高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 算法初步-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第十一章算法初步、推理證明、復(fù)數(shù)

第一節(jié)算法與程序框圖

［考情展望］1.考查算法的邏輯結(jié)構(gòu)，重點考查循環(huán)結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)，考查寫出程序的

運行結(jié)果、指明算法的功能、補(bǔ)充程序框圖等基礎(chǔ)知識.2.題型以選擇題和填空題為主要考

查形式，題型靈活多樣，難度中低檔.

抓住2個基礎(chǔ)知識點

一、算法與程序框圖

1.算法

(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.

(2)應(yīng)用：算法通?？梢跃幊捎嬎銠C(jī)程序，讓計算機(jī)執(zhí)行并解決問題.

2.程序框圖

程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.

二、三種基本邏輯結(jié)構(gòu)

\2稱

內(nèi)人順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)

由依次執(zhí)行的步驟組算法的流程根據(jù)條件是

從某處開始，按照一定的條件

成，這是任何一個算否成立有不同的流向,

定義反復(fù)執(zhí)好某些步驟的情況，反

法都離不開的基本結(jié)條件結(jié)構(gòu)就是處理這種

復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體

構(gòu)過程的結(jié)構(gòu)

應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)應(yīng)注意的三個問題

①確定循環(huán)變量和初始值；

②確定算法中反復(fù)執(zhí)行的部分，即循環(huán)體;

③確定循環(huán)的終止條件.

I【基礎(chǔ)自測】I

1.閱讀如圖11—1—1的程序框圖，若輸入x=2,則輸出的y值為（)

A.0B.1C.2D.3

圖11-1-1

【答案】B

2.①算法可以無限的操作下去：

②算法的每一步操作必須是明確的、可行的；

③一個程序框圖一定包含順序結(jié)構(gòu)；

④一個程序框圖不一定包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).

以上說法正確的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

3.閱讀如圖11—1一2所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）

A.3B.4

C.5D.6

圖11-1-2

【答案】B

4.如圖11—1—3所示的程序框圖輸出的S是126,則①應(yīng)為

()

A.〃W5?B.〃W6?

C.啟7?D.〃W8?

n=l,S=O

圖11-1-3

【答案】B

感悟高考

5.（2013?山東高考）執(zhí)行兩次如圖11—1—4所示的程序框圖，若第一次輸入的a的值

為-1.2,第二次輸入的a的值為1.2,則第一次，第二次輸出的〃的值分別為（）

A.0.2,0.2B.0.2,0.8

C.0.8,0.2D.0.8,0.8

【答案】C

（結(jié)束〕

I

/輸入力/

Z輸啊/

圖11-1-4圖11-1-5

6.（2013?課標(biāo)全國卷I）執(zhí)行程序框圖11—1一5,如果輸入的￡￡[-1,3],則輸出的

S屬于()

A.[-3,4]B.[-5,2]

C.[-4,3]D.[-2,5]

【答案】A

突破掌握3個核心考向

考向一[194]利用程序框圖求值

(1)(2013?安徽高考)如圖11-1-6所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是

)

c25

A.7B，24

b

c.|D-T1

開始

S=0,i=1

S=2S+i

i=i+1

是I

/輸出j/

I

1結(jié)束〕

圖11—1—6圖11-1-7

(2)(2014?浙江高考)若某程序框圖如圖11—1—7所示，當(dāng)輸入50時，則該程序運行

后輸出的結(jié)果是

【答案】(DD(2)6

規(guī)律方法1L對條件結(jié)構(gòu)，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個分支中的

一個，不能同時執(zhí)行兩個分支.

2.利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，第?要確定是利用當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)：第二準(zhǔn)確表

示累計變量；第三要注意從哪?步開始循環(huán).

對點訓(xùn)練(1)(2013?北京高考)執(zhí)行如圖11—1—8所示的程序框圖，輸出的S值為

)

D則

A.1

987

/輸出s/

J]

(5?

