2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第10講、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（教師版）

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第10講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

知識(shí)梳理

1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果axN(a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，

記作xlogaN，讀作以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．

(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：

①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為N，讀作以為底的對(duì)數(shù)；

a(a0a1)logaaN

②常用對(duì)數(shù)：以10為底，記為lgN；

③自然對(duì)數(shù)：以e為底，記為lnN；

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①1；a；其中且；

loga0loga1a0a1

logN

②aaN(其中a0且a1，N0)；

logcb

③對(duì)數(shù)換底公式：logab；

logca

④loga(MN)logaMlogaN；

M

⑤loglogMlogN；

aNaa

nn

⑥logmblogb(m，nR)；

ama

b

⑦logab和；

ablogaab

1

⑧l(xiāng)ogab；

logba

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

a10a1

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圖象

定義域：(0，)

值域：R

過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即x1時(shí)，y0

性質(zhì)

在(0，)上增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)

當(dāng)0x1時(shí)，y0，當(dāng)x1時(shí)，當(dāng)0x1時(shí)，y0，當(dāng)x1時(shí)，y0

y0

【解題方法總結(jié)】

1、對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸；當(dāng)0a1時(shí)，

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．(見(jiàn)下圖)

必考題型全歸納

題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式

131

【例1】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）eln3814log______．

312

【答案】1

11

314

【解析】eln3814log334log(31)13311.

31231

故答案為：1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知lgab2，ab10，則

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a______．

1

【答案】/0.1

10

11

【解析】由題設(shè)blog10，則lga2且a0，

algalga

1

所以lg2a2lga1(lga1)20，即lga1，故a.

10

1

故答案為：

10

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）方程lg(2x)lg3x2的解集

為________．

【答案】x|x1

【解析】因?yàn)閘g(2x)lg3x2,

2x3x2

則2x0，解得x=1，

2

3x0

所以方程lg(2x)lg3x2的解集為x|x1.

故答案為：x|x1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)p0,q0，滿足log4plog6qlog92pq，

p

則__________.

q

1

【答案】/0.5

2

kkk

【解析】令log4plog6qlog92pqk，則p4,q6,2pq9，

2k

2k2

所以kkk，整理得，

2pq24692k1

33

2k1p4k2k1

解得(負(fù)值舍去)，所以.

3k2q6k3k2

1

故答案為：.

2

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）計(jì)算log332log49log2log26的值為______.

4

【答案】8

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5233

【解析】原式=log2log23loglog65log2log3loglog6

3224232242

36

5loglog65log5log88

242232.

4

故答案為：8.

b

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若log142a，145，用a，b表示

log3528____________

【答案】1a

1ba

b

【解析】因?yàn)?45，所以blog145，

log28log14log21a

141414

log3528.

log1435log1414log145log1421ba

1a

故答案為：.

1ba

11

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若12a3bm，且2，則

ab

m__________．

【答案】2

11

【解析】12a3bm，且2，

ab

m0且m1，

alog12m,blog3m，

11

log12,log3，

ambm

11

log12log3log42，

abmmm

m2.

故答案為：2.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）

222lg3lg2

log63log622=____________；

lg3lg2

【答案】1

222lg3lg2

【解析】原式log3log2

66lg6lg6

22

log63log622log63log62

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2

log63log62

2

log661．

故答案為：1.

x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式log2(24)x解集為_____．

1

【答案】(0,)

2

xxxxx

【解析】不等式log2(24)xlog2(24)log220242，

1

解24x0，即22x2，有2x1，解得x，

2

xx

解24x2x，即22x2x20，化為(22)(21)0，有2x1，解得x0，

1

因此0x，

2

1

所以不等式log(24x)x解集為(0,).

22

1

故答案為：(0,)

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·上海楊浦·高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx

是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，fxlog2x，則fx2的解集是__________.

1

【答案】4,0,

4

【解析】當(dāng)x0時(shí)，x0，所以f(x)log2x，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)log2x，

所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)log2x，

log2x,x0

所以f(x)0,x0，

log2x,x0

x0x0x0

要解不等式f(x)2，只需或或，

log2x2log2x202

1

解得x或4x0或x0，

4

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1

綜上，不等式的解集為4,0,.

