算性質(zhì)

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義

正分?jǐn)?shù)m

n：

指數(shù)累規(guī)定：a=^/a(a>0,m,nGN*,且n>l)

分?jǐn)?shù)指

負(fù)分?jǐn)?shù)--i]

規(guī)定：a"—―(a>0,m,n￡N,且n>l)

數(shù)基m-

指數(shù)累aK遮

性質(zhì)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0^0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的無意義

2.有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

(l)arax=ar+^；(a>0,r,s^Q)

(2)(ar)s=a2；(a>0,r,sGQ)

⑶(ab)'=ab.(a>0,b>0,rWQ)

3.無理數(shù)指數(shù)轅

無理數(shù)指數(shù)基aYa>0,a是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)對于無理數(shù)指數(shù)基

同樣適用.

［教材解難］

1.教材PlO5思考

可以，把根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式時(shí)，例如，把羽，飾，后等寫成下列形式：

3-

a2=a3(a>0),

/=b2(b>0),

5

y［c)=c4(c>0).

2.教材P儂思考

無理數(shù)指數(shù)嘉2d的含義：就是一串以私的不足近似值為指數(shù)、以2為底數(shù)的有理數(shù)指數(shù)幕和另一串

同樣以小的過剩近似值為指數(shù)、以2為底數(shù)的有理數(shù)指數(shù)耗無限逼近的結(jié)果，故2寸是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

［基礎(chǔ)自測］

1.:(。-4)'+”等于()

A.4B.2n-4

C.2n—4或4D.4—2n

解析：.(.-4)2+n=4—1+冗=4.故選A.

答案：A

2.bl=3(b>0),則b等于()

4

A.3*B.3

C.43D.35

解析：因?yàn)閎，=3(b〉0),.』=加=3*

答案：B

3.下列各式正確的是()

AA/(_3)2=-3B.^/a*=a

C.(^2)3=-2D.](-2尸2

解析：由于'(-3)」=3,%=|a|,V(_2)3=_2,故選項(xiàng)A,B,D錯(cuò)誤，故選C.

答案：C

4.(羲)4的值是--------.

AAj5

fr殺：TJ

琳川IHH川川川"W川川"IHHHI勿川勿出川叫川HWHHI勿勿h圖門陶圖?I州養(yǎng)I提I升12伽伽喇伽—，

題型一利用根式的性質(zhì)化簡求值［經(jīng)典例題］

例1(1)下列各式正確的是()

A.^/?=aB.a°=l

C.^/(―4)'=—4D.((-5)。=-5

(2)計(jì)算下列各式：

①^/(-a)5=.

②視3-“)"=?

③您=---------

nLf|a|,n為偶數(shù)，

【解析】(1)由于爐=篤大附則選項(xiàng)A,C排除，D正確，B需要加條件aWO.

v［a，n為奇數(shù)，

⑵①^/(―a)5=-a.

②§(3-JT)"=%("-3)"=n-3.

首先確定式子職中n的奇偶，再看式子的正負(fù)，最后確定化簡結(jié)果.

【答案】(1)D(2)①一a②Ji—3磅

方法歸納

根式化簡或求值的貪略

(1)解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用板式的性質(zhì)進(jìn)

行化簡或求值.

(2)開偶次方時(shí)，先用絕對值表示開方的結(jié)果，再去掉絕空值符號化簡，化簡時(shí)要結(jié)合條件或分類討

論.

跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值：

(1)-2)\(2)((-3)2；

(3)§(3-丸y；(4)^/x2-2xy+y2+〃(y-xf.

解析：(1)%E=-2；

(2)%-3斤缶=木；

R

(3)^/(3-n)=|3—JT|=n—3；

(4)原式=y1(x—y)'+y—x=|x—y|+y—x.

當(dāng)x2y時(shí)，原式=x-y+y-x=0：

當(dāng)x<y時(shí)，原式=y—x+y—x=2(y—x).

0,x2y,

所以原式=°,、/

2(y—x),x〈y.

