2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第72講、垂直弦問題（學(xué)生版）

第72講垂直弦問題

知識梳理

x2y2

1、過橢圓1的右焦點F(c,0)作兩條互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD

a2b2

2

的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點(ac,0)．

a2b2

x2y2

2、過橢圓1的長軸上任意一點S(s,0)(asa)作兩條互相垂直的弦AB，

a2b2

2

CD．若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點(as,0)．

a2b2

x2y2

3、過橢圓1的短軸上任意一點T(0,t)(ttt)作兩條互相垂直的弦AB，

a2b2

2

CD．若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點(0,bt)．

a2b2

x2y2s2t2

4、過橢圓1內(nèi)的任意一點Q(s,t)(1)作兩條互相垂直的弦AB，

a2b2a2b2

22

CD．若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點(as,bt)．

a2b2a2b2

x2y2

5、以(x,y)為直角定點的橢圓1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點

00a2b2

a2b2b2a2

(x,y)

a2b20b2a20

6、以上頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在y軸上．

7、以右頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在x軸上．

(x,y)y22px(x2p

8、以00為直角定點的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點0，

y0)

x2y2

9、以(x,y)為直角定點的雙曲線1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點

00a2b2

2222

(abx,aby)

a2b20b2a20

必考題型全歸納

題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點

例1．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點A(1,0),B(1,0)，動點P滿

足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在線段AB上）

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過橢圓的上頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點P、Q，試問直線PQ是否

經(jīng)過定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點分別為F13,0，F(xiàn)23,0，短

軸長為2.

(1)求橢圓C的標準方程及離心率；

(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點，過M點作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，

B兩點，直線AB是否過定點？并求出DAB面積的最大值.

例3．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知P為圓M:x2y24上一動點，過點P作

3

x軸的垂線段PD,D為垂足，若點Q滿足DQDP.

2

(1)求點Q的軌跡方程；

(2)設(shè)點Q的軌跡為曲線C，過點N1,0作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別

為E?F，過點N作直線EF的垂線，垂足為點H，是否存在定點G，使得GH為定值？若

存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

x2

變式1．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓:y21，過

2

右焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點分別為M，N．

(1)寫出橢圓右焦點F的坐標及該橢圓的離心率；

(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標；

(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面積的最大值．

變式2．（2024·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)F1,F2分別

x2y2

是橢圓C：＋＝1（ab0）的左?右焦點，M是C上一點，MF2與x軸垂直.直線MF1與C

a2b2

2

的另一個交點為N，且直線MN的斜率為.

4

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設(shè)D0,1是橢圓C的上頂點，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A，B兩點，

證明直線AB過定點，并求出定點坐標.

x2y2

變式3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)F1,F2分別是圓C:1(ab0)的左?右焦點，

a2b2

2

M是C上一點，MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N，且直線MN的斜率為

4

(1)求橢圓C的離心率.

(2)設(shè)D(0,1)是橢圓C的上頂點，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點，

過點D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點R，使得|RQ|的長度為定

值？并證明你的結(jié)論.

x2y2

變式4．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:12b0，直線yx被橢

4b2

410

圓C截得的線段長為.

5

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過橢圓C的右頂點作互相垂直的兩條直線l1,l2.分別交橢圓C于M,N兩點（點M,N不同

于橢圓C的右頂點），證明：直線MN過定點.

題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點

x2y2

例4．（2024·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：1a0,b0經(jīng)過點P2,1，且雙曲

a2b2

6

線C的右頂點到一條漸近線的距離為．

3

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點（A，B兩點均與

點P不重合），設(shè)直線AB：ykxmk0，試求k和m之間滿足的關(guān)系式．

例5．（2024·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標系xOy中，動點Р與定點F(2，0)

323

的距離和它到定直線l：x的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.

23

(1)求曲線E的方程；

(2)設(shè)過點A(3，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M，N(異于點A)，求證：直線

MN過定點.

x2y2

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線:1a,b0，經(jīng)過雙曲線上的點

a2b2

A2,1作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點.設(shè)線段AM?AN的中點分別

1

為B?C，直線OB?OC（O為坐標原點）的斜率都存在且它們的乘積為.

