高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘知識點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘知識點(diǎn)總結(jié)

【易錯(cuò)點(diǎn)1】無視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)4={%|無2—8x+15=o},5={x|ax—l=0},假設(shè)4nB=E,求實(shí)數(shù)a組成的集合.

綜上滿足條件的a組成的集合為［0,；,(

【練1】集合A={x|%2+4%=o}、B=^x\x2+2(?+l)x+fl2-l=0j,假設(shè)BqA,那

么實(shí)數(shù)a的取值范圍是。答案：。=1或?！匆?。

【易錯(cuò)點(diǎn)2］求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易無視定義域優(yōu)先的原那么。

2

例2、(x+2)+=1，求x~+y~的取值范圍.

2g

答案：x2+y2的取值范圍是［1,—y

22

【練2】假設(shè)動點(diǎn)(叼)在曲線?+￡=1僅>0)上變化，那么必+2》的最大值為。

〃h2

一+4(0<6<4)幺+4(0<6<2)b2

(A]4',〔B〕44'7(c)一+4(D)2b

4

2。僅24)[2b(b>2)

答案：A

|【易錯(cuò)點(diǎn)3】判斷函數(shù)的奇偶性無視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。I

lg(l-J)

例5、判斷函數(shù)/Xx)=的奇偶性。

|x-2|-2

解析：由函數(shù)的定義域?yàn)?一i,o)u(o』)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域下了(%)=司一+1易證

/(-X)=即函數(shù)為奇函數(shù)。

【練5】判斷以下函數(shù)的奇偶性：

①〃上甲7+正力小)=(—)腎如3=寒|黑|

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)4】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的標(biāo)準(zhǔn)性及樹立定義域優(yōu)先的原那么。

b

例7、試判斷函數(shù)/(x)=ax+-(a>0,b>0)的單調(diào)性并給出證明。

解析：由于=—/(%)即函數(shù)了(力為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)”光)在(0,包)上的單調(diào)

性即可。設(shè)玉A/〉。，/(再)一/(%2)=(玉一天2)竺電一~由于玉_%2>0故當(dāng)

時(shí)/(%)—/(9)>。,此時(shí)函數(shù)/(%)在上增函數(shù)，同理可證

/

函數(shù)/(X)在0,上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在

為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在上分別為增函數(shù)，在

]—Y

【練7】⑴(濰坊市統(tǒng)考題)f(x)=ax+——(?>0)⑴用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)了(%)在

CLX

(0,+8)上的單調(diào)性。(2)設(shè)在0<尤<1的最小值為g(a),求y=g(a)的解析式。

答案：(1)函數(shù)在[，,+8)為增函數(shù)在10,，)為減函數(shù)。(2)y=g(a)=<2--(tz>l)

a(Q<a<\\

【易錯(cuò)點(diǎn)5]在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤

結(jié)論。

【練8】函數(shù)y=兀2++c(%e(0,-+w))是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()

A、b>0B、b<0c>b>0D、b<0

答案：A

【易錯(cuò)點(diǎn)6]應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，無視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時(shí)的變量

值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、：a>0,b>0,a+b=l,求(a+—)2+(b+—產(chǎn)的最小值。

ab

錯(cuò)解:(a+—)2+(b+—)2=a2+b2+'++4>2ab+—+4>4.ab?—+4=8/.(a+—)2+(b+—)2的最小

abababvctbab

值是8

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了根本不等式a2+b2>2ab,第一次等號成立的條件是a=b=-,

2

第二次等號成立的條件ab=」-,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

ab

上1111112

解析：原式=a2+b2+—+—+4=(a2+b2)+(-+—)+4=[(a+b)2-2ab]+[(—+—)2-----]+4

abababab

1a+b1,1111一

=(l-2ab)(l+——7)+4ftab<(-----)2=-得：l-2ab>l--=-,5.>16,1+—^^7二原式

a2b22422a2b2a-b2

12511125

>—xl7+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=—時(shí)，等號成立).\(a+—A+(b+—>的最小值是。

222ab2

【知識歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三

相等"，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。

【易錯(cuò)點(diǎn)7］在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)展分類討論的意識和易忽略對數(shù)函

數(shù)的真數(shù)的限制條件。

【練10】設(shè)。>0,且。片1試求函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的的單調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)0<a<l,函數(shù)在1,|上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)a>l函數(shù)在1,|上單調(diào)

遞增在上單調(diào)遞減。

【易錯(cuò)點(diǎn)8】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.