由根式被開方數(shù)正負(fù)討論x2y,x〈y兩種情況.

題型二根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)制的互化［經(jīng)典例題］

例2(1)將分?jǐn)?shù)指數(shù)第a4(a>0)化為根式為

⑵化簡：6?羽）+（/?1需）=.（用分?jǐn)?shù)指數(shù)基表示）.

利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的性質(zhì)意義化為根式或分?jǐn)?shù)指數(shù)基.（3）將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基進(jìn)行互化.

【解析】⑴a4=-^=—

312Zn_2-

⑵(a??^a5)-i-(yfa?iynfa3)=(a2?)4-(a?a10)=a5-ra^=a5與=a5

6n

3

【答案】(D—(2)a5(3)①a，?=a'?a=a

方法歸納

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累互化的方法及思路

化為化為

（1）方法：根指數(shù)＜-------A分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)（式）的指數(shù)＜-------A分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.

（2）思路：在具體計(jì)算中，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)箱的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)轅的運(yùn)算性

質(zhì)解題.

提醒：如果根式中含有多里根號，要由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)移寫出.

跟蹤訓(xùn)練2下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)恭的互化正確的是（：'

2

A.—y[x=(-x)(x>0)

2

A：一/先把F=x”再加上一.

B：注意y<0.

C：負(fù)指數(shù)次鬲運(yùn)算.

題型三分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算與化簡[教材P心例4]

例3計(jì)算下列各式(式中字母均是正數(shù))：

21I1

i223一

(1)(2ab)(-6ab)+(-3a6b6)；

_L1

⑵(m4n)”；

(3)(^/?—7?4)-i-^/a5.

2II1

i2231

【解析】(1)(2ab)(—6ab、)+(—3a6bD

=[2X(-6)4-(-3)]a326b236

=4ab°

=4a；

]_3

⑵(m4n)8=^K-|>

-3

m

(3)(電系一，？)-r

2

2

—a-ra

2_￡3_\_

3~22~2

=^/a—a

狀元隨筆|①先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，在進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算時(shí)可將底數(shù)化成累的形式，再利用哥的乘方進(jìn)行運(yùn)

算；②對于零次累，直接運(yùn)用a°=l(aWO)得出結(jié)論；③底數(shù)為帶分?jǐn)?shù)的化成假分?jǐn)?shù)，進(jìn)而將底數(shù)化成基

的形式；④底數(shù)為小數(shù)的一般化成分?jǐn)?shù)來運(yùn)算；⑤先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減.

教材反思

利用指數(shù)察的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值的方法

(D進(jìn)行指數(shù)箱的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)晶，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧

運(yùn)算的順序.

(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進(jìn)行化簡運(yùn)算.

(3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)轅的形式表示.

跟蹤訓(xùn)練3計(jì)算：

(1)(-1.8)°+Qj

標(biāo)+收

解析：(1)原式=1+修｝?仔■)

104-27=2910=19.

c33?3

2-a--b--

14

(2)原式=4^-0.1"----7---T-=2X—X8=-

乙JJ

a5-b-2

狀元隨筆先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕再運(yùn)用指數(shù)鼎的運(yùn)算法則計(jì)算.

出川則州川川川川川州川川川卅川川川州川"川川州"□國EJ圖?財(cái)伽，麗伽m

一、選擇題

3/---

1.將句一29化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，其形式是（）

J_]_

22

A.2B.-2

_1_1

?9

C.2D.-2~

11111

3232

解析：刈-2-=(-2位)=(-2X2)=(-2多3=-2.

答案：B

4

2.若a，(a—2)。有意義，則a的取值范圍是()

A.a20B.a=2

C.aW2D.a20且a#2

[a^O

解析：要使原式有意義，只需0_八，

a—2W0

，a20且aW2.

答案：D

3.化簡“m的結(jié)果是（）

X

A.—yj-xB.y[x

C.-y[xD.q-x

解析：依題意知x<0,所以

答案：A

——---x——x—

=(a6)3?(a3)3=a63-a33=a\

答案：C

二、填空題

3

答案：￡

6.設(shè)Q,B為方程2x2+3x+l=0的兩個(gè)根，則（"}+R=.