4

1

故答案為：4,0,.

4

x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）方程2log4x17

的解為_________．

【答案】x4

xx

【解析】設(shè)函數(shù)fx2log4x，x0,，由于函數(shù)y2,ylog4x在x0,上

均為增函數(shù)，

4x

又f42log4416117，故方程2log4x17的解為x4.

故答案為：x4.

【解題方法總結(jié)】

對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問(wèn)題

是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問(wèn)題，但這里必須注

意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.

題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

【例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)ylogaxb（a，b為常數(shù)，其中a0且

a1）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)0.5，b2B．a(chǎn)2，b2

C．a(chǎn)0.5，b0.5D．a(chǎn)2，b0.5

【答案】D

【解析】由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以a1，排除A，C；

又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(0.5,0),

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所以b0.51，解得b0.5．

故選：D

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)loga(x1)2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（）

A．(2,2)B．(2,1)C．(3,2)D．(2,0)

【答案】A

【解析】當(dāng)x2時(shí)f(2)loga122，即函數(shù)圖象恒過(guò)(2,2).

故選：A

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxlog2xx1，則不等式

f(x)0的解集為（）

A．,12,B．0,12,

C．1,2D．1,

【答案】B

2

【解析】由題意，不等式f(x)0，即log2xx10，

2

等價(jià)于log2xx1在0,上的解，

2

令gxlog2x，hxx1，則不等式為gxhx，

在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，

可得不等式f(x)0的解集為0,12,，

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)ylog2x的圖象向上平移1個(gè)

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單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)yfx的圖象，則fx（）

A．log2x1B．1log2x

C．log2x1D．1log2x

【答案】B

【解析】將函數(shù)ylog2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y1log2x.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測(cè)）不等式2log3x(x1)(x2)0

的解集為__________．

【答案】x1x3

1

【解析】由2logx(x1)(x2)0logx(x1)(x2)，

332

1

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)fxlogx,gx(x1)(x2)的圖象如下圖所示：

32

因?yàn)閒3g31，

所以由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x(1,3)時(shí)，有fxgx，

故答案為：x1x3

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)0x時(shí)，4xlogx，則a

2a

的值可以為（）

236

A．B．C．D．2

223

【答案】ABC

x

【解析】分別記函數(shù)f(x)4，g(x)logax

由圖1知，當(dāng)a1時(shí)，不滿足題意；

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111

當(dāng)0a1時(shí)，如圖2，要使0x時(shí)，不等式4xlogx恒成立，只需滿足f()g()，

2a22

1

2112

即4log，即2loga，解得a1.

a222

故選：ABC

【解題方法總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題最重要的思路和方法.圖像問(wèn)題

是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問(wèn)題提供了思維方向.

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)log3(1ax)，若f(x)在(,1]上為減

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函數(shù)，則a的取值范圍為（）

A．(0,)B．(0,1)C．(1,2)D．(,1)

【答案】B

【解析】設(shè)函數(shù)y1ax，

因?yàn)閒(x)在(,1]上為減函數(shù)，

所以y1ax在(,1]上為減函數(shù)，則a0解得a0，

又因?yàn)閥1ax0在(,1]恒成立，

所以ymin1a0解得a1，

所以a的取值范圍為0a1，

故選:B.

ab

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)a,b滿足24log2blog2a，則a

與2b大小關(guān)系為______．

【答案】a2b/2ba

ab

【解析】因?yàn)?4log2blog2a，

ab2b2b

所以2log2a4log2b2log2blog2212log22b1，

x

設(shè)f(x)2log2x，則f(a)f(2b)1，

所以f(a)f(2b)，

x

又因?yàn)閥2與ylog2x在(0,)上單調(diào)遞增，

x

所以f(x)2log2x在(0,)上單調(diào)遞增，

所以a2b.

