高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編平面向量(解析版)

備戰(zhàn)2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編（1981-2020）

專題08平面向量

1.12005高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】空間四點(diǎn)A,B,C,￡＞滿足|詬|=3,|加|=7,|=|=11,|71|=9,則

前?前的取值（）

A.只有一個B.有兩個C.有四個D.有無窮多個

【答案】A

22

【解析】因?yàn)槎?+而2=32+112=130=72+9?=BC+DA,

由麗+BC+CD+DA=6得荏+而=-（BC+DA）,

兩邊平方得說-CD=~BC-DA,故而?CD=-AD-BC,

于是衣-BD=（AB+BC）（BC+CD）=（AB+BC+CD）BC+AB-CD

=ADBC+ABCD=0.

而?麗只有一個值0,

故選A

2.12004高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部，且有+2礪+3而=0,則△ABC的面積與△△

OC的面積的比為（）

A.2B.-C.3D.-

23

【答案】c

【解析】解法一如圖，設(shè)。，E分別是AC,8c邊的中點(diǎn)，貝I]

OA+OC=2OD①

2（05+OC）=4OE②

由式①與②得a+2OB+3OC=2（OD+2OE）=0,

即話與畫共線，M|OD|=2\OE\,

所以四型=三，所以紅純￡=絲=3.

SRAOC2S^AOC2

故選：C.

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4

?E----------望

解法二瓦？+20B+30C=0,

則方+2(OA+麗)+3(OA+ZC)=2AB+6OA+3AC=0,

所以(2荏+604+3XC)xZc=0,

則|荏x前|=3|瓦？x尼所以SMBC=SAAEC-

引申如果題目條件是瓦？+礪+灰=0,熟悉物理的人很容易看出瓦I區(qū),方可以看成是3個兩兩成120。的同

等大小的力.如果我們把礪延長1倍，而延長2倍，不就照樣可以用這種物理方法解決本道題了嗎？

另外，我們可以將問題推廣至三維情形：點(diǎn)。在四面體ABC。內(nèi)，有m+2赤+4灰+5礪=6,

勿B(yǎng)CD:KjBCD=?

實(shí)際上，向量前面的系數(shù)無關(guān)緊要，可以取負(fù)數(shù)，無理數(shù)，并不妨礙此題的簡單本質(zhì).

解決此類問題，下面的結(jié)論是關(guān)鍵：

設(shè)C是A8上一點(diǎn)，則而=+(1-s)瓦5,其中s=^

3.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】在橢圓廠中,A為長軸的一個端點(diǎn)乃為短軸的一個端點(diǎn),片,尸2為兩個焦

點(diǎn).若麗?麗+麗?兩=0,則黑的值為___________.

\F1F2\

【答案】y

22

【解析】不妨設(shè)廠的方程為'+'=l(a>b>0),A(a,0),8(0,b),居(—c,0),F2(c,0),其中c=Va-b.

由條件知麗?而+銅?拓=(—c—a)(c-)+(-c2+b2)=a2+b2-2c2=0.

所以M￡L==E=在

'八|Fi即2C2c2'

4.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】在凸四邊形A8CD中，前=24點(diǎn)尸是四邊形ABCD所在平面上一

點(diǎn),滿足港+2020而+PC+2020而=6.設(shè)s,t分別為四邊形ABCD與APAB的面積，則匚

S

【答案】福

2021

【解析】不妨假設(shè)AD=2,BC=4.記M,N,X,Y分別是48,CD,8D,AC的中點(diǎn)，則M,X,Y,N順次共線并且MX^XY=YN=1.

由于同+配=2PY,PB+PD=2PX,

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故結(jié)合條件可知而+2020成=口故點(diǎn)尸在線段XV上且PX=焉.設(shè)A到MN的距離為由面積公式可知！=

2021S

SgAB_PM1=_PM__1+嬴_337

SABCD~MN-2h~2MN~2X3-2021,

5.【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】平面直角坐標(biāo)系中，。已是單位向量，向量五滿足小3=2,且同24

5忻+兒|對任意實(shí)數(shù)f成立，則|磯的取值范圍是.