_3_3

解析：由根與系數(shù)關(guān)系得a+B=—|,所以+2=（2-2）2=23=8.

答案：8

7.若，7鉉不1+亞而W=0,則&如>=.

解析：*/^/X2+2X+1+V7+67+9=0,

?H(x+1)2+,(y+3)2=|x+11+|y+31=0,

.*.x=-1,y=-3.

???6如)=[(-1嚴(yán)廣=(-1)7=-1.

答案：一1

三、解答題

8.用分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式表示下列各式(a>0,b>0)：

(l)a2-\/a；(2)牛藍(lán)?迎；

⑶(羽尸(4)—^—.

腦

12+-5

解析：(1)原式=a%2=a=a2.

?a13

——十一二

(2)原式=a3-a2=a32=a.

12J_32+工273

(3)原式=(a3)-?(ab3)?=a°?ab2=a32b2=a6b2.

--2--2

(4)原式=a?,a=a=a.

9.計(jì)算下列各式：

_14

3_(一與)+[(_2)3]《+16fz

(1)0.064

_2

(2)02一(_9.6)。_(一曰'+(—1.5):

_2」

⑶(一3q13+0.0022一10(/一2尸+(小一班)。.

解析：⑴原式=0.廠J+(-2尸+2T奇7+小9得

_2

~3

⑶原式=(-1)—10(v5+2)+1

=T4-10^5—10>/5—204-1=—^'.

J

［尖子生題庫］

10.已知a2+a2=&求下列各式的值:

(1)a+a-1；(2)a2+a-2；(3)a2—a-2.

解析：(D^a2+a2=小兩邊平方,

得a+a—+2=5,

則a+a-l=3.

(2)由a+a'=3兩邊平方，

得a2+a'4-2=9?

則a2+a-=7.

(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方，

24-4

得y=a+a-2

=(a2+a-2)2-4

=7-4

=45,

所以y=±3/,

即a2-a2=±3-^5.

4.2指數(shù)函數(shù)

第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念

最新課程標(biāo)準(zhǔn)：

(1)通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.(2)能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具

畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

W川川HWH川川陽川川冊陽川川川川"冊出川W冊出川川HHhE3團(tuán)囪國-ri'in)［習(xí)小明—明明耐州伽川川則州小

知識點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的定義

函數(shù)0(a>O且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.定義域?yàn)镽.

狀元隨筆|指數(shù)函數(shù)解析式的3個(gè)特征

(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù).

(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1.

(3)疝的系數(shù)是1.

知識點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l()<a<l

yBy=a'

??/(?>D

圖象

(0.1)--

。X

o~1

定義域R

值域(0,+8)

性

過定點(diǎn)過點(diǎn)(0,1)，即x=2_時(shí)，y=l

質(zhì)

函數(shù)值當(dāng)x>0時(shí)，01；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l；

的變化當(dāng)x<0時(shí)，0<Y〈l當(dāng)x<0時(shí)，以

單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)

狀元隨筆|底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.當(dāng)a>l時(shí)，指數(shù)函數(shù)的

圖象是“上升”的：當(dāng)0<a〈l時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的.

［教材解難］

規(guī)定底數(shù)a>0且a#l的理由

當(dāng)x>0時(shí)，a"恒為0；

(1)如果a=0,則

當(dāng)x<0時(shí)，a"無意義.

(2)如果a<0,比如y=(-2),這時(shí)對于x=［,］…在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.

Z4olb

(3)如果a=l,那么y=r=l是常量，對此就沒有研究的必要.

［基礎(chǔ)自測］

1.下列各函數(shù)中，是指數(shù)球數(shù)的是()

A.y=(-3)xB.y=-3x

C.y=3xD,y=C'

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義y=a'(a>0且aWl)可知只有D項(xiàng)正確.

答案：D

2.函數(shù)f(x)=］號的定義域?yàn)?)