【練11】不等式五〉ax+3的解集是(4,b),那么a=,b=。

2

答案："力=36(提示令換元?=。原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為(2,6))

【易錯(cuò)點(diǎn)9】S“求4時(shí)，易忽略n=l的情況.

例12、數(shù)列｛?！埃皀項(xiàng)和S"且4=1,an+l=；S"。⑴求生，％，%的值及數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式。

l(n=1)

答案：該數(shù)列從第二項(xiàng)開場為等比數(shù)列故為=\1/4丫12。

__________________________________________Ui________________________________

I(n=1)

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于數(shù)列%與s“之間有如下關(guān)系：4=〈,、利用兩者之間的關(guān)系

可以L求4。但注意只有在當(dāng)%適合=s”一s“T(力之2)時(shí)兩者才可以合并否那么要寫分段函數(shù)的

形式。

【練12】數(shù)列｛?！埃凉M足ai=1,a”=tn+2&+3。3+,,,+("-2),那么數(shù)列｛?！保耐?xiàng)為。

答案：(將條件右端視為數(shù)列｛陽〃｝

的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可)an=<92)

【易錯(cuò)點(diǎn)10】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子

集(從1開場)

【練13】設(shè)｛a“｝是等差數(shù)列，S"是前n項(xiàng)和，且55<$6,1=57〉$，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是

()A、d<0B>〃7=°C、%*D、$6和§7均為S〃的最大值。

答案：C(提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答)

【易錯(cuò)點(diǎn)11]解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。

3

例14、關(guān)于的方程—3x+a=0和—3x+〃=0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為一的等差數(shù)列，求a+Z?

4

的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如

何排列的。

3579273531

解析：根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：一,----,—故。=—,b=—從而a+b=—。

44,4416168

【易錯(cuò)點(diǎn)12]用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比q=1的情況

【練15](2005高考全國卷一第一問)設(shè)等比數(shù)列｛。“｝的公比為q,前n項(xiàng)和S“>0(1)求q的取值

范圍。

答案:(-i,o)U(o,+°°)

【易錯(cuò)點(diǎn)13】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會采用錯(cuò)項(xiàng)相減法

或解答結(jié)果不到位。

【練16]""=a"++a"-?"+...+a5—+方”("eN+,a>08>0),當(dāng)。=〃時(shí),求數(shù)列｛a“｝

的前n項(xiàng)和S,

(n+\\an+2-(n+2)a,,+1-a2+2an(n+

答案：a#]時(shí)s“=-----------------1---------------當(dāng)a=]時(shí)=——

(I-/2

【易錯(cuò)點(diǎn)14]不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的

規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

111]

例17、求S”---1---------H---------------F...+

11+21+2+31+2+3+…+九

答案：篇

「22+142+162+1(2n)2+1

【練17](2005濟(jì)南統(tǒng)考)求和Sn=———+——+———+...+-————

"22-142-162-1(2n)2-1

答案：s?=i4-l+i+l-l+i4-l+...+1+^--一^一+2

1335572/1-12n+l2n+l

【易錯(cuò)點(diǎn)15】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。

【練18](1)(2000全國)數(shù)列｛%｝,其中C“=2"+3",且數(shù)列｛(?“+[—℃"｝為等比數(shù)列.求常數(shù)p

答案：p=2或p=3(提示可令n=l,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對任意自然數(shù)n

都成立)

【易錯(cuò)點(diǎn)16】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)(或交點(diǎn)的個(gè)數(shù))時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0.尤其

是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.

例19、雙曲線X?—丁2=4,直線y=k(x—1),討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

綜上知當(dāng)左=±1或左=±翌3時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)一逑〈左<28且左片±1。時(shí)

333

,AOM

直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k>,或左<一-—時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)o

33

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對應(yīng)

于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法

的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但

只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分

條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過此題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

【練19](1)雙曲線C：,過點(diǎn)P(1,1)作直線1,使1與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么滿足上述條件

2y~

的直線1共有__條。答案：4條(可知ki存在時(shí)，令1:y-l=k(x-l)代入工一一=1中整理有

4

(4-k2)x2+2k(k-l)x-

,5

(l.k2)-4=0,/.當(dāng)4-H=0即k=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1#±2時(shí)，由A=0有左=一，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)ki不存

2

在時(shí)，x=l也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn).?.綜上，共有4條滿足條件的直線)

【易錯(cuò)點(diǎn)17】易遺忘關(guān)于sin。和cos夕齊次式的處理方法。

例20、tan。=后，求(1)+；仁)sin?e-sind.cose+2cos?夕的值.