【答案】[述,2何

【解析】不妨設(shè)3=(1,0).由于2-e=2,可設(shè)a=(2,s),

則對任意實(shí)數(shù)t,有4+s2=I磯245H+te\=5j(2+t)2+s2,

這等價于4+s2<5|s|,解得|s|e[l,4],即s2e[1,16].

于是⑷=V4T72G[V5,2V5].

6.【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】若平面向量己=(2，-1)與族nQm-LZm+i)垂直，其中根為實(shí)數(shù),

則靛勺模為.

【答案】Vio

【解析】令2m=t,則>0.條件等價于t-(t-1)+(―1)-2t=0,解得Z=3.

因此展的模為J32+(-1)2=V10.

7.【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)。為△A8C的外心，若而=而+2前，則sin/A4c的值為—

【答案】早

4

【解析】不失一般性，設(shè)△ABC的外接圓半徑R=2.由條件知，2前=而-荏=而①

故AC=-BO=1.

2

取AC的中點(diǎn)M,則OM_LAC,結(jié)合①知0M_L8。，且8與A位于直線的同側(cè).

于是COSNBOC=cos(90°+4MoC)=-sinzMOC=—翳=—：.

在△8OC中,由余弦定理得BC=VOS2+OC2-20B-OC-coszBOC=V10,

進(jìn)而在△ABC中，由正弦定理得sin/BAC=筮=苧

8.12015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在矩形A8CD中，A8=2,AD=1,邊DC上(包含點(diǎn)。，。的動點(diǎn)尸與C8

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延長線上(包含點(diǎn)8)的動點(diǎn)Q滿足|DP|=\BQ\,則向量P4與向量PQ的數(shù)量積P4-PQ的最小值為.

【答案】；

4

【解析】不妨設(shè)40,0),8(2,0),￡)(0,1).設(shè)P的坐標(biāo)為(f,1)(其中Of”2),

則由|而|=|的|得。的坐標(biāo)為(2,-t),故而=(一。一1),PQ=(2-t,-t-1),

因此而?PQ=(-t)-(2-t)+(-1)-(-t-1)=t2-t+1=(t-1)2+

當(dāng)”機(jī)寸(而?網(wǎng))min=*

9.【2013高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,8在拋物線戶4x上，滿足?麗=-

1

4,F是拋物線的焦點(diǎn)，貝JSAO”?SAOFB=.

【答案】2

【解析】點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,0).設(shè)4(石,丫1),8(如力)，則期=小刀2=等,

44

2

故-4=OA-OB=xrx2+y，2=白⑶小y+y，2，即白仇乃+s)=o,

lolo

2

故=-8,SMFA-SMFB=Q|OF|-lyil)-Q|OF|-|y2|)=i-\0F\-\yry2\=2.

10.【2012高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)「是函數(shù)"=%+；。>0)的圖像上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別向直線y=x

和y軸作垂線，垂足分別為A,B,則西?麗的值是.

【答案】-1

【解析】解法一設(shè)P+2)，則直線PA的方程為y-+竟)=一(芯-&)，即y=~x+2x0+域，

y=x

{y=r+2與+義得4卜。+2，%。+力

又B(0,%0+：),所以P4=，—(),PB—(―&,0),

故而-~PB=—■(-x)=-1.

x00

解法二如圖，設(shè)P(Xo，Xo+2)(%0>0),則點(diǎn)尸到直線x—y=o和y軸的距離分別為|P4|=阻等)=正，|

\XQ/V2XQ

PB\=XQ.

因?yàn)?。，A,P,8四點(diǎn)共圓(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以N4PB=兀一乙40B=芋，

4

故而-PB=\PA\-|PB|C0Sy=-1.

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n.【2007高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在△A8C和△AEF中，8是E尸的中點(diǎn)，AB=EF=1,BC=6,CA=V33,

若荏-AE+AC-AF=2,則前與前的夾角的余弦值等于.