A.RB.(0,+8)

C.［0,+8)D.(—8,0)

解析：要使函數(shù)有意義,則2.—析0,??.2》1,???x>0.

答案：B

3.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)丫=2'與y=(；)的圖象之間的關(guān)系是()

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

解析：由作出兩函數(shù)圖象可知，兩函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故選A.

答案：A

4.函數(shù)f(x)=，T*的值域?yàn)開_____.

解析:由1—e'20得e'WL故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|xW0},所以0<ex<l,—K—OX<0,0<1—ex<l,

函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1).

答案：［0,1)

環(huán)川川川川川川HW川川"出川川出川川川切川川勿冊川E3E3陶圖?國國甌川川切勿川川卅勿M和川川川川川川川川川川加川Wh

題型一指數(shù)函數(shù)概念的應(yīng)用［經(jīng)典例題］

例1(1)若函數(shù)f(x)=(2a—1)、是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1)

B.(1,+°0)

D.(—8,1)

(2)指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一2,；),那么f(4)-f(2)等于.

【解析】⑴由已知，得0<2a—1<1,貝&a<l,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是&1)

(2)設(shè)y=f(x)=aYa>0,a#l),所以「=亨,所以a=2,

所以f(4)?f(2)=24X22=64.

【答案】(DC(2)64

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，底數(shù)a>()且aWl,1的系數(shù)是1.

(2)先設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=a,，借助條件圖象過點(diǎn)(一2,；)求a,最后求值.

方法歸納

(1)判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合y=a'(a>0,且aWl)這一結(jié)構(gòu)特征.

②明特征：指數(shù)函數(shù)的解析式具有三個(gè)特征，只要有一個(gè)特征不具備，則不是指數(shù)函數(shù).

(2)己知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的基本步驟

跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y=13—2a)x為指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(2)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是.(填序號)

I

⑥y=x%

①y=2?(*)②丫=2*一】@y=圖@y=xx⑤y=3：

解析：(1)若函數(shù)y=(3—Za).為指數(shù)函數(shù),

3-2a>0,3

則解得a<5且a#l.

3-2a#l,

(2)①中指數(shù)式(g)”的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中y=2xT=S-2',指數(shù)式2、的系數(shù)不為1,

故不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)為X,不滿足底數(shù)是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)不是X,故不

是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù).故填③.

答案：(1)(_8,|)(2)③

1.指數(shù)函數(shù)系數(shù)為1.

2.底數(shù)＞0且

題型二指數(shù)函數(shù)[教材Pm例1]

例2已知指數(shù)函數(shù)f(x)=a'(a>0,且aWl),且f(3)=*求f(0),f(l),例一3)的值.

1

3A

【解析】因?yàn)閒(x)=a',且f(3)=n,則/=*解得a=n,于是f(x)=丸\

-1

所以，f(0)=n°=1,f(1)=JTf(―3)=n=—.

狀元隨筆要求f(0),f(l),f(—3)的值，應(yīng)先求出f(:＜)=ax的解析式，即先求a的值.

教材反思

求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解

析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問題的關(guān)鍵.因?yàn)榈讛?shù)a是

大于0且不等于1的實(shí)數(shù)，所以a=-3應(yīng)舍去.

跟蹤訓(xùn)練2若指數(shù)函數(shù)「(〉:)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,9),求門x)的解析式及f(一1)的值.

解析：設(shè)f(x)=?設(shè)＞0,且aWD,將點(diǎn)(2,9)代入，得a?=9,解得a=3或a=-3(舍去).

所以f(x)=3：所以f(-1)=37=)

設(shè)f(x)=a二代入(2,9)求出a.

出"WHWHH川川川川州州川州川川川伽州"川川川川h^EU^3*留業(yè)也I標(biāo)卅陽川川川川WHHUW川"楸"WW川川陽川川川川川HWh

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

①y=gh

@y=a'(a>0,且aWl)；③y=-；?y=(%?

A.0B.1

C.3D.4

解析：由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確.