故答案為：a2b.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxlogaxa0,a1在1,4上

的最大值是2，則a等于_________

【答案】2

【解析】當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)fxlogax在1,4上單調(diào)遞增，

則f4loga42，解得a2，

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當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)fxlogax在1,4上單調(diào)遞減，

則f1loga12，無(wú)解，

綜上，a等于2.

故答案為：2.

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)logx（a0且a1）在,4

a2

上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)g(x)(32m)x在[0,)上是增函數(shù)，則am的值

是____________．

【答案】3

1

【解析】當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)fxlogx是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，而函數(shù)fxlogx在,4

aa2

1

上的最大值為2，因此有f(4)log42，解得a2，所以m=log=-1，此時(shí)gxx

a22

在0,上是增函數(shù)，符合題意，因此am213；

1

當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)fxlogx是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，而函數(shù)fxlogx在,4上的

aa2

11==-

2mlog244

最大值為2，因此有floga2，a，所以，此時(shí)gx5x

2222

在0,上是減函數(shù)，不符合題意.

綜上所述，a2，m1，am3.

故答案為：3.

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)loga(xax1)有最小值，則a

的取值范圍是______．

【答案】1,2

2

【解析】當(dāng)0a1時(shí)，外層函數(shù)ylogau為減函數(shù)，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)uxax1，

a240，則u0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，

22

由于二次函數(shù)uxax1有最小值，此時(shí)函數(shù)fxlogaxax1沒(méi)有最小值；

2

當(dāng)a1時(shí)，外層函數(shù)ylogau為增函數(shù)，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)uxax1，

22

函數(shù)uxax1有最小值，若使得函數(shù)fxlogaxax1有最小值，

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a240

則，解得1a2.

a1

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2.

故答案為：1,2.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函

數(shù):f(x)_____.

①fx1x2fx1fx2;②當(dāng)x(0,)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減;③f(x)為偶函數(shù).

【答案】log1x（不唯一）

2

【解析】性質(zhì)①顯然是和對(duì)數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對(duì)數(shù)的底0a1即可，性質(zhì)③只需將自

變量x加絕對(duì)值即變成偶函數(shù).

故答案為：log1x（不唯一）

2

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)ylog1xx2

4

的單調(diào)遞區(qū)間為（）

11

A．,B．,1C．,D．2,

22

【答案】B

2

【解析】函數(shù)ylog1xx2的定義域?yàn)?,1)(2,),

4

2ylogt

令txx2，又1在定義域內(nèi)為減函數(shù)，

4

故只需求函數(shù)tx2x2在定義域,12,上的單調(diào)遞減區(qū)間，

又因?yàn)楹瘮?shù)tx2x2在,-1上單調(diào)遞減，

2

ylog1xx2的單調(diào)遞區(qū)間為,1.

4

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fxlgxlg2x，則（）

A．fx在0,1單調(diào)遞減，在1,2單調(diào)遞增B．fx在0,2單調(diào)遞減

C．fx的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱D．fx有最小值，但無(wú)最大值

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【答案】C

【解析】由題意可得函數(shù)fxlgxlg2x的定義域?yàn)?0,2)，

則fxlgxlg2xlg(x22x)，

因?yàn)閥x22x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

且ylgx在(0,)上單調(diào)遞增，

故fx在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤；

由于f2xlg(2x)lgxf(x)，故fx的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱，C正確；

因?yàn)閥x22x在x1時(shí)取得最大值，且ylgx在(0,)上單調(diào)遞增，

故fx有最大值，但無(wú)最小值，D錯(cuò)誤，

故選：C

2ax,x1,

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，

2alogax,x1

則a的取值范圍是（）

1

A．0,1B．[2,)C．0,(2,)D．0,1[2,)

2

【答案】D

a1

【解析】若f(x)在R上單調(diào)遞增，則，解得a[2,)，

2a2aloga1

0a1

若f(x)在R上單調(diào)遞減，則，解得a(0,1)．

2a2aloga1

綜上得a(0,1)[2,).

故選：D

【解題方法總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題最重要的思路和方法.性質(zhì)問(wèn)題

是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問(wèn)題提供了思維方向.