4

(1)求雙曲線的方程；

(2)過點A作ADMN（D為垂足），請問：是否存在定點E，使得DE為定值？若存在，

求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點

例7．（2024·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C：y22pxp0的

焦點為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點，AB8．

(1)求拋物線C的方程；

(2)過拋物線C上一點Pa,2作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于MN兩點（異于點

P），證明：直線MN恒過定點，并求出該定點坐標．

例8．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線E:x22py的焦點F關(guān)于直

線l:2xy40的對稱點Q恰在拋物線E的準線上．

(1)求拋物線E的方程；

(2)M是拋物線E上橫坐標為2的點，過點M作互相垂直的兩條直線分別交拋物線E于

A,B兩點，證明直線AB恒經(jīng)過某一定點，并求出該定點的坐標．

例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:y22px(p0)，O是坐

標原點，F(xiàn)是C的焦點，M是C上一點，|FM|4，OFM120．

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)設(shè)點Qx0,2在C上，過Q作兩條互相垂直的直線QA,QB，分別交C于A，B兩點（異

于Q點）．證明：直線AB恒過定點．

變式5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線W:x22py(p0)的焦點F也是橢圓

x2y2

1的一個焦點，如圖，過點F任作兩條互相垂直的直線l1，l2，分別交拋物線W于

34

A，C，B，D四點，E，G分別為AC，BD的中點.

(1)求p的值；

(2)求證：直線EG過定點，并求出該定點的坐標；

(3)設(shè)直線EG交拋物線W于M，N兩點，試求|MN|的最小值.

變式6．（2024·四川綿陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，

點P(2,t)在拋物線C上，且PF3．

（1）求拋物線C的方程；

（2）過拋物線C上一點N(m,4)作兩條互相垂直的弦NA和NB，試問直線AB是否過定點，

若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，直線y4

5

與y軸的交點為P，與拋物線C的交點為Q，且QFPQ．

4

（1）求拋物線C的方程；

（2）過拋物線C上一點N(m,4)作兩條互相垂直的弦NA和NB，試問直線AB是否過定點，

若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

變式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知點M與點F4,0的距離比它的直線l:x60

的距離小2．

(1)求點M的軌跡方程；

(2)OA,OB是點M軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線AB是否經(jīng)過x軸上一定點，若經(jīng)過，

求出該點坐標；若不經(jīng)過，說明理由．

題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點

x2y2

例10．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考一模）雙曲線：1的左右頂點分別為A1，A2，動直

43

線l垂直的實軸，且交于不同的兩點M,N，直線A1N與直線A2M的交點為P.

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）過點H(1,0)作C的兩條互相垂直的弦DE，F(xiàn)G，證明：過兩弦DE，F(xiàn)G中點的直線

恒過定點.

x2y2

例11．（2024·全國·高二期末）已知橢圓1(ab0)的左右焦點分別為F1,F2，拋物

a2b2

27

線y4x與橢圓有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且|PF1|．

3

(1)求橢圓的方程；

(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點

為M，線段CD的中點為N，證明：直線MN過定點，并求出該定點的坐標．

例12．（2024·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，O為坐標原點，

M3,0，已知平行四邊形OMNP兩條對角線的長度之和等于4．

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)過M3,0作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與動點P的軌跡交于A、B，l2與動點P的

軌跡交于點C、D，AB、CD的中點分別為E、F；證明：直線EF恒過定點，并求出定

點坐標；

(3)在（2）的條件下，求四邊形ACBD面積的最小值．

變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓

x2y23

:1ab0的離心率為，橢圓截直線x1所得線段的長度為3．過

a2b22

M3,0作互相垂直的兩條直線l1、l2，直線l1與橢圓交于A、B兩點，直線l2與橢圓交

于C、D兩點，AB、CD的中點分別為E、F．

(1)求橢圓的方程；

(2)證明：直線EF恒過定點，并求出定點坐標；

(3)求四邊形ABCD面積S的最小值．

x2y2

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓M:1ab0上任意一點P到橢

a2b2

3

圓M兩個焦點F1,F2的距離之和為4，且離心率為．

2

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)設(shè)A為M的左頂點，過A點作兩條互相垂直的直線AC,AD分別與M交于C,D兩點，證

明：直線CD經(jīng)過定點，并求這個定點的坐標．

題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點

x2y2

例13．（2024·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：1a0,b0的右焦點F，半焦距c=2，

a2b2

2

a1

點F到直線x的距離為，過點F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，

c2

CD的中點分別為M，N.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點的坐標.