答案：B

2.己知f(x)=3L“b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則f⑷的值為()

A.3B.6

C.9D.81

解析：由f(x)過定點(diǎn)(2,1)可知b=2,

所以f(x)=3t,f(4)=9.可知C正確.

答案：C

3.當(dāng)x￡[—1,1]時(shí)，函數(shù)f(x)=3,—2的值域是()

A.[l,.B.[-1,1]

1]I).[0,1]

解析:因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=3"在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)，所以3一太3,石31于是3T—2W為-2W4—2,

即一彳Wf(x)<1.故選C.

答案：c

4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=ax與g(x)=a"的圖象可能是()

解析：需要對a討論：

①當(dāng)a>l時(shí)，f(x)=ax過原點(diǎn)且斜率大于1,g(x)=a'是遞增的；②當(dāng)0<a〈l時(shí),f(x)=ax過原點(diǎn)且

斜率小于1,g(x)=M是減函數(shù)，顯然B正確.

答案：B

二、填空題

5.下列函數(shù)中:

?y=2-（V2）x；②y=2。③丫=伶）；④y=3：；@y=x3.

是指數(shù)函數(shù)的是(填序號).

解析：①中指數(shù)式的系數(shù)不為1；②中丫=2'7=：-才的系數(shù)亦不為1；④中自變量不為:《；⑤中的指

數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值.

答案：③

6.若指數(shù)函數(shù)y=「(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)卜2,3則f(-|)=----------.

解析：設(shè)f(x)=k(a〉O且a工1).

因?yàn)閒(x)過點(diǎn)(一2,上)

所以卷

1O

所以a=4.

所以f(x)=4〉

_3

所以《一y=42=|.

答案：|

O

7.若關(guān)于x的方程2X—a+l=0有負(fù)根，則a的取值范圍是—

解析：因?yàn)?*=a—l有負(fù)根，

所以x<0,

所以0<2*<l.

所以()3—1<1.

所以Ka<2.

答案：(1,2)

三、解答題

8.若函數(shù)y=(a?-3a+3)-a'是指數(shù)函數(shù)，求a的值.

a2—3a+3=1,①

解析：由指數(shù)函數(shù)的定義知

a〉0且a^l,②

由①得a=l或2,結(jié)合②得a=2.

9.求下列函數(shù)的定義域和值域；

1

X小〃2—2

⑴y=2—1；(2)y=M

J_111

XXXX

解析：(1)要使y=2-1芍意義，需xWO,則2W1；故2—1＞一1且2-1^0,故函數(shù)y

]_

X,

=2-1的定義域?yàn)閧x|xWO},函數(shù)的值域?yàn)?-1,0)U(0,+8).

m2x2—2

(2)函數(shù)y=(?的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,由于2X220,則2X2-22—2.

2x22/r\2x22

故0＜團(tuán)W9,所以函數(shù)y=(y]的值域?yàn)?0,9].

［尖子生題庫］

10.設(shè)f(x)=3)g(x)\

(1)在同一坐標(biāo)系中作出f(x),g(x)的圖象;

⑵計(jì)算f⑴與g(—1),f(n)與g(—n),f(m)與g(-m)的值，從中你能得到什么結(jié)論?

解析：(D函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示：

(2)f(l)=3'=3,g(-1)=G)T=3；

￡(51)=3==

f(m)=3",g(—m)=

從以上計(jì)算的結(jié)果看，兩個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量取值互為相反數(shù)時(shí)，其函數(shù)值相等，即當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互

為倒數(shù)時(shí)，它們的圖象關(guān)于y軸對稱.

第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)［基礎(chǔ)自測］

1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，旦在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

1

A.y=~B.y=|x|

X

C.y=2xD.y=x3

解析：y=1在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以排除A；y=|x|是偶函數(shù)，所以排除B；y=2'為非奇非偶函

X

數(shù)，所以排除C.選D.

答案：1)

2.下列判斷正確的是()

A.1.5LS>1.52B.0.52<0.511

C.e2VoeD.0.90,2>0.9°-5

解析：因?yàn)閥=0.9"是減函數(shù)，且0.5>0.2,

所以0.9O2>0.9°S.