圖11-1-8

(2)(2013?浙江高考)若某程序框圖如圖11—1一9所示，則該程序運行后輸出的值等于

9

【答案】⑴C(2)-

考向二［195］程序框圖的補(bǔ)充與完善

已知數(shù)列｛a｝中，石1=1,&+i=&+〃，利用如圖11—1—10所示的程序框圖計算該數(shù)

列的第10項，則判斷框中應(yīng)填的語句是()

A./?>10B.〃W10

C.〃<9D.

出加/

圖11-1-10

【答案】D

規(guī)律方法21.熟悉框圖的結(jié)構(gòu)與功能是解決此類問題的關(guān)鍵.

2.解答此題可以采用類比歸納的方式求解，如通過計算該數(shù)列的第1項，第2項，第

3項，探尋〃與乩的關(guān)系，從而得出正確答案.

對點訓(xùn)練（1）（2014?重慶高考）執(zhí)行如圖11—1—11所示的程序框圖，若輸出左的值

為6,則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）

k=9,s=l

k=k-l

圖11-1-11

374

A.s>"B.s>=C.s>77I).s>[

□1U□

（2）（2013?江西高考）閱讀如下程序框圖11—1—12,如果輸出/=4,那么空白的判斷

框中應(yīng)填入的條件是（）

圖11-1-12

A.S<8B.S<9C.S<10D.S<11

【答案】（DC（2）B

考向三［196］基本算法語句

運行如下所示的程序,輸出的結(jié)果是

a=\

b=2

a=a+b

PRINTa

END

【答案】3

規(guī)律方法31.本例主要考查程序框圖中的賦值語句，輸出語句.要注意賦值語句一般

格式中的“=”不同于等式中的“="，其實質(zhì)是計算“=”右邊表達(dá)式的值，并將該值賦

給“=”左邊的變量.

2.解決此類問題關(guān)鍵要理解各語句的含義，以及基本算法語句與算法結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系.

對點訓(xùn)練運行如下所示的程序，當(dāng)輸入小人分別為2,3時，最后輸出的勿的值為

INPUTa,b

IFa>bTHEN

m=a

ELSE

m=b

ENDIF

PRINTm

【答案】3

技能挖掘1大技法

易錯易誤之十八循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩個關(guān)鍵點一一計數(shù)變量與累加變量

-------------[1個示范例]-------------------------------

執(zhí)行如圖11—1—13所示的程序框圖，若輸入x=3,則輸出左的值是（）

A.3B.4C.5D.6

圖11-1-13

【解析】第一次循環(huán)：x=3+5=8,k=\

第二次循環(huán)：x=8+5=13,k=2

第三次循環(huán)：x=13+5=18,k=3

第四次循環(huán)：/=18+5=23,仁4

第五次循環(huán)：＞=23+5=28,々=5；

此時滿足條件輸出k=5.

在確定最后輸出的左值時，易出現(xiàn)認(rèn)為4=4而出錯.

---------------[1個防錯練]-------------------

【防范措施】1.在解決循環(huán)結(jié)構(gòu)問題時:一定要弄明白計數(shù)變量和累加變量.

2.讀程序框圖時，要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)的終止條件.

執(zhí)行如圖所給的程序框圖，則運行后輸出的結(jié)果是（)

A.3B.-3C.-2D.2

【解析】開始條件：s=0,了=1,(/W6)

i=l?/是奇數(shù)，可得s=O+l=l,

7=2,，是偶數(shù)，可得s=l—2=—1,

7=3,可得s=—1+3=2,

7=4,s=2-4=-2,

7=5,s=-2+5=3.

7=6,s=3—6=—3,7=7,輸出s=-3.

【答案】B

課時限時檢測（六十六）算法與程序框圖

（時間：60分鐘滿分：80分）一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.（2013?廣東高考）執(zhí)行如圖11—1—15所示的程序框圖，若輸入〃的值為3,則輸

出s的值是（）

l=lyS=l

i=i+l束,

圖11-1-15

A.1B.2C.4D.7

【答案】C

2.某程序框圖如圖11—1一16所示，若輸出的S=57,則判斷框內(nèi)為（）

圖11-1-16

A.Q4?B.A->5?