例14．（2024·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考三模）在平面直角坐標系xOy中，已知動點P到

323

點F2,0的距離與它到直線x的距離之比為．記點P的軌跡為曲線C．

23

(1)求曲線C的方程；

(2)過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2.l1交曲線C于A，B兩點，l2交曲線C于S，T兩點，

線段AB的中點為M，線段ST的中點為N．證明：直線MN過定點，并求出該定點坐標．

x2y2

例15．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：1a0,b0的右焦

a2b2

2

a1

點為F，半焦距c2，點F到右準線x的距離為，過點F作雙曲線C的兩條互相垂

c2

直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標.

x2y2

變式11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線E:1a0,b0的一條漸近線

a2b2

方程為x3y0，焦點到漸近線的距離為1.

(1)求E的方程；

(2)過雙曲線E的右焦點F作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）AB、CD.兩條弦的中點分別

為P、Q，那么直線PQ是否過定點?若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.

題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點

2

例16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線G：x2pyp0焦點為F，R為G上的

動點，K1,2位于G的上方區(qū)域，且RKRF的最小值為3.

(1)求G的方程；

(2)過點P0,2作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1交G于A，B兩點，l2交G于C，D兩點，

且M，N分別為線段AB和CD的中點.直線MN是否恒過一個定點?若是，求出該定點坐標；

若不是，說明理由.

例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個邊長為83的等邊三角形的一個頂點位于原點，

另外兩個頂點在拋物線C:x22py(p0)上.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點T(0,p)作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1交拋物線C于A、B兩點，l2交拋物線C于D，

E兩點，若線段AB的中點為M，線段DE的中點為N，證明：直線MN過定點．

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y22pxp0的焦點為F，過焦點F

且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點，O為坐標原點，OHI的周長為458．

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點分別為P，Q，試

判斷直線PQ是否過定點？若過定點．求出其坐標；若不過定點，請說明理由．

變式12．（2024·山西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：x22py（p0），過點T0,p作

兩條互相垂直的直線l1和l2，l1交拋物線C于A，B兩點，l2交拋物線C于D，E兩點，拋物

線C上一點Pt,2到焦點F的距離為3．

(1)求拋物線C的方程；

(2)若線段AB的中點為M，線段DE的中點為N，求證：直線MN過定點．

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）動圓P與直線x=1相切，點F(1,0)在動圓上．

(1)求圓心P的軌跡Q的方程；

(2)過點F作曲線O的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，求證：

直線MN必過定點．

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y22pxp0的焦點為F，點M在拋

物線C上，O為坐標原點，OMF是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且OMF的面積為22．

(1)求拋物線C的方程．

(2)過點F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點分別為P，Q，

試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出所過定點的坐標；若否，請說明理由．

變式15．（2024·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點F1,0，直

線l:x1，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．RQFP，

PQl．

(1)求動點Q的軌跡的方程E；

(2)過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點分別為M，N．求直

線MN過定點R的坐標．

變式16．（2024·福建福州·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，O為坐標原點，已知

111

點Q(1,2)，P是動點，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.

kOPkOQkPQ

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點，求△AOB的面積；

(3)過點D(1,0)任作兩條互相垂直的直線l1,l2，分別交軌跡C于點A，B和M，N，設(shè)線段

AB，MN的中點分別為E，F(xiàn).，求證：直線EF恒過一定點.

x2y2

變式17．（2024·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知橢圓1ab0的左、右

a2b2

2

焦點分別為F1、F2，拋物線y4x的焦點與橢圓的右焦點重合，點P為拋物線與橢圓在第

7

一象限的交點，且PF.

13

(1)求橢圓的方程；

(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A、B和C、D，線段AB的中點

為M，線段CD的中點為N，證明：直線MN過x軸上一定點，并求出該定點的坐標.

變式18．（2024·湖南·高三階段練習(xí)）如圖1，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在y

2

軸正半軸上，準線與y軸的交點為．過點作圓C:x2y21的兩條切線，兩切點分

42

別為D，G，且DG．

3

（1）求拋物線的標準方程；

（2）如圖2，過拋物線的焦點F任作兩條互相垂直的直線l1，l2，分別交拋物線于，Q

兩點和，兩點，，分別為線段Q和的中點，求面積的最小值．

題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題

y2x2

例19．（2024·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓1ab0的兩焦點為F1，F(xiàn)2，

a