答案：D

3.已知y2=3>yj=l(T,y,=101則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象為()

ABCD

解析：方法一'『十與y,=W單調(diào)遞增；y尸曲與g二10一』4)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)作直

線x=l,該直線與四條曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)對應(yīng)各底數(shù)，易知選A.

方法二丫2=￡與w=l(T單調(diào)遞增，且0=10,的圖象上升得快，%=(；)與丫2=3，的圖象關(guān)于y軸對

稱，丫3=10一、與O=1(T的圖象關(guān)于y軸對稱，所以選A.

答案：A

4.已知函數(shù)f(x)=4+a-(a>0且aWl)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______.

解析：令x—l=0,得x=L此時(shí)f(D=5.所以函數(shù)f(x)=4+a'T(a>0且aWl)的圖象恒過定點(diǎn)

P(l,5).

答案：(1,5)

伽伽楣川州伽咖伽伽州伽伽伽師加州hE3E3E3E1.固養(yǎng)提升加曲伽伽"岫"楣伽伽珊伽伽㈱伽，

題型一利用指數(shù)的單調(diào)性比較大小[教材Pi“例3]

例1比較下列各題中兩個(gè)值的大小:

(1)1.72,5,1.73；

⑵0.8一寸,0.8一4；

(3)1.7°30.931.

【解析】(1)1.7?萬和1.7,可看作函數(shù)y=l.T當(dāng)x分別取2.5和3時(shí)所對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值.

因?yàn)榈讛?shù)所以指數(shù)函數(shù)y=L7x是增函數(shù).

因?yàn)?.5V3,所以IC4Vl.T.

(2)同(1)理，因?yàn)?V0.8V1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.8"是減函數(shù).

因?yàn)橐豢?gt;一小，所以0.8一寸〈0.8一丁.

⑶由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知

1.7°-3>1.7°=1,

0.93,<0.9°=1,

所以1.7°3>0.93'.

狀元隨筆對于(1)(2),要比較的兩個(gè)值可以看作一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，因此可以直接利用

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；對于(3),1.7叱和0.9"不能看作某一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值.可以利用

函數(shù)y=l.T和y=0.9'的單調(diào)性，以及“x=0時(shí)，y=1”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.

教材反思

1.由例題可以看出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系可以判斷相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系.

2.比較昂值大小的三種類型及處理方法

跟蹤訓(xùn)練1比較下列各題中兩個(gè)值的大小:

8與眇5；

⑴

⑵肌與加

(3)0.2m與0.3"：

5在其定義域R上單調(diào)遞減，又一1.8>—2.5,所以倒TR

解析：(1)因?yàn)?<7<匕所以函數(shù)y

圖象觀察可得(獷需戶.

(3)因?yàn)?V0.2V0.3V1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.2*與y=0.M在定義域R上均是減函數(shù)，且在區(qū)間(0,

+8)上函數(shù)y=0.2X的圖象在函數(shù)y=0.3'的圖象的下方，所以0.202Vo.3叱

又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.2、的性質(zhì)可得0.2"3Vo.2°”，所以O(shè)^-VO.3叱

底數(shù)相同，指數(shù)不同；

底數(shù)不同，指數(shù)相同；

底數(shù)不同，指數(shù)不同.

題型二指數(shù)函數(shù)的圖象問題

例2(1)如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象：

①丫二］②丫=廿

③丫』*④y=d>

則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

(2)當(dāng)a>0且aWl時(shí)，函數(shù)f(x)=a-3-2必過定點(diǎn)________.

【解析】(1)可先分為兩類，③?的底數(shù)一定大于1,①②的底數(shù)一定小于1，然后再由③④比較c,

d的大小，由①@比較a,b的大小.當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越

靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于。小于1時(shí)，圖象下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故選B.

(2)當(dāng)a>0且a#l時(shí)，總有￡(3)=不7—2=—1,所以函數(shù)f(x)=2"7—2必過定點(diǎn)(3,-1).