cosO-sin。

【易錯(cuò)點(diǎn)18】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用意識不強(qiáng)，另一方面易將

角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯(cuò)誤。

例21、以下命題正確的選項(xiàng)是()

A、a,4都是第二象限角，假設(shè)sin。>sin分，那么tantz>tan/?B、a,4都是第三象限角，

假設(shè)cosa>cos0,那么sin。>sin/3c>a、/?都是第四象限角，假設(shè)sina>sin分，那么

tantz>tan/?D>a>p都是第一象限角，假設(shè)cos(Z>cos/?,那么sina>sin尸。

解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角a的正切線的數(shù)量比角夕的正切線的數(shù)量要小即tan。<tan/7B、

同理可知sina<sin尸c、知滿足條件的角a的正切線的數(shù)量比角夕的正切線的數(shù)量要大即

tantz>tan?正確。D、同理可知應(yīng)為sina<sin尸。

【易錯(cuò)點(diǎn)19】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將。和。求錯(cuò)。

例23.要得到函數(shù)y=sin12x—。）的圖象，只需將函數(shù)y=sin1gx的圖象（）

2

n

A、先將每個(gè)x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向右平移一個(gè)單位。

3

B、先將每個(gè)x值縮小到原來的1倍，y值不變，再向左平移2個(gè)單位。

43

兀

C、先把每個(gè)x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個(gè)一單位。

6

D、先把每個(gè)x值縮小到原來的1倍，y值不變，再向右平移七個(gè)單位。

46

|【易錯(cuò)點(diǎn)20】沒有挖掘題目中確實(shí)隱含條件，無視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。I

7

例24、ae（0,^）,sina+cosa=方求10110的值。

7120

解析：據(jù)sino+coso=—（1）有2sinacosa=----<0,又由于戊￡（0,?）,故有

1316917

sina>0,cosa<0f從而sina—cosa>0即sina-cosa=Jl-2sinacosa二一(2)

13

12512

聯(lián)立(1)(2)可得sin。二一,coscif=一，可得tana=一。

13135

【易錯(cuò)點(diǎn)21］根據(jù)條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的意識或確定角的三角函數(shù)名

稱不適當(dāng)造成錯(cuò)解。

J5.J10

例25、假設(shè)sinCL——^―,sin/3—，且a、0均為銳角，求。+/的值。

解析：由sina=g,sin〃=［#且a、。均為銳角知解析：由sina=去,sin0且a、

￡均為銳角知孚cos”嚕，那么cos（a+￡）=竽x嚕一乎x?？?/p>

由a、月均為銳角即a+夕￡（0,萬）故a+,=%

【易錯(cuò)點(diǎn)22］對正弦型函數(shù)y=Asin（69%+及余弦型函數(shù)y=Acos（^x+的性質(zhì)：如圖象、

對稱軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。

71

例26、如果函數(shù)丁=sin2x+acos2K的圖象關(guān)于直線》=一可對稱，那么a等于（）

A.5/2B.-V2C.lD.-1

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】函數(shù)丁=Asin（oX+。）的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而

71

對稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)九二一一時(shí)，y=0,導(dǎo)致解答出錯(cuò)。

8

解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為y=Jt?+1sin（2x+°）,故國的最大值為依題意,

7C

直線X=——是函數(shù)的對稱軸，那么它通過函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)即

8

a2+1,解得。=-1.應(yīng)選D

JT/兀\

（法二）假設(shè)函數(shù)關(guān)于直線x=-w是函數(shù)的對稱那么必有/（o）=/I--I.代入即得a=-L

【練26］（1）（2003年高考江蘇卷18）函數(shù)/（九）=5皿（@;+9）（/>0,0<94萬）上1^上的偶函數(shù)，其

圖象關(guān)于點(diǎn)M（弓,0）對稱，且在區(qū)間［0,g］上是單調(diào)函數(shù)，求。和8的值.

712

答案：（b——,@=—或2。

23

（2）（2005全國卷一第17題第一問）設(shè)函數(shù)的〃％）=sin（2x+0）（—;r,

jr34

y=/（x）圖象的一條對稱軸是直線x=一，求。答案：。=——

84

【易錯(cuò)點(diǎn)23】利用正弦定理解三角形時(shí)，假設(shè)三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時(shí)，易無視三角形解

的個(gè)數(shù)。

例27、在AABC中，8=30°,48=2后4。=2。求入43。的面積

解析：故相應(yīng)的三角形面積為s=Lx2j3x2xsin30°=或工X2J3X2=26.

