2025年高考數(shù)學必刷題分類：第12講、函數(shù)與方程（學生版）

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第12講函數(shù)與方程

知識梳理

一、函數(shù)的零點

對于函數(shù)yfx，我們把使fx0的實數(shù)x叫做函數(shù)yfx的零點.

二、方程的根與函數(shù)零點的關系

方程fx0有實數(shù)根函數(shù)yfx的圖像與x軸有公共點函數(shù)yfx有零

點.

三、零點存在性定理

如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb0，

那么函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在ca,b，使得fc0,c也就是方程

fx0的根.

四、二分法

對于區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且fafb0的函數(shù)fx，通過不斷地把函數(shù)fx的

零點

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法

叫做二分法.求方程fx0的近似解就是求函數(shù)fx零點的近似值.

五、用二分法求函數(shù)fx零點近似值的步驟

（1）確定區(qū)間a,b，驗證fafb0，給定精度.

（）求區(qū)間的中點

2a,bx1.

（）計算若則就是函數(shù)的零點；若，則令

3fx1.fx10,x1fxfafx10

（此時零點）若，則令（此時零點）

bx1x0a,x1.fbfx10ax1x0x1,b

（4）判斷是否達到精確度，即若ab，則函數(shù)零點的近似值為a（或b）；否

則重復第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

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【解題方法總結】

函數(shù)的零點相關技巧:

①若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.

②連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.

③連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點，不一定能推出f(a)f(b)0.

必考題型全歸納

題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間

【例1】（2024·廣西玉林·博白縣中學?？寄M預測）已知函數(shù)h(x)是奇函數(shù)，且

f(x)h(x)2，若x2是函數(shù)yf(x)的一個零點，則f(2)（）

A．4B．0C．2D．4

【對點訓練1】（2024·吉林·通化市第一中學校校聯(lián)考模擬預測）已知x0是函數(shù)

f(x)tanx2的一個零點，則sin2x0的值為（）

4334

A．B．-C．D．

5555

【對點訓練2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)

x

fx2x,gxlog2xx,hxlog2x2的零點依次為a,b,c，則（）

A．a(chǎn)bcB．cbaC．cabD．bac

x

【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）已知fxelnx2，若x0是方程

fxfxe的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

【解題總結】

求函數(shù)fx零點的方法：

（1）代數(shù)法，即求方程fx0的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，

即利用函數(shù)yfx的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍

2

【例2】（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)fxlog2xxm在區(qū)間1,2存在零點．則

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實數(shù)m的取值范圍是（）

A．,5B．5,1C．1,5D．5,

3

【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間1,3

x

內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．7,B．,1C．,17,D．1,7

2

【對點訓練5】（2024·河北·高三學業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)a是R上的奇函數(shù)，

2x1

若函數(shù)yf(x2m)的零點在區(qū)間1，1內(nèi)，則m的取值范圍是（）

11

A．(,)B．(1，1)C．(2,2)D．0，1

22

【對點訓練6】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fxlnxax2b，若fx在區(qū)

間2,3上有零點，則ab的最大值為__________.

【對點訓練7】（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

f(x)sinaxasinx在(0,2π)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍___________.

【解題總結】

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關性質，建立參數(shù)關系，列

關于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題

【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知實數(shù)x，y滿足

ln2y1y2，exx5，則x2y________.

【對點訓練8】（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fxax33x24，若fx存在唯

一的零點x0，且x00，則a的取值范圍是________．

x24xa,x0

【對點訓練9】（2024·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)1，若函數(shù)

a1,x0

x

gxfxax1在R上恰有三個不同的零點，則a的取值范圍是________．

【對點訓練10】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）若曲線yxlnx有兩條過e,a的切線，

則a的范圍是______.

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【對點訓練11】（2024·天津北辰·統(tǒng)考三模）設aR，對任意實數(shù)x，記

fxminex2,e2xaexa24．若fx有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．

【對點訓練12】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)m，n滿足

e20232me3ln2

mlnnln2e20200，則mn___________.

2n

【解題總結】

方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是

要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)

的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.

題型四：嵌套函數(shù)的零點問題

1

x2x,x0

【例4】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx2，若關于x的方程

2x11,x0

f2xk1xfxkx20有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k的取值范圍為（）

11

A．0,B．,11,2C．0,1U1,2D．2,

22

x

【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx221，則關于x的方

2

程fxmfxn0有7個不同實數(shù)解，則實數(shù)m,n滿足（）

A．m0且n0B．m0且n0

C．0m1且n0D．1m0且n0

【對點訓練14】（2024·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)fx，若函數(shù)yfx1

2

x,x0,1,2

關于點1,0對稱，且fxx1則關于x的方程fx2mfx1(mR)

e2,x1,,

有n個不同的實數(shù)解，則n的所有可能的值為

A．2B．4

C．2或4D．2或4或6

【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)(x2x1)ex，設關于x的方

5

程f2(x)mf(x)(mR)有n個不同的實數(shù)解，則n的所有可能的值為

e

A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6

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【解題總結】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數(shù)來確定取值范圍．

