高中數(shù)學(xué)空間向量模擬知識(shí)點(diǎn)與題型解法

高中數(shù)學(xué)空間向量模擬學(xué)問點(diǎn)與題型

解法

姓名：__________

指導(dǎo):__________

日期：

適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，采用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線、線面、面面的平行與

垂直，以及空間角（線線角、線面角、面面角）與距離的求解問題，是高考的考

查熱點(diǎn)，以解答題為主，多屬中檔題。在高考備考中細(xì)心預(yù)備，加強(qiáng)系統(tǒng)化、專

業(yè)化訓(xùn)練完全能夠成為同學(xué)的得分點(diǎn)！

必考知識(shí)點(diǎn)：

1.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)兩條異面直線a,b的方向向量為a,b,

其夾角為8則cos0=|cosq=J^j（其中0為異

面直線a,b所成的角）.

2.直線和平面所成的角的求法：如圖所

示，設(shè)直線/的方向向量為e,平面a的法向量

為n,直線I與平面a所成的角為°,兩向量e

\tre\

與n的夾角為6,則有sin（p=|cos4=而彳

3.求二面角的大小

(1)如圖①，48,CD是二面角。-/-夕的兩個(gè)

面內(nèi)與棱I垂直的直線，則二面角的大小0=

(2)如圖②③，/S”2分別是二面角的

兩個(gè)半平面a,夕的法向量，則二面角的大小e

={nj,Hj)(或兀一(nj,〃2〉)?

易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)：

1.求異面直線所成角時(shí)，易求出余弦值為

負(fù)值而盲目得出答案而忽視了夾角為(0,

2.求直線與平面所成角時(shí)，注意求出夾角

的余弦值的絕對(duì)值應(yīng)為線面角的正弦值.

3.利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，

二面角是銳角或鈍角由圖形決定.由圖形知二

面角是銳角時(shí)cose=務(wù)某：由圖形知二面角是

鈍角時(shí)，cos6=一，肅S?當(dāng)圖形不能確定時(shí)，要

根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從

而確定二面角與向量“I，的夾角是相等(一個(gè)

平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)平面

的法向量指向二面角的外部)，還是互補(bǔ)(兩個(gè)法

向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用

向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn).

類題通法：

1.求兩異面直線a,b的夾角仇須求出它

們的方向向量。，。的夾角，貝(Jcos6=|cos(a,

b)\.

2.求直線/與平面a所成的角必可先求

出平面a的法向量〃與直線/的方向向量。的夾

角.貝1Jsin6=|cos(n,a)|.

3.求二面角a-//的大小6，可先求出兩

個(gè)平面的法向量犯，”2所成的角，則6=(〃］，

〃2)或兀一〃2)?

題型一空間角的求法

考點(diǎn)一異面直線所成角

1.在直三棱柱-48。中，/BCA=

90。，點(diǎn)。，B分別是小小，4G的中點(diǎn)，BC

=CA=CCi,則8。與所成角的余弦值是

()

J301\j30V15

a10n21510

2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體NBCD

-J1B1C1D）中，M■和N分別是AiBi和BBt的中

點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值為

類題通法：

1.向量法求異面直線所成的角的方法有兩

種

（1）基向量法：利用線性運(yùn)算.（2）坐標(biāo)法：

利用坐標(biāo)運(yùn)算.

2.注意向量的夾角與異面直線所成角的區(qū)

別

當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直

角時(shí)，就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線的

方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直

線所成的角.

考點(diǎn)二直線與平面所成角

(2)求二面角D-AxC-E的正弦值.

在本列條號(hào)下，求平直.4XD與平豆4EC折成二百角的大

變式:

小.

［類題通法］:

利用法向量求二面角時(shí)應(yīng)注意

(1)對(duì)于某些平面的法向量要注意題中隱含

著，不用單獨(dú)求.

(2)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍

角，可結(jié)合圖形進(jìn)行，以防結(jié)論失誤.