22

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)

在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。（2）兩

邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間（0,萬）內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形

解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。如：在A4BC中，a,b和

A解的情況如下：

（1）當(dāng)A為銳角

（2）假設(shè)A為直角或鈍角

【練27】如果滿足一解

ZABC=60°,AC=2,3C=左的三角形恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是（）A、873B,

0〈左W12c、k>12j）,0〈左<12或左=8石

答案：D

【易錯(cuò)點(diǎn)24】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不重不漏的目的。

例29、解關(guān)于X的不等式“（D>1（存1）.

x—2

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】將不等式化為關(guān)于X的一元二次不等式后，無視對二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)的討論，導(dǎo)致錯(cuò)解。

n—2a—2

解：綜上所述：當(dāng)。>1時(shí)解集為(一8,--------)U(2,+8)；當(dāng)0<a<l時(shí)，解集為(2,--------)；當(dāng)。=0

d—1a—1

Z7—2

時(shí)，解集為0;當(dāng)〃V0時(shí)，解集為(——，2).

a—1

【易錯(cuò)點(diǎn)25]求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位

【練30]函數(shù)/(x)=如_1產(chǎn)+2(q_Jx+2的定義域和值域分別為R試分別確定滿足條件

的a的取值范圍。答案：(1)或。三一3(2)—3<a<l或。=-1

【易錯(cuò)點(diǎn)26】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。

例33、記/(%)=以2—次+C,假設(shè)不等式y(tǒng)(x)>0的解集為(1,3),試解關(guān)于t的不等式

/(p|+8)</(2+?)o

解析：不等式的解為：―3<『<3。

【練33]⑴設(shè)函數(shù)八%)=2的舊『求使〃龍)N的2后的X取值范圍。

3

答案：X取值范圍是[—,+8)

4

【易錯(cuò)點(diǎn)27】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。

例35、以下命題：

—?―?―?—?—?—*■—?——?—?—*—?—?—?———?—?—

①(a)?-(a)2wa/②(。?偽)-c=(a?c)?■③\a-b\=\a\-\b|④假設(shè)a//b,b//c,那么a//c

⑤[〃九那么存在唯一實(shí)數(shù)3使3=⑥假設(shè)H=B.C/O,那么4=3⑦設(shè)是

平面內(nèi)兩向量，那么對于平面內(nèi)任何一向量。，都存在唯—組實(shí)數(shù)x、y,使。=%G+ye2成立。⑧

假設(shè)|4+右|=|4-歸哪么口石=0。?a-b=0,那么a=6或3=6真命題個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.3個(gè)以上

解析：①正確。②錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤。④錯(cuò)誤。⑤錯(cuò)誤。⑥錯(cuò)誤。⑦錯(cuò)誤。⑧正確。⑨錯(cuò)誤。答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)28】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算的幾何意義解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的意識不夠，無視隱含

條件。

例36、四邊形ABCD中，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a?b=b十=「d=

d-a,試問四邊形ABCD是什么圖形？

解：四邊形ABCD是矩形

【練36](1)(2003高考江蘇)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足

而=晶+L+，也.％0[0,+oo),那么P的軌跡一定通過AABC的()

\AB\|AC|

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

(2)(2005全國卷文科)點(diǎn)o是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOB=OBOC^OCOA,

那么點(diǎn)o是AABC的()

(A)三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)(B)三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

(C)三條中線的交點(diǎn)(D)三條高的交點(diǎn)

答案：（1）B（2）D

【易錯(cuò)點(diǎn)291無視向量積定義中對兩向量夾角的定義。

例37、AABC中,。=5,人=8,。=7,求3。?。1

答案：故據(jù)數(shù)量積的定義知BC*G4=5x8xcosl20°=-20.

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高中階段涉及角的概念不少，在學(xué)習(xí)過程中要明確它們的概念及取值范圍，如直線的傾

斜角的取值范圍是［0°,180°）,兩直線的夾角的范圍是［0°,90°］,兩向量的夾角的范圍是［0°,180°］,

異面直線所成的角的范圍是（0°,90°］,直線和平面所成的角的范圍是二面角的取值范圍是

（0°,180°）o

【易錯(cuò)點(diǎn)30］立體圖形的截面問題。

例56、正方體ABCD-A4G2,E、F分別是A4］、CC1的中點(diǎn)，p是CC］上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），

