2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第59講、圓的方程（學(xué)生版）

第59講圓的方程

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：基本概念

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓．

知識(shí)點(diǎn)二：基本性質(zhì)、定理與公式

1、圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r(r0)

2222DE

（2）圓的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)，圓心坐標(biāo)為,，

22

D2E24F

半徑r

2

（3）圓的直徑式方程：若A(x1,y1),B(x2,y2)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

（4）圓的參數(shù)方程：

xrcos

①x2y2r2(r0)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；

yrsin

xarcos

②(xa)2(yb)2r2(r0)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

ybrsin

注意：對(duì)于圓的最值問(wèn)題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為

(arcos,brsin)（為參數(shù)，（a,b）為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角

函數(shù)式，從而把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

（）點(diǎn)與圓222的位置關(guān)系：

1P(x0,y0)(xa)(yb)r

①(xa)2(yb)2r2點(diǎn)P在圓外；

②(xa)2(yb)2r2點(diǎn)P在圓上；

③(xa)2(yb)2r2點(diǎn)P在圓內(nèi)．

22

（2）點(diǎn)P(x0,y0)與圓xyDxEyF0的位置關(guān)系：

22

①x0y0Dx0Ey0F0點(diǎn)P在圓外；

22

②x0y0Dx0Ey0F0點(diǎn)P在圓上；

22

③x0y0Dx0Ey0F0點(diǎn)P在圓內(nèi)．

必考題型全歸納

題型一：求圓多種方程的形式

例1．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)A0,1、B0,3兩點(diǎn)，且與直線yx1相切的

圓的方程可以是（）

2222

A．x1y22B．x2y25

2222

C．x1y22D．x2y25

例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為(2，1)，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在

兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（）

A．x2y24x2y0B．x2y24x2y50

C．x2y24x2y50D．x2y24x2y0

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心為(2,3)的圓與直線xy10相切，則該圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A．(x2)2(y3)28B．(x2)2(y3)28

C．(x2)2(y3)218D．(x2)2(y3)218

變式1．（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知圓C:x2y225與直線

l:3x4ym0m0相切，則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為（）

A．(x3)2(y4)216B．(x3)2(y4)225

C．(x6)2(y8)216D．(x6)2(y8)225

變式2．（2024·山東東營(yíng)·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線

交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1,B1兩點(diǎn)，以線段A1B1

為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)(2,3)，則圓C的方程為（）

A．(x1)2(y2)22B．(x1)2(y1)25

C．(x1)2(y1)217D．(x1)2(y2)226

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求過(guò)兩點(diǎn)A0,4,B4,6，且圓心在直線x2y20

上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A．(x4)2(y1)225B．(x4)2(y1)225

C．(x4)2(y1)225D．(x4)2(y1)225

變式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線

(3＋2)x(32)y50恒過(guò)定點(diǎn)P，則與圓C：(x2)2(y3)216有公共的圓心且

過(guò)點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A．(x2)2(y3)236B．(x2)2(y3)225

C．(x2)2(y3)218D．(x2)2(y3)29

22

變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C：x1y22關(guān)于直線xy0對(duì)稱的

圓的方程是（）

A．(x1)2(y2)22B．(x1)2(y2)22

C．(x2)2(y1)22D．(x2)2(y1)22

變式6．（2024·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下的“最大

視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點(diǎn)A,B是MON的OM邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是ON邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)ABC的外接圓與邊ON相切于點(diǎn)C時(shí)，ACB最大．在平面直角坐標(biāo)

系中，已知點(diǎn)D2,0，E4,0，點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DFE最大時(shí)，DEF

的外接圓的方程是（）．

2222

A．x3y229B．x3y229

2222

C．x22y38D．x22y38

變式7．（2024·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P4,2作圓x2y24的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A，B，則PAB的外接圓方程是（）

2222

A．x2y15B．x4y220

2222

C．x2y15D．x4y220

變式8．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知A(3,0),B(3,0),C(0,3)，

則ABC外接圓的方程為（）

A．(x1)2y22B．(x1)2y24C．x2(y1)22

D．x2(y1)24

【解題方法總結(jié)】

（1）求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來(lái)講，關(guān)鍵在于求出圓

心坐標(biāo)（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來(lái)講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn)．因此，待定系數(shù)

法是求圓的方程常用的方法．

（2）用幾何法來(lái)求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂

直平分線上，半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等．

題型二：直線系方程和圓系方程

例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4＝0和

x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（）

A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0

C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0

例5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)圓x2y22y40與x2y24x2y0的交點(diǎn)，且圓心

在直線l:2x4y10上的圓的方程是．

例6．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）曲線3x2y23與yx22x8的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的

方程是．

變式9．（2024·安徽銅陵·高二銅陵一中?？计谥校┙?jīng)過(guò)直線x2y0與圓

x2y24x2y40的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)1,0的圓的方程為.