【答案"

【解析】因?yàn)槎?荏+旅?通=2,所以而?（通+豆）+旅?（而+前）=2,

BPAB2+AB-BE+AC-AB+AC-BF=2,

因?yàn)閮?1,AC-AB=V33x1x=-1,BE=-BF,

2XV33X1

所以1+阱?（尼一荏）-1=2,

即市.前=2,

設(shè)前與的的夾角為0,則有|麗|瓦-cos0=2,

即3cos。=2,所以cos。=|.

12.【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在AABC中，已知而■前+2瓦？?前=3瓦?施，求sinC的最大值.

【答案】f

【解析】由數(shù)量積的定義及余弦定理知，AB-AC=cbcosA="十；

同理得，BA-BC=^^,CA-CB=^^.

222222

故已知條件化為〃+c-a+202+條一b）=3（a+b-c）,

即a?+2b2=3c2.

由余弦定理及基本不等式，得

?a2+b2-c2a2+b2-^a2+2b2>）C-be

a6>L/—>—=—,

COSC=---2-a-b--=------2-ab------=-3b-1--6a73b6a3

所以sinC=V1—cos2C<

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a:b:c=V3:V6:遍.因此szRC的最大值是冬

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偷霞圓遜的崛

1.已知向量0410B,且|。*=|0B|=24.若te[O,l],貝！]|弘8-4。|+底8。一（1一t）B川的最小值為（

）.

A.2V193B.26C.24V2D.24

【答案】B

【解析】

作正方形04CB,連接對角線4B,令。、E分別為對角線48、邊。B上一點(diǎn)，使得L4B-4。=。。，-（1一

t)BA=DE,EB=10,0D=DC.

故|t4B-A0\+|^B0-(1-t)BA\=\DE\+\DC\>\EC\=26.

2.設(shè)a、b為兩個相互垂直的單位向量，已知OP=a,OQ=b,OR=ra+kb,若△PQR為等邊三角形，則k、r的

取值為（）

Rj-1±V31±V3

A.k=r=^B.k=----,r=---

71±V3n7i±V3-1土

Cr.k=r=---D.k=---，

222

【答案】C

【解析】

注意至|J|PQ|=|QR|=\PR\

=>〃2+(k_1)2—J(r_1)2+k2=y/2

nr=k=等.選C.

3.已知點(diǎn)P、Q在AABC內(nèi)，且P4+2PB+3PC=2QA+3PB+5PC=0,則留等于().

1

A.B.1c.1D.1

30313233

【答案】A

【解析】

由題設(shè)知S^BCP：S&CAP：S^ABP=1：2：3,SABCQ：S^CAQ：SkABQ-2:3:5,

故S-BP=S^ABQ=所以PQ〃ZB.

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T7n_^t^ABCr-_S&ABC

八七BCP——4-QkBCQ——5~，

故股=-=工

^\AB\5630,

故答案為A

c=Va2—2+7b2—2

4.△48C的三邊長分別為4B=a,BC=b,CA=c.若｛a=加一3+7c2—3,則Z7iDD了G，D部GNU/i，G才/i前D中小于

b=Vc2—4+Va2—4

。的個數(shù)為（）.

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

如圖，以a為斜邊、魚為直角邊作Rt^ABE；以b為斜邊、BE為直角邊作RfABCE,

使EC在4E的延長線上.則C4=V^2+后二^=c.

同理，作Rt△CBF、Rt△CAF>Rt△ACDy白△ABD,使CF=V3>AD=2,有

AB=7b2—3+Vc2—3=a>BC=Vc2—4+Va2—4=b-

可見，圖所得到的△ABC就是已知三角形（全等），

這個三角形的三條高線為4。=2,BE=V2,CF=V3.

由三角形面積公式有AB-CF=BC-AD=CA-BE=2SAABC.

則=爭MBC，BC=F^=S“BC，CA=空膏=mS"ABC-

從而，AABC中的最大角為乙4BC.

由余弦定理得ccQWC=ABZ+BC2-CM=在〉0.

COS2ABBC12

可見，N4BC為銳角，△ABC為銳角三角形，得;a%os（兀-乙4BC）<0.

同理，7,—<0,—?一<（）.選A.

…工,BCCACAABq.

5.AABC^^ABBC=BCCA.貝lUABC是（）.