題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

9x2

【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx，gxlog2xa，若存在

x

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x13,4，任意x24,8，使得fx1gx2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

13

【答案】,

4

【解析】若f(x)在[3,4]上的最大值f(x)max，g(x)在[4,8]上的最大值g(x)max，

由題設(shè)，只需f(x)maxg(x)max即可.

99

在[3,4]上，f(x)x2x6當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)等號(hào)成立，

xx

25

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：f(x)在[3,4]上遞增，故f(x).

max4

在[4,8]上，g(x)單調(diào)遞增，則g(x)max3a，

2513

所以3a，可得a.

44

13

故答案為：,.

4

12x2xlogxax0

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若x,2，不等式1

22

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.

【答案】,5

12x2xlogxax0

【解析】因?yàn)閤,2，不等式1恒成立，

22

alogx2x1

所以1對(duì)x,2恒成立.

22

1

記fxlog1x2x，，只需afx

x,2min.

22

ylogx11

因?yàn)?在x,2上單調(diào)遞減，y2x在x,2上單調(diào)遞減，

222

fxlogx2x1

所以1在x,2上單調(diào)遞減，

22

所以，所以

fxminf25a5.

故答案為：,5

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x2x3，g(x)log2xm，

對(duì)任意的x1，x2[1，4]有f(x1)g(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.

【答案】(,0)

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

22

【解析】函數(shù)f(x)x2x3(x1)2在[1，4]上單調(diào)遞增，g(x)log2xm在[1，4]

上單調(diào)遞增，

∴，，

fxminf12gxmaxg42m

對(duì)任意的x1，x2[1，4]有f(x1)g(x2)恒成立，

∴，即，解得，

fxmingxmax22mm0

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是,0．

故答案為：(,0).

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx2x3,gxlog2xm，

若對(duì)x12,4,x216,32，使得fx1gx2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.

【答案】,1

【解析】因?yàn)閷?duì)x12,4,x216,32，使得fx1gx2，

所以fx1mingx2min，

因?yàn)閒xx22x3的對(duì)稱軸為x1，所以fx在2,4上單調(diào)遞增，所以

==，

f(x)minf(2)3

又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，

gxlog2xm16,32gxming164m

所以34m，所以m1，即m,1，

故答案為：,1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

2

fxlogax2logax3a0,a1.

(1)若f32，求a的值；

(2)若對(duì)任意的x8,12，fx6恒成立，求a的取值范圍.

2

【解析】（1）因?yàn)閒32，所以loga32loga332，

21

所以log310，所以log31，解得a.

aa3

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

（2）由fx6，得logax2logax30，即logax3logax10，

即logax3或logax1.

當(dāng)0a1時(shí)，loga12logaxloga8，則loga83或loga121，

因?yàn)閘oga12loga10，則loga121不成立，

31

由可得1，得；

loga838a1

a2

當(dāng)a1時(shí)，loga8logaxloga12，則loga123或loga81，

因?yàn)閘oga12loga10，則loga123不成立，所以loga81，解得1a8.

1

綜上，a的取值范圍是,11,8.

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)32log2x，g(x)log2x.

（1）當(dāng)x1,4時(shí)，求函數(shù)yf(x)1g(x)的值域；

nn12

（2）對(duì)任意x2,2，其中常數(shù)nN，不等式fxf(x)kg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k

的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)閒(x)32log2x，g(x)log2x，yf(x)1g(x)

2

令yhx42log2xlog2x2log2x12，

∵x1,4，∴，所以當(dāng)，即時(shí)取最大值，當(dāng)

log2x0,2log2x1x2hxmax2log2x0

或，即或時(shí)取最小值，

2x1x4hxmin0

∴函數(shù)hx的值域?yàn)?,2.