變式10．（2024·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）過(guò)兩圓x2y2xy20與x2y24x4y80的

交點(diǎn)和點(diǎn)3,1的圓的方程是.

變式11．（2024·浙江杭州·高二?？计谀┮阎粋€(gè)圓經(jīng)過(guò)直線l:2xy40與圓

C:x2y22x4y0的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程

為.

變式12．（2024·江西九江·高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過(guò)兩圓x2y26x40和x2y26y280

的交點(diǎn)，且圓心在直線xy40上的圓的方程為

變式13．（2024·浙江紹興·高二統(tǒng)考期中）已知圓C過(guò)直線2xy40和圓

x2y22x4y10的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓C上．則圓C的方程為．

【解題方法總結(jié)】

求過(guò)兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交

點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．

（1）直線系方程：若直線l1:A1xB1yC10與直線l2:A2xB2yC20相交于點(diǎn)P，

22

則過(guò)點(diǎn)P的直線系方程為：1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0(120)

22

簡(jiǎn)記為：1l12l20(120)

當(dāng)10時(shí)，簡(jiǎn)記為：l1l20（不含l2）

2222

（2）圓系方程：若圓C1:xyD1xE1yF10與圓C2:xyD2xE2yF20

相交于A，B兩點(diǎn)，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：

2222

xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0(1)

簡(jiǎn)記為：C1C20(1)，不含C2

當(dāng)1時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）l:(D1D2)x(E1E2)yF1F20

注意：與圓C共根軸l的圓系C:Cl0

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P1,0，點(diǎn)Q是圓x2y24上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線

段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是（）

22

1221

A．xy1B．xy4

22

22

2112

C．xy1D．xy4

22

22

例8．（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是C：x2y425上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，若AB6，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）

2222

A．x4y216B．x2y411

2222

C．x2y416D．x4y211

例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》

中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)(0,1)的點(diǎn)的軌跡

是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到A(2,0)的距離是點(diǎn)P到B(1,0)的距離的2

倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；

變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P(4,0)是圓x2y236內(nèi)的一點(diǎn),A,B是圓上

兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB90，求矩形APBQ頂點(diǎn)Q的軌跡方程．

變式15．（1977·福建·高考真題）動(dòng)點(diǎn)Px,y到兩定點(diǎn)A3,0和B3,0的距離的比等于2，

求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明這軌跡是什么圖形．

變式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）已知圓C：x2y22x4y30.

(1)若不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x,y)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PMPO，求

點(diǎn)P的軌跡方程.

變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）由圓x2y29外一點(diǎn)P(5,12)引圓的割線交圓于A，B

兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓G:x2y24x0，平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足：

PM2PN26且M(1,0)，N(1,0)．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別

有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，且BQCR．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．

變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知RtABC的斜邊為AB，且A(1,0),B(3,0).求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式21．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異

于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的

軌跡方程.

變式22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A2,0是圓x2y24上的定點(diǎn)，點(diǎn)B1,1是圓內(nèi)

一點(diǎn)，P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程．

(2)若PBQ90，求線段PQ中點(diǎn)N的軌跡方程．

【解題方法總結(jié)】

要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條

件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在．

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

例10．（2024·河南·高三階段練習(xí)）“a1”是“方程2x22y22ax6y5a0表示圓”

的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

例11．（2024·上海奉賢·高三?？茧A段練習(xí)）已知：圓C的方程為f(x,y)0，點(diǎn)P(x0,y0)

不在圓C上，也不在圓C的圓心上，方程C:f(x,y)f(x0,y0)0，則下面判斷正確的是（）

A．方程C表示的曲線不存在

B．方程C表示與C同心且半徑不同的圓

C．方程C表示與C相交的圓

D．當(dāng)點(diǎn)P在圓C外時(shí)，方程C表示與C相離的圓

例12．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示一個(gè)

圓的充要條件是（）.