【答案】(DB(2)(3,-1)

1.先由a>l,0VaVl兩個(gè)角度來判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)圖象.

2.由y=a"過定點(diǎn)(0,1)來求f(x)過定點(diǎn).

方法歸納

指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)變化的規(guī)律可歸納為：

(1)無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)y=，(a>0,aW1)的圖象與直線x=1相交于點(diǎn)(1,

a),由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從F到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大.

(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象間的關(guān)系可概括記憶為：在第一象限內(nèi)，底數(shù)自下而上依次增大.

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知?jiǎng)t指數(shù)函數(shù)①y=m',②丫=/的圖象為()

(2)若a>l,-l<b<0,則函數(shù)y=a*+b的圖象一定在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

解析:(1)由于OVmVnVl,所以y=nf與y=n"都是減函數(shù),故排除A、B,作直線x=l與兩個(gè)曲線

相交，交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y=m,的圖象，故選C.

(2)Va>l,且一IVbVO,故具圖象如右圖所示.

答案：(DC(2)A

由底數(shù)的范圍判斷函數(shù)圖象.

題型三解簡單的指數(shù)不等式

例3(1)不等式3”-2>1的解為.

(2)若(a>0,且aWl),求x的取值范圍.

【解析】(l)3L2>l=3L2>3°nx-2>0=x>2,所以解為(2,+~).

(2)因?yàn)樗援?dāng)a>i時(shí)，y=a”為增函數(shù)，可得x+l>3x-5,所以xV3.

當(dāng)()<a<l時(shí)，y=a”為減函數(shù)，可得x+l<3x-5,所以x>3.

綜上，當(dāng)a>l時(shí)，x的取值范圍為(一8,3),

當(dāng)OVaVl時(shí)，x的取值范圍為(3,+8).

【答案】(1)(2,+8)[2)見解析

狀元隨筆首先確定指數(shù)不等式對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性確定X的取值范宣

方法歸納

解指數(shù)不等式應(yīng)注意的問題

(1)形如a”〉「的不等式，借助于函數(shù)y=k的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>l與0

<a<l兩種情況討論；

(2)形如a'>b的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)鼎的形式，再借助于函數(shù)y=a*的單調(diào)性

求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)解不等式"W3；

⑵己知(a'+2a+3)'>(a"+2a+3)L',求x的取值范圍.

小-—2X2-22-X2

解析：⑴=◎)=3，

2—%2

???原不等式等價(jià)于3/3)

???丫=丁是R上的增函數(shù)，???2—x2WL

/.x2^l>即x21或xW—1.

???原不等式的解集是{x|X21或XW-1}.

(2)Va24-2a+3=(a+l)24-2>l,

???y=(a2+2a+3),在R上是增函數(shù).

.*.X>1—X,解得X>J.

???x的取值范圍是Xx>1.

(1)化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

⑵判斷a?+2a+3的范圍.

題型四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4已知函數(shù)f(x)=a—Wy(x￡R).

乙I1

(1)用定義證明：不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)在(-8,+8)上為增函數(shù);

(2)若f(x)為奇函數(shù),求f(x)在區(qū)間［1,5］上的最小值.

【解析】(1)證明：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,任取Xi〈X2，

人1巧

112—9

則f(X))-f(x)=a-----------a+--------------------.

22x2+1

Xr\X\巧

24-1(1+2)(1+2)

因?yàn)閄|VX2,

國x2

所以2—2VO,

X\巧

乂(1+2)(1+2)>O.

所以f(X】)-f(X2)VO,UPf(xi)<f(x2).

所以不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)在(-8,+8)上為增函數(shù).

(2)因?yàn)閒(x)在xWR上為奇函數(shù),

所以f(O)=O.

即a-2。；］=。'解得a=1-

所以f(x)=1-7TT,

由(1)知,f(x)為增函數(shù),

所以f(x)在區(qū)間［1,5］上的最小值為f(l).

因?yàn)閒(l)=：―〈=：.