2

（2）由fxfxkgx得34log2x3log2xklog2x，

nn1

令tlog2x，∵x2,2，∴tlog2xn,n1，

∴34t3tkt對(duì)一切的tn,n1恒成立，

①當(dāng)n0時(shí)，若t0時(shí)，kR；

34t3t9

當(dāng)t0,1時(shí)，k恒成立，即k4t15，

tt

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

9

函數(shù)4t15在t0,1單調(diào)遞減，于是t1時(shí)取最小值-2，此時(shí)x2，

t

于是k,2；

34t3t9

②當(dāng)n1時(shí)，此時(shí)t1,2時(shí)，k恒成立，即k4t15，

tt

9939

∵4t12，當(dāng)且僅當(dāng)4t，即t時(shí)取等號(hào)，即4t15的最小值為-3，k,3；

tt2t

34t3t9

③當(dāng)n2時(shí)，此時(shí)tn,n1時(shí)，k

恒成立，即k4t15，

tt

99

函數(shù)4t15在tn,n1單調(diào)遞增，于是tn時(shí)取最小值4n15，

tn

9

此時(shí)x2n，于是k,4n15.

n

9

綜上可得：當(dāng)n0時(shí)k,2，當(dāng)n1時(shí)k,3，當(dāng)n2時(shí)，k,4n15

n

【解題方法總結(jié)】

（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；

（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

（3）涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題

a

【例5】（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知a1，b1，2a，

a1

b

logb，則以下結(jié)論正確的是（）

b12

11

．a(chǎn)．

Aa2blog2bBa1

2log2b

C．a(chǎn)b2D．a(chǎn)b4

【答案】ABD

x1

【解析】對(duì)于A，由題意知，a，b是函數(shù)h(x)1分別與函數(shù)f(x)2x，

x1x1

g(x)log2x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

1

由y的圖象關(guān)于yx對(duì)稱，

x

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

1

則其向上，向右都平移一個(gè)單位后的解析式為h(x)1，

x1

所以h(x)的圖象也關(guān)于yx對(duì)稱，

又f(x)，g(x)兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，

ayx

故兩交點(diǎn)a,2，b,log2b關(guān)于直線對(duì)稱，

a

所以alog2b，b2，故A正確；

11

aa11

對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A得2b，則abab，即1，即a1成立，

a1ab2log2b

故B正確；

1

對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)A得ablogbb(2b4)，令(b)logbb，則(b)10，

22bln2

所以(b)log2bb在(2,4)上單調(diào)遞減，則(b)log2442，故C錯(cuò)誤；

11ba

對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)B得ab(ab)24(a1b，即不等式取不到等號(hào))，

abab

故D正確．

故選：ABD．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足：nlnnemnlnm，

n

則的最小值為______.

m

2

【答案】e

4

em

【解析】由nlnnemnlnm可得：lnmlnn,

n

所以emlnnlnnlnm，emlnnmlnnmlnmelnmlnm，

設(shè)fxexx，fxex10，

所以fx在R上單調(diào)遞增，所以fmlnnflnm，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

em

則mlnnlnm，所以lnnln，

m

emnemexexx2ex2xexx2

所以n，所以，令gx,gx，

mmm2x2x4x3

令gx0，解得：x2；令gx0，解得：0x2；

所以gx在0,2上單調(diào)遞減，在2,上單調(diào)遞增，

e2

所以gxg2.

min4

ne2

故的最小值為.

m4

e2

故答案為：.

4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（多選題）（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若6a2,6b3，則（）

b1

A．1B．a(chǎn)b

a4

11

C．a(chǎn)2b2D．ba

25

【答案】ABD

ba

【解析】因?yàn)?3,62，所以blog63,alog62，則ab1，

blog63

選項(xiàng)A，log23log221，故A正確；

alog62

ab1

選項(xiàng)B，因?yàn)閍blog3log2log61，且a0,b0,ab，所以ab()2，故

66624

B正確；

11

選項(xiàng)C，因?yàn)閍2b2(ab)22ab12ab12，故C錯(cuò)誤；

42

3243

選項(xiàng)D，因?yàn)?ba5logloglog61，故D正確，

626326

故選：ABD．

x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x1，x2分別是方程xe3

7b21

和xlnx3的根，若x1x2ab，實(shí)數(shù)a，b0，則的最小值為（）

ab

767

A．1B．C．D．2

39

【答案】D

【解析】xex3,ex3x；xlnx