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎

實．

題型五：函數(shù)的對稱問題

11

【例5】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx2xx2的圖象上存在點

x22

P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

55

A．4,0B．0,C．0,4D．,4

88

【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)ex，函數(shù)g(x)與f(x)的圖象

關于直線yx對稱，若h(x)g(x)kx無零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）

1211

A．,eB．,eC．(e,)D．,

eee

1

【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)ya2lnx,(xe)的圖象上存

e

在點M，函數(shù)yx21的圖象上存在點N，且M，N關于x軸對稱，則a的取值范圍是（）

1

．2．

A1e,2B32,

e

11

C．3,2D．1e2,3

e2e2

1

【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)gxax2（xe，e為自然

e

對數(shù)的底數(shù)）與hx2lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

1

A．1,2B．1,e22

e2

1

C．2,e22D．e22,

e2

【解題總結】

轉化為零點問題

題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型

x32ex2mxlnx

【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(x)至少存在一個

x

零點，則m的取值范圍為（）

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212111

A．,eB．e,C．,eD．e,

eeee

【對點訓練19】（2024·湖北·高三校聯(lián)考期中）設函數(shù)f(x)x32ex2mxlnx，記

f(x)

g(x)，若函數(shù)gx至少存在一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

x

21212121

A．,eB．0,eC．0,eD．,e

eeee

【對點訓練20】（2024·福建廈門·廈門外國語學校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€x，使得方

程lnxmxx(x22ex)成立．則實數(shù)m的取值范圍為

1111

A．me2B．me2C．meD．me

eeee

x

【對點訓練21】（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）設函數(shù)fxx22xa

ex

（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)fx至少存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

1111

A．(0,1]B．(0,e]C．[e,)D．(,1]

eeee

【解題總結】

分類討論數(shù)學思想方法

題型七：唯一零點求值問題

【例7】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxx2ex2e2xa有唯一零點，

則實數(shù)a（）

A．1B．1C．2D．2

ππ

xx

【對點訓練22】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxe4e4asinxcosx有

唯一零點，則a（）

π4π

A．B．C．2D．1

ee

【對點訓練23】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)gx，hx分別是定義在R上的

偶函數(shù)和奇函數(shù)，且gxhxexsinxx，若函數(shù)fx3x2020gx202022有

唯一零點，則實數(shù)的值為

11

A．1或B．1或C．1或2D．2或1

22

1

【對點訓練24】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx2ex2a2x222xa2有

2

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唯一零點，則負實數(shù)a

11

A．2B．C．1D．或1

22

【解題總結】

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.

（2）分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

（3）轉化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.

題型八：分段函數(shù)的零點問題

2x,x0

【例8】（2024·天津南開·高三南開中學?？计谀┮阎瘮?shù)fx，若函數(shù)

log2x,x0

gxfxm有兩個零點，則m的取值范圍是（）

A．1,0B．1,C．,0D．,1

【對點訓練25】（2024·全國·高三專題練習）已知m0，函數(shù)

(x2)ln(x1),1xm,

f(x)π恰有3個零點，則m的取值范圍是（）

cos3x,mxπ,

4

π5π3ππ5π3π5π3π5π3π

A．,2,B．,2,C．0,2,D．0,2,

1212412124124124

ex,x0

【對點訓練26】（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx，若函數(shù)

3x,x0

gxfxfx，則函數(shù)gx的零點個數(shù)為（）

A．1B．3C．4D．5

1

2sin2xa,xa

【對點訓練27】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx2，

22

x2a1xa2,xa

若函數(shù)f(x)在[0,)內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（）

757751175

A．,B．,2C．,2,D．,22,

42442442

【解題總結】

已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

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（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系

中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.

題型九：零點嵌套問題

【例9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)(xex)2(a1)(xex)1a有三個不同

x1x2x32

的零點x1,x2,x3.其中x1x2x3，則(1x1e)(1x2e)(1x3e)的值為（）

A．1B．(a1)2C．1D．1a

【對點訓練28】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxaxlnxxlnxx2，有

2

lnx1lnx2lnx3

三個不同的零點，（其中x1x2x3），則111的值為

x1x2x3

A．a(chǎn)1B．1aC．-1D．1

2

【對點訓練29】（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx9lnxa3xlnx33ax2

2

xxlnx1lnx2lnx3

有三個不同的零點1，2，x3，且x11x2x3，則333的值為

x1x2x3

（）

A．81B．﹣81C．﹣9D．9

【對點訓練30】（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）設定義在R上

2x2x

的函數(shù)f(x)滿足f(x)9x(a3)xe3(3a)e有三個不同的零點x1,x2,x3,且

2

xxx

則123的值是（）

x10x2x3,333

ex1ex2ex3

A．81B．-81C．9D．-9

【解題總結】

解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結合、等價轉化等數(shù)學思想.

題型十：等高線問題

x22x,x0

【例10】（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)fx

lnx,x0

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①若方程fxa有四個不同的實根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4的取值范圍是0,1

②若方程fxa有四個不同的實根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4的取值范圍是0,

1

③若方程fxax有四個不同的實根，則a的取值范圍是0,

e

21

④方程fxafx10的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6

a

四個結論中，正確的結論個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

2

x1,x0

【對點訓練31】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx，若方程fxa

log2x,x0

1

xxx

有四個不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4，則3122的取值范圍是（）

x3x4

A．1,1B．1,1C．1,1D．1,1

【對點訓練32】（2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

logx,0x3

3

，若方程有四個不同的實根x，x，，，滿足

fx1210fxm12x3x4

xx8,x3

33

x33x43

x1x2x3x4，則的取值范圍是（）

x1x2

A．0,3B．0,4C．3,4D．1,3

x

1

1,x1

2

【對點訓練33】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相

1

x1,x1