A．B0，且AC0

B．B1，且D2E24AF0

C．B0，且AC0，D2E24AF0

D．B0，且AC0，D2E24AF0

變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程x2y2ax2y20表示圓，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2

C．a(chǎn)2或a2D．a(chǎn)2或a2

變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程x2y2mx2y20表示圓，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為（）

A．(1,)B．(2,)C．(3,)D．(4,)

變式25．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若圓C：

x2y22m1x2m1y2m26m40過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A．2或1B．-2或-1C．2D．-1

變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，

則λ的取值范圍是（）

1

A．(1，＋∞)B．,1

5

1

C．(1，＋∞)∪(,)D．R

5

變式27．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若0,2，使曲線

x2cosy2sinxcosysin10是圓，則（）

55

A．B．C．或D．

44442

【解題方法總結(jié)】

方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是D2E24F0，故在解決圓的一般

DE

式方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為,，半

22

1

徑rD2E24F

2

題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

例13．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)2,1在圓x2y2xya0的外部，則a

的取值范圍是（）

1111

A．,B．,C．4,D．,4,

2222

例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P1,2在圓C：x2y2kx4yk210的

外部，則k的取值范圍是（）

A．2k1B．1k2C．k2D．2<k<2

例15．（2024·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)

A1,1,B0,1，APAOAB，則的最大值為（）

3

A．B．3C．2D．3

2

變式28．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)P5,m與圓x2y224的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)在圓上B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．點(diǎn)在圓外D．不確定

變式29．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)a1,a1在圓x2y22ay40的內(nèi)部，

則a的取值范圍是（）.

1

A．a(chǎn)1B．0a1C．1aD．a(chǎn)1

5

變式30．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓O:x2y2r2，直線l：3x4yr2，若l

與圓O相交，則（）．

A．點(diǎn)P3,4在l上B．點(diǎn)P3,4在圓O上

C．點(diǎn)P3,4在圓O內(nèi)D．點(diǎn)P3,4在圓O外

【解題方法總結(jié)】

在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對(duì)應(yīng)的不同判斷方法，另外

還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對(duì)參數(shù)的制約．

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

例16．（2024·高二?？紗卧獪y(cè)試）若直線l:kxy20與曲線C:1(y1)2x1有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

44444

A．,2B．,4C．2,,2D．,

33333

例17．（2024·遼寧營(yíng)口·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線yx24x3與直線

kxyk10有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

1231312

A．,B．0,C．,D．,

2342443

例18．（2024·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）直線yxb與曲線

y14x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A．122,122B．122,1

C．1,122D．3,122

變式31．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線2xy20與曲線xy1x2y240的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

變式32．（2024·高二單元測(cè)試）若兩條直線l1：yxm，l2：yxn與圓

x2y22x2yt0的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則mn（）

A．0B．1C．2D．3

22

xy22

變式33．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┣€:1xy90，要

33

使直線ymmR與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A．3,33,33,3B．3,33,3

C．3,3D．3,3

變式34．（2024·吉林白山·統(tǒng)考二模）若過(guò)點(diǎn)P(2,4)且斜率為k的直線l與曲線y4x2

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是()

344

A．B．C．D．2

453

變式35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線l:xmy40與曲線x4y2有兩個(gè)

交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

33

A．0mB．0mC．0m3D．0m3

33

變式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)校考三模）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，

2

其圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱，當(dāng)x0,2時(shí)，fx1x1，若方程fxkx20的

所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

2662

A．,B．,

412124

2626

C．,D．,

412412

變式37．（2024·湖北·高三校聯(lián)考期末）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互糾在一

起，因而被習(xí)稱為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)

圓形區(qū)域x2y24．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)

1,x0

sgn(x)0,x0，則當(dāng)x2y24時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（）

1,x0

A．xx2(ysgn(x))210B．y(xsgn(y))2y210

C．xx2(ysgn(x))210D．y(xsgn(y))2y210

【解題方法總結(jié)】

研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過(guò)程中，

尤其要注意需對(duì)代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤．

題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題

例19．（2024·高二單元測(cè)試）圓x2y22x4y10關(guān)于直線axy10對(duì)稱，則

a．

例20．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知圓C:x2y24x2ay30關(guān)于直線

x2y60對(duì)稱，圓C交y于A、B兩點(diǎn)，則AB

22

例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓x1y29上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線

axby20a0,b0對(duì)稱，則a24b2的最小值是．

變式38．（2024·北京·高三人大附中校考階段練習(xí)）已知圓C與圓D：x2y24x2y30

關(guān)于直線4x2y50對(duì)稱，則圓C的方程為．

22

變式39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓x1y39上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線

13

axby10a0,b0對(duì)稱，則的最小值是．

ab