C.A>6?D.Q7?

【答案】A

3.閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間?萬內(nèi)，則輸入

的實數(shù)x的取值范圍是（）

A.（—8,—2]B.[—2,—1]

C.[—1,2]D.[2,+8)

/輸出/(%)/

（結(jié)束）

1結(jié)束）

圖11-1-17圖11-1-18

【答案】B

4.（2013?天津高考）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出

〃的值為（）

A.7B.6C.5I）.4

【答案】D

5.某班有24名男生和26名女生，數(shù)據(jù)"，出，…,張是該班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)學(xué)

業(yè)水平模擬考試的成績，下面的程序用來同時統(tǒng)計全班成績的平均數(shù)：兒男生平均分：M

女生平均分：倏為了便于區(qū)別性別，輸入時，男生的成績用正數(shù)，女生的成績用其成績的

相反數(shù)，那么在圖11-1-19里空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個選項中的

/輸出陰A/

SB

圖11-1-19

，什H?什/

A->0?"FB.7<0?,J="50-

J/-fl,If

C-7<0?,力=丁D.7>0?,J=~50~

【答案】D

6.（2013?福建高考）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，如果輸

入某個正整數(shù)〃后，輸出的S￡（1（）,20）,那么〃的值為（）

A.3B.4

C.5D.6

圖11—1一20圖11—1一21

【答案】B

二、填空題（每小題E分，共15分）

7.（2013?湖北高考）閱讀如圖11—1—21所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入

加的值為2,則輸出的結(jié)果＞=________.

【答案】4

8.下列程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是.

i=ll

S=1

DO

S=S*i

i=i-l

LOOPUNTILi<9

PRINTS

END

【答案】990

9.（2013?陜西高考）根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為6（）時，輸出y的值為

【答案】31

三、解答題（本大題共3小題，共35分）

10.（1。分）設(shè)計算法求與+/+/+…+赤焉;的值，并畫出程序框圖.

?人乙zAaj入qyyAiuu

【解】算法步驟：

第一步，令S=0,7=1.

第二步，若fW99成立，則執(zhí)行第三步；否則，輸出S,結(jié)束算法.

第三步，S=S+j3?

第四步，/=i+l,返I可第二步.

程序框圖：

法一當(dāng)型循環(huán)程序框圖：

法二直到型循環(huán)程序框圖:

/輸出s/

x+2'xVO,

11.(12分)已知函數(shù)〃x)=?4x=O,

x~2'x>0.

(1)若F(x)=16,求相應(yīng)x的值；

⑵畫程序框圖，對于輸入的x值，輸出相應(yīng)的人力值.

【解】(1)當(dāng)x<0時，f(x)=16,即(X+2)2=16,解得*=-6

當(dāng)x>0時，/(x)=16,即(x—2尸=16,解得x=6.

(2)程序框圖如圖所示：

CW?

危)=(%+2)2

/輸出加）/

圖11-1-22

12.（13分）已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖11—1一22,若k=5,k=\0

Rin

時，分別有和$=亓

11乙1

試求數(shù)列｛a｝的通項公式.

【解】由程序框圖可知，數(shù)列（&｝是等差數(shù)列，首項為句，公差為d

$c=1+■.1■.+■■■.+■1=—1（,-1---1-.-1-——―1+,???.+1-------1--）\=一1/（1----1-）、.

&&aa+id3\a?&a3/&+ida&+1

當(dāng)A=5時，S=（---）-^=—=-j^.

aiad獨國11

/.ai<fc=11,即a(a+5o!)=11①

當(dāng)衣=10時，5=(1--L)^=—=^Y，

clxcl\\acliZ1

/.aiaii=21,即a(a+10中=21②

由①，②聯(lián)立，得a=l,d=2,

因此&=a+(〃-1)d=2〃-1.

第二節(jié)合情推理與演繹推理

［考情展望］1.考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論.2.考查演

繹推理，主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等結(jié)合.