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

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【答案】D

【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為D.則

AB?BC=BC?CA

=>{AB-G4)?=0

=(AB+AC)^BC=0

02AD?=0

今AD工BC

=^AB=AC.

故答案為D

6.拋物線丫=-2%2的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)4過4(乍直線交拋物線于點(diǎn)M、N,點(diǎn)B在拋物線對稱軸上，且(BM+

一)1MN.則|。8|的取值范圍是().

A.(3,+oo)B.(4,+oo)C.(5,+00)D.(6,+8)

【答案】D

【解析】

注意到點(diǎn)4(0,2).過4作直線MN,其方程設(shè)為y=kx+2.代入拋物線方程得

x2+8kx+16=0.

而/>0,貝！JI>1,+%2=—8k.

設(shè)點(diǎn)B(0,b),MN中點(diǎn)為C(-4k,-4k2+2).

由(BM+等)1MN=BC1MN=b=-4fc2-2<-6.

則|。3|的取值范圍是(6,+8).

7.已知44BC的外接圓圓心為。，BC>CA>AB.^\().

A.0A-0B>0A-0C>0B-0C.

B.0A-0B>0B-0C>0A-0C.

C.OB-0C>0A-0C>0A-OB

D.0A-0C>0B-0C>0A-OB

【答案】A

【解析】

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設(shè)44BC的外接圓半徑為R.則Ul.OB=R2cos2C,而?麗=R2cos2AOA-OC=R2cos2b又由B。>CA>AB,

可知sinA>sinB>sinC>0.故1-2sin2A<1—2sin2B<1—2sin2C,即cos24<cos2B<cos2c.所以畫.0B>

OA-OC>OB-OC.

8.已知空間四邊形=a,BC=b,C。=c,DA=d.則4c?BD=().

A.|(a2+b2+c2+d2)B.—|(a2+b2+c2+d2)

C.j(a2+c2—b2-d2)D.|(b2+d2-a2—c2)

【答案】D

【解析】

AC-BD={AB+BC)-(5C+CD)=BC2+AB-BC+BC-CD+CD-AB

,(AB+BC+CD)2-AB2-BC2-CD2,(-DA)2-AB2-BC2-CD2

=BC2+-------------------------------------------------=BC2+-------------------------------------

22222222

=-B-C-+-D-A----A-B----C-D=-b--+-d---a--c-.

22

故答案為D

9.設(shè)P為2MBe所在平面內(nèi)一動點(diǎn).則使得融48+28"。+「。"4取得最小值的點(diǎn)「是448。的().

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】

注意到

PA-PB+PB-PC+PC-PA=PA-(PA+AB>)+(PA+AB')-(PA+AC)+(PA+AC)-PA=3PA2+2(AB+

前)?成+荏?尼=3(與+萼隆-遜誓+荏?前①

當(dāng)成=西!，即P為4aBe的重心時，式①取得最小值—還近+四.而.

33

故答案為C

10.設(shè)橢圓盤+\=1(。>8>0)的一個焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)「在丫軸上，直線P尸交橢圓于點(diǎn)M、N、PM=^MF,PN=

%NF,則實(shí)數(shù)%+%=()

A.—考B.

a2a2

C._健D.一與

b2b2

【答案】c

【解析】

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不妨設(shè)尸(c,0),記P(O,p)、M(x,y),TSLPM=AMF.

即(久,y_p)=4(c-x,-y),解得工=%，y=3，

1+71?LT/L

代入橢圓方程整理得6”2+2a2b24+a2b2-a2p2=0,

故+A2=—翁?

故答案為C

11.已知點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且滿足4P=：AB+：4C,設(shè)APBC、△PC4、△P4B的面積依次為S1、S2,S3,則

S1：$2：S3=---------

【答案】5:4:3

【解析】

因?yàn)榱=^AB+^AC=^(PB-PA)+^(PC-PA),

所以5P4+4PB+3PC=0,所以Si：Sz：S3=5:4:3.

12.設(shè)H是AABC的垂心，且3H4+4HB+5HC=0,則cos乙4HB=.