430

所以f(X)在區(qū)間［1,5］上的最小值為

(1)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步：

①取值；②作差變形；③定號；④結(jié)論.

(2)先由Nx)為奇函數(shù)求a,再由單調(diào)性求最小值.

方法歸納

(1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問題，可利用奇、偶函數(shù)的定義，根據(jù)

六一乂)=一￡6)或￡(—*)=￡?),結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)建立方程求參數(shù)；

(2)若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則可利用f(O)=O,建立方程求參數(shù).

跟蹤訓(xùn)練4已知定義在R上的函數(shù)￡6)=才+卷，a為常數(shù)，若f(x)為偶函數(shù),

(1)求a的值;

(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明:

(3)求函數(shù)f(x)的值域.

解析：(1)由f(x)為偶函數(shù)得對任意實(shí)數(shù)x都有2'+/=J+a-2'成立,即2V(1—a)=??(1—a),

所以1—a=0,

所以a=l.

(2)由(1)知f(x)=2x+J,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

證明如下：任取Xi,xe(0,+8)且X1VX2,

2、

工(11

國1221工2

則f(X!)—f(x2)=2H------------=(2-2)+再為=(2

為巧(22

227

為+為

x為1

2x巧

X,2-2\.r22一］

2-)+----------=—=(2-2)為+工2=(2-2)?

x]當(dāng)為+巧

2?22

2

因?yàn)閤i〈X2,且xi,X2W(0,+8),

xxX2尤1+巧

所以2V2,2>1,

所以f(xi)—f(x2)<0,即flx)<f(x2),

所以f(x)在(0,十8)上單調(diào)遞增.

⑶由⑵知f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,

又由f(x)為偶函數(shù)知函數(shù)fix)在(-8,0］上單調(diào)遞減,

所以f(x)2f(0)=2.

故函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+8).

(1)由偶函數(shù)求a.

(2)4步法證明f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性.

(3)利用單調(diào)性求最值，得值域.

仰“倘”勿"倘勿伽勿〃他傳仰伽侑，勿勿侑勿勿勿勿施?學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)便侑加"陽侑值"〃侑侑侑侑""侑""""小

一、選擇題

1.設(shè)f(x)=ep,xGR,那么￡&)是()

A.奇函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)

B.偶函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)

C.奇函數(shù)且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.偶函數(shù)且在(0,十8)上是減函數(shù)

解析：因?yàn)閒(一為=@i=?R=f(x),

所以f(x)為偶函數(shù).

又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(；)在(0,+8)上是減函數(shù),

故選D.

答案：D

2.函數(shù)y=a*(0<a〈D的圖像是()

解析：y=a以(0<a<l)是偶函數(shù)，先畫出x20時(shí)的圖像，再作關(guān)于y軸對稱的圖像，?.?03<1,故選

答案：C

3.若陟+'<(9-"則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.（1,+8）B.+°°

C.（一8,1）D.一8,?

解析：函數(shù)丫=e)在R上為減函數(shù)，所以2a+l>3—2a,所以a>J.

答案：B

4.設(shè)x>0,且IVb'Va11,則（）

A.0<b<a<lB.0<a<b<l

C.l<b<aD.IVaVb

解析：Vl<bx,Ab°<bx.Xx>0,Ab>l.

Vbx<a\又x>0,A^>1,

Z.a>b,即l<b<a.

答案：C

二、填空題

242

5.三個(gè)數(shù)停)7,07,Q)7中，最大的是________,最小的是

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=(m)在R上是減函數(shù)，

24

所以G)7冊,

又在y軸右側(cè)函數(shù)丫=停)的圖象始終在函數(shù)y=G)的圖象的下方，

3333,

A

所以報(bào)份.即職＞鏟育.

/i\“2—4.1H-3

6.函數(shù)y=GJ的單調(diào)增區(qū)間是一

解析：令t=x?-4x+3,則其對稱軸為x=2.

當(dāng)xW2時(shí)，t隨x增大而減小，

/i\%2—4,v+3

則y增大，即y=(jJ的單調(diào)增區(qū)間為(