抓住2個基礎(chǔ)知識、

一、合情推理

1.歸納推理

(1)定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全都對象都具有這些

特征的推理，或者由個別事卷概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).

(2)特點：由部分到整體、由個別到一般的推理.

2.類比推理

(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類

對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比).

(2)特點：類比推理是由特殊到特繞的推理.

3.合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)

想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

二、演繹推理

1.演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱

為演繹推理」簡言之，演繹推理是由一般到特縫的推理.

2.“三段論”是演絳推理的一般模式：

(1)大前提一一已知的一般原理；

(2)小前提一一所研究的特殊情況；

(3)結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷.

I【基礎(chǔ)自測】I

1.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是

假命題，推理錯誤的原因是

()

A.使用了歸納推理

B.使用了類比推理

C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤

D.使用了“三段論”，但小前提錯誤

【答案】C

2.已知數(shù)列｛&,｝中,ai=l,時，&=a.-i+2〃-1,依次計算如國后，猜想

見的表達(dá)式是()

A.3/7-1B.4.^-3C.n-D.3'一

【答案】C

3.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2,則它們的面積比為1：4.類似地，

在空間中，若兩個正四面體的校長的比為1：2,則它們的體積比為_______.

【答案】1：8

4.觀察下列不等式：

1+懸

1+展+于+/〈下

???

照此規(guī)律，第孔個不等式為.

【答案】1+爐+啜+下+m+m正

感悟高考

55

5.觀察下列各式：a+6=l,/+力2=3,才+6=人」+〃=7,a+^=ll,則

+*()

A.28B.76

C.123D.199

【答案】C

6.(2013?陜西高考)觀察下列等式：

(1+1)=2X1,

(2+1)(2+2)=22XlX3,

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,

??????

照此規(guī)律，第〃個等式可為.

【答案】(〃+1)(〃+2)???(〃+n)=2〃XlX3X???X(2〃-1)

突破掌握3個核心考向

考向一［197］歸納推理

xX

設(shè)函數(shù)r(x)=言^(>>°)，且。(%)=/'(4)="7，當(dāng)且〃22時，，6(x)=/［￡

則E(x)=,猜想￡(x)(〃￡N*)的表達(dá)式為.

［曰案］7x+82"-1x+2,

規(guī)律方法11.解答本題的關(guān)鍵有兩點：(D利用函數(shù)定義，準(zhǔn)確求出E5)；(2)

發(fā)現(xiàn)各式中分母x的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.

2.歸納推理的一般步驟

(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì).

(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確衣述的一般性命題.

對點訓(xùn)練(2013?陜西高考)觀察下列等式：

12=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此規(guī)律，第〃個等式可為—

【答案】l2-22+3;-42+-+(-l)rt+1/72=(-l)^|/；

考向二［198］類比推理

八/)^~ma

已知數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，若%=熱m=6(〃一加21,勿，〃￡N"),則a^-=~----

nn-m

類比等差數(shù)列(a)的上述結(jié)論,對于等比數(shù)列｛4｝(4>0，〃￡")，若比=e,風(fēng)=d(n一42,

/〃，〃￡N"),則可以得到.

規(guī)律方法21.進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比，

提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.

2.類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維的類比；等差與等比數(shù)列類

比；數(shù)的運算與向量運算類比；圓錐曲線間的類比等.

對點訓(xùn)練在平面上，設(shè)兒、尿、兒是三角形力阿三條邊上的面，尸為三角形內(nèi)任一點,

〃到相應(yīng)三邊的距離分別為只，A,P,,我們可以得到結(jié)論：?+?+?=1.把它類比到空間,

nt,hbHe

則三棱錐中的類似結(jié)論為.

【答案】工+工+工+7=1

jiff/lbflcfid

考向三［199］演繹推理

/,+2

數(shù)列｛品｝的前n項和記為Sn,已知句=1,-二~F(〃eN*)，證明：

n

(1)數(shù)列:5］是等比數(shù)列；

(2)S+i=4a”.