【答案】一造

6

【解析】

題設(shè)得.=噌=喈=是再由taM+tanB+tan。=tan&arAanC，得"專，tan。=。故。"四。=-cosC

=—漁

-6,

故答案為-漁

6

13.AABC的三邊分別為a、b、c,點(diǎn)。為AABC的外心，已知f)2—2b+c2=0,那么就.前的取值范圍是一

【答案】(一?2)

【解析】

延長A。交△A8C的外接圓于D,得到

_>,]__]??

BC-AO=AO-AC-Ad-AB=-AD-AC--AD-AB

=*—2)=(b-1)2-J.

因?yàn)閏2=—Z)2+2b>0,所以。d(0,2),故前?前W(一；,2).

第10頁共15頁

故答案為：(-Q).

14.設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為1,則(荏+沆).(而+而)=

【答案】一3

【解析】

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)

系設(shè)C(l,0),則8(怖,泉,4(—泉，D(|,—y),E(―|,-y).

于是說+反=(1,0)+(;凈=(|,分

AD+~BE=(1,-V3)+(-1,-V3)=(0,-2圾，

于是頌+反)?頌+兩=-(0,-273)=-3.

故答案為：-3.

15.在平面上，ABrLAB2,\OBr\=\OB2\=1,AP=AB1+AB2,若|OP|<5則|O*的取值范圍是

【答案】弓,曲

【解析】

因?yàn)楦?福，衣=麗+福

則4當(dāng)尸82為矩形，以AB】所在直線為久軸，以4殳為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系?如下圖所示：

則4(0,0),當(dāng)(in,0),52(0,n),P(zn,n)

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因?yàn)镮西I=I西I=1

所以-m)2+y2=1專形得(x-m)2=1-y2

2

所以｛/+(y-n)=l芟形可侍｛(y-n)2=1-/

因?yàn)閨四<I，即(％-m)2+(y-n)2<1

由以上兩式可得1—/+1—必<i

即/+y2>L

因?yàn)?x-m)2>0,(y-n)2>。，即1-y2>0,1-x2>0

所以V<l,%2<1

則/+y2<2

綜上可知：</+必<2

因?yàn)閨04|=+y2

所以?<I。*<V2,BP|04|e(y,V2]

故答案為：(7,迎]

16.已知為△ABC的內(nèi)心，且5位=4(萬+的.記&廠分別為△ABC的外接圓、內(nèi)切圓半徑，若r=15,則R=_

【答案】32

【解析】

解法一：如圖，取8c的中點(diǎn)

依題意，有5位=一4(歷+7?)=-8厲.

所以A、/、D三點(diǎn)共線，AB=AC.由/?=/￡>=15,知/4=24.

作IELAB于E,則/E=/￡>=15,

sinZ-BAD=——cosZ-BAD=—,tanZ-BAD=-|=.

2488V39

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所以BC=2BD=2AD-tan^BAD=2x39x焉=10V39.

又sin/BAC=sin2zB4D=2x?x等=等.

所以2R=—=1°^X篇=64,R=32.

解法二：依題意，W5M+47B+47C=0.

由三角形內(nèi)心的向量表示：若a、b、c分別為AABC的內(nèi)角A、8、C的對邊，/為AABC的內(nèi)心，則aTl+b厲+c

7c=o.

可得，a：b：c=5：4：4,設(shè)。=10%,貝0=c=8左

2

作AO_LBC于。，則4。=聞k,SAABC=^xBCxAD=5V39fc.

1

又F15,SAABC=^AB+BC+CA)r=13/cr,

因此，fc=1g=V39.

又sinB=絲=叵，所以2R=號=黑=8V39x畏=64,R=32.

AB8smBsm5V39

故答案為：32.

17.已知向量日,我西前足|磯：說:同=l：k：3(k6Z+),且另一2=2值一9)，若a為2注的夾角,則cosa=

【答案】一〈

【解析】

因?yàn)?一立=20—辦所以另=扣+|己所以那="2+：產(chǎn)+.五,己

因?yàn)閨叫=\b\:|c|=l:fc:3.所以1=1+4+^cos