題型二空間向址的應(yīng)用

考占八、、一空間向量法解決探索性問題

探索存在性叵題在立體幾何綜合考查中是

?？嫉拿}角度，也是考生感覺較難，失分較多

的問題，歸納起來立體幾何中常解深索性問

題有:

1探索性問題與空間角結(jié)合；

2探索性問題與垂直用結(jié)合；

3探索性其題與平行為結(jié)合.

問題1探索性問題與空間角相結(jié)合

1.如圖，三棱柱,43。-45G的側(cè)棱山：

JL底面48。，乙4c3=90。，石是棱CG上的動(dòng)

點(diǎn)，尸是的中點(diǎn)，AC=\,BC=2,H4i=4.

(1)當(dāng)石是棱。的中點(diǎn)時(shí)，求證：。尸〃平

面月上③；

(2)在棱CG上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A

-EB,-B的余弦值是需？若存在，求CE的

長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題2探索性問題與垂直相結(jié)合

2.如圖是多面體4BC-4SG和它的三視

圖.

(1)線段CG上是否存在一點(diǎn)瓦使5E，平

面4CG?若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，清

找出并證明；

(2)求平面G4C與平面AiCA夾角的余弦

值.

I-2----

正視圖

俯視圖

問題3探索性問題與平行相結(jié)合

3.如圖，四邊形458是邊長(zhǎng)為3的正

方形，DE_L平面ABCD,

AF//DE,DE=iAF,BE*大斗’與平面

N58所成的角為60。.(1)求證：NC_L平面

BDE;(2)求二面角尸-RE-D的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)

M■是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)河的位

置，使得aw〃平面BE尸，并證明你的結(jié)論.

類題通法：

解決立體幾何中探索性問題的基本方法

1.通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成

立),然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若能推導(dǎo)

出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，即

存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H

形，：.CF//EG.

平面NEB],EGU平面AEBi,：.CF

〃平面AEB..

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線

CA,CBfCC\為x,y,〔z軸正半

例，建立如圖所示的空‘Ql''間直角坐

標(biāo)系C-xyz,

則C(OrO?O),J(1,O?O),51(024).

設(shè)上(0,0,a)(0Wm(4),平面NEB的法向

量〃i=(x,v,z).則萄=(-124),AE=(—

1.0,m).

由巷_L“1,AE1tti,得

—x+2y+4z=0,

=

''令z2f

—x+加z=0.

則“1=(2加，m-4;2).連接BE,7C平

面C^CBBi,

.'.費(fèi)是平面EBB：的一個(gè)法向量，令n：=

C4,

?.?二面角A-EBl-B的余弦值為今用，

.2//x

??k=cos〈"],n2)

—〃1'〃2=2"'一斛得；?=

\ni\\n2\，4〃戶+("?—4，+4，

l(0W〃W4).

，在棱CC1上存在點(diǎn)已符合題意，此時(shí)CE

=1.

考點(diǎn)2;

(1)點(diǎn)尸為棱月'3的￡中點(diǎn).證明

如下：1

取/'C的中點(diǎn)G,,Ls”連接DG,

EF,GF,則由中位線定理得。石〃BC,DE=g

BC,XGF//BC,GF=WBC.所以DE〃GF,DE

=GF,從而四邊形DEFG是平行四邊形，E尸〃

DG,又ER平面N'CD,OGU平面N'CD,

故點(diǎn)F為棱/'B的中點(diǎn)時(shí)，EF〃斗曲

A'CD.

(2)在平面月'CD內(nèi)作A'Hl.CD于點(diǎn)H,

DELA'D

DEICD卜”DEJ_平面A'CD=>

A'DQCD=D

DEVA'H,

義.DECCD=D,故“屋A'H±

底面BCDE,即H就.是四棱維

/z*O...

A'-BCDE的高.由臺(tái)

A'"W4D知，點(diǎn)H和。重合時(shí)，四棱維N'

-BCDE的體積取最大值.分別以DC,DE,DA'

所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

貝UN'(OrO,a),B(a,2a,0),E(0,a,0),

A^B=(q,2a,—a),=(0,a,-a).設(shè)平

面A'BE的法向量為nt=(x,y,z),由

r?JUUM

ttlA'B=0,ax-\-2ay?-az=0,

得即

m'^E=0ay~az=0.

x+2y-z=0,

可