【嘗試解答】(1)?.,a+1=$十1—S”&+】=嚀55,

???(〃+2)S=〃(S+LS),即〃5*=2(〃+l)S.

故｛￡｝是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列.(結(jié)論)

(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了).

(2)由(1)可知弋7=1-X(〃22),

n-rln—i

/.5H-I=4(/74-1)?=4?--?S-1=4&(〃22).(小前提)

n—1n~1

又二?全=3S=3,$=句+生=1+3=4=4國，(小前提)

???對于任意正整數(shù)力都有5+產(chǎn)4&.(結(jié)論)

規(guī)律方法3演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決

問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.

技能挖掘1大技法

易錯易誤之十九歸納推理不當(dāng)

-----------------------[1個示范例]-------------------

(2013?湖北高考)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)

1,3,6,10,…，第n個三角形數(shù)為~~今"一=1//+)〃.記第〃個左邊形數(shù)為N5,4)(423),

乙乙乙

以下列出了部分左邊形數(shù)中第〃個數(shù)的表達(dá)式：

三角形數(shù)3)=)/+)?,

正方形數(shù)M〃,4)="2,

3°1

五邊形數(shù)》(〃,5)=-77"—~/7,

w乙

六邊形數(shù)”(〃,6)=2/f一〃，

可以推測A)的表達(dá)式，由此計算M10,24)=.

【解析】由*(〃,4)=/九6)=24—〃，…，可以推測：當(dāng)a為偶數(shù)時，.、'(/?,k)

于是"（〃，24）故Mi。,24）=11。102—10乂10=1000.

求解本題常犯以下兩種錯誤：

一是不理解A)的含義；二是歸納不出當(dāng)A為偶數(shù)時，A)的內(nèi)在規(guī)律.

-----------------------[1個防錯練]

【防范措施】(1)借助熟知的三角形數(shù)，先明確并(〃,3)的含義，再領(lǐng)會"(〃，4)的實

質(zhì).

(2)求解/￥(10,24)的關(guān)鍵在于從*(〃,4)及川(/7,6)中，探尋出力為偶數(shù)時，N(〃，外的表

達(dá)式，進(jìn)而將〃=10,4=24代入求解便可.

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過

如圖11—2—1所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3,6,1C,…記為數(shù)列｛&｝,將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組

成一個新數(shù)列｛力3可以推測：

(1)也(M2是數(shù)列｛a｝中的第項；

(2)b>k-\—________.!用在表不)

【解析】(1)由圖可知為+】=&+(〃+1).

所以生一品=2,國-々=3,…，

累加得&-&i=2+3H--F〃，

即4=1+2+3+???+〃=^^―

乙

當(dāng)〃=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…時，品能被5整除，

即星=&>,bi=amh；=a、5,&=續(xù)。，…，

所以6以=祗((衣￡”).

所以b>Ol2=c?5xi006=W030.

i\k54—I

⑵由(1)可知物-尸氏-=gx5A(5A—1)=^~=——.

0kSA—1

【答案】(1)5030(2)-———

課時限時檢測(六十七)合情推理與演繹推理

(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.如圖11—2—2是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照

此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()

圖11-2-2

ABCD

【答案】A

2.觀察(V”=2x,(V)'=4e(cosx)1=—s:nx,由歸納推理可得：若定義在R

上的函數(shù)f(x)滿足/'(-X)=f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(-*)=()

A.f(x)B.~f(x)

C.g(x)D.—g(x)

【答案】D

3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)=sin(，+l)是正弦函數(shù)，因此f(x)=sin(y+l)是奇函

數(shù)，以上推理()

A.結(jié)論正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D.全不正確

【答案】C

4.(2014?安陽模擬)我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為

定值噂a，類比上述結(jié)論，在邊長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值

)

亞B半

A.3a4

D.平a

c.當(dāng)