過E、D、P作正方體的截面，假設(shè)截面為四邊形，那么P的軌跡是（）

A、線段C/B、線段CEc、線段CE和一點(diǎn)C］D、線段C/和一點(diǎn)C。

答案：選c

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考察實(shí)質(zhì)上對學(xué)生空間想象能力及對

平面根本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考察。考生往往對這一類型的題感到吃力，實(shí)質(zhì)上高中

階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的根本定理：一個(gè)就是一條直線上有兩點(diǎn)在一平面

內(nèi)那么這條直線上所在的點(diǎn)都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點(diǎn)的直線（即交線）（注

意該定理地應(yīng)用如證明諸線共點(diǎn)的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點(diǎn)在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此

點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)而第三條直線是兩平的交線那么依據(jù)定理知交點(diǎn)在第三條直線；諸點(diǎn)共線：即證明此

諸點(diǎn)都是某兩平面的共公點(diǎn)即這此點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上）據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面

內(nèi)通過空間想象分別取兩組直線分別相交，那么其交點(diǎn)必為兩平面的公共點(diǎn)，并且兩交點(diǎn)的連線即為兩平

的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根

據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用。

【練56］（1）（2005高考全國卷二）正方體ABCD—AlBlCiDi中，P、Q、R、分別是AB、AD、BiCi

的中點(diǎn)。那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是（）

（A）三角形（B）四邊形（C）五邊形（D）六邊形答案：D

⑵在正三棱柱ABC-A與G中，P、Q、R分別是BC、CG、AC的中點(diǎn)，作出過三點(diǎn)p、Q、

R截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形。

【易錯(cuò)點(diǎn)31］判斷過空間一點(diǎn)與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)

例57、（93全國考試）如果異面直線a、b所在的角為50°,P為空間一定點(diǎn)，那么過點(diǎn)P與a、b所成的角

都是30°的直線有幾條？

A、一條B二條C三條D四條

解析：如圖，過點(diǎn)P分別作a、b的平行線。'、b',那么。'、所成的

C

角也為50°,即過點(diǎn)P與。'、。'成相等的角的直線必與異面直線a、b成相等的角，由于過點(diǎn)P的直線L

與。'、〃成相等的角故這樣的直線L在。'、。'確定的平面的射影在其角平分線上，那么此時(shí)必有

cos30

cosZAPB=cosZAPOxcosZ.OPB當(dāng)cosZAPO=--------時(shí)，有

cos25

cos30

cosZAPO=--------re（0,1）,此時(shí)這樣的直線存在且有兩條當(dāng)/BPC=130°時(shí)，有

cos25

cos30

cosZAPO=-----r>1這樣的直線不存在。應(yīng)選B

cos65

【練57】如果異面直線a、b所在的角為100°,P為空間一定點(diǎn)，那么過點(diǎn)P與a、b所成的角都是50°的

直線有幾條？

A、一條B二條C三條D四條答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)32】對于兩個(gè)平面平行的判定定理易把條件誤記為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)

的兩條相交直線分別平行”，容易導(dǎo)致證明過程跨步太大。

例59、如圖，在正方體ABC?！狝gCQ1中，M、N、P分別是GC,5]G，CQ1的中點(diǎn)，

求證：平面MNP//平面A

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題容易證得MN〃A|D,MP〃BD,而直接由此得出

MNP〃面A3。

解析：連結(jié)BQ,2c分別是￡>C，4cl的中點(diǎn)，,PNHB\D\,B[DJIBD,:.PN/BD

又PNa面ABD,;.PN〃平面A3。同理：〃平面A8D,又PNC\MN=N

平面〃平面4ao"

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】個(gè)平面平行問題的判定或證明是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行的問

題，即“線面平行那么面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個(gè)平面,

定理中的條件缺一不可。

【練59】正方體A3CD—中，（1）M,N分別是棱4與，4。的

中點(diǎn)，E、F分別是棱B]G，G2的中點(diǎn)，求證；①E、F、B、D共面；

②平面AMN//平面EFDB③平面〃平面QBD

證明：⑴①,：EFHBDEFHBD,那么E、F、B、D共面。

②易證：MN//EF,設(shè)DM2V=P，4GCEF=Q,AC口3。=O

③連結(jié)AC,ABC?！獮檎襟w，,AC_LZ）5_L平面ABC。,，AC_LBD,同理

可證AC±5C］于是得AC±平面GBD,同理可證AC1平面A50.?.面AB12//面GBD

【易錯(cuò)點(diǎn)33】求異面直線所成的角，假設(shè)所成角為90°,容易無視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重

要方法。

例60、（2001全國9）在三棱柱AB