【答案】A

5.觀察下列各式：7:=49,73=343,71=2401,則72°”的末兩位數(shù)字為（）

A.01B.43

C.07I）.49

【答案】B

6.已知函數(shù)y=/tY）的定義域為〃，若對于任意的M,〃（乂工照），都有/f）＜

,M?"，則稱了=/G）為〃上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為（）

A.y=log2XB.y=y[x

C.y=xD.y=x

【答案】C

二、填空題（每小題￡分，共15分）

7.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：

①由“〃〃?=〃〃/"類比得到"a?b=b?a'；

②由“（加+〃）t=/nt+nt”類比得到“（a+8）,c=a,c+b?c”；

③由“fKO,mt=xt0m=x"類比得到"pWO,a,p=x?p=＞a=x'＞；

④由a\m*n\=m\?|n\"類比得到“a*b\=\a\,\b\n.

以上結(jié)論正確的是.

【答案】①②

8.已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式:鎘+、&＜2寸15,"1+舊1V2小,

?8+小+112-?。??,根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對正實數(shù)如〃都成立的

條件不等式.

【答案】若正數(shù)如〃滿足m+〃=20時，有近+近〈2如

9.（2013?安徽高考）如圖11—2—3,互不相同的點4,4,…，兒，…和兒用，…，

房，…分別在角。的兩條邊上，所有4房相互平行，目.所有梯形/L8H+I/U】的面積均相等，

設(shè)OA?=an.若d=1,續(xù)=2,則數(shù)列｛&｝的通項公式是.

0

【答案】a,-^n~2

三、解答題(本大題共3小題，共35分)

10.(10分)觀察下表：

1,

2,3

4,5,6,7,

8,9,10,11,12,13,14：15,

???

問：(1)此表第〃行的最后一個數(shù)是多少？

⑵此表第刀行的各個數(shù)之和是多少？

(3)2013是第幾行的第幾個數(shù)?

【解】(1)???第〃+1行的第1個數(shù)是2",

???第〃行的最后一個數(shù)是2"—1.

2L02"—1?2廣1

(2)2/,-,+(2"f+D+(21+2)+???+(2"—1)=-------------------=3-22^3-2°-2.

乙

101,

(3)V2=l024,2=2048,1024<2013<2048；

：.2013在第11行，該行第1個數(shù)是2m=1024,

由2013—1024+1=990,知2013是第11行的第990個數(shù).

11.(12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：

?sin213o+COS217°-sin13°cos17°；

@sin'150+cosJ15°—sin150cos15°；

@sin2180+COS2120-sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+COS2480-sin(-18°)cos48°；

@sin2(—25°)+COS255°-sin(-25°)cos55°.

⑴試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

【解】(1)選擇②式，計算如下：

13

sin'150+cosJ150—sin150cos15°=1—~sin30°=~

(2)歸納三角恒等式sin2a+cos2(300-a)-sincos(30°一。)=；.

證明如下：

sin2a4-COS2(30°—a)—sinacos(30°—a)

1—cos2a,l+cos60°—2a/…,,….、

=---------+-----------------—sino(cos30coso+sin30sin°)

乙乙

=＜一4cos2a+!+J(cos60。cos2c?+sin60°sin2a)一省sinacosa—^sin2a

=)-Jcos2a+^+1cos2a+乎sin2a-乎isn2a-；(1-cos2o)

12.（13分）在Rt△45C中，ABA.AC,ADIBC于。,求證：表=表+》，那么在四面體

ABCD中,類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.

【證明】如圖所示，由射影定理

A4=BD*DC,AE=BD?B3

Ad=B5DC,

.1_1

,'A方-BD?DC

BC_Bd

BD?BODO8。=仍-/C

乂初=力夕+力

.J__而+-__1_J_

??萬二A百,力/=茄+茄?

猜想，四面體力比力中，孫AC.力〃兩兩垂直，4T1平面龐〃則士=白+與+右.

AnA/fACAD

證明：如圖，連接虛并延長交S于尸，連接":

^ABVAC,ABLAD,

???/18_L平面ACD.

：.AB±AF.

在Rt/Vl即中，AEVBF,

?-L=-L+-L

AE~AB^Af^'

在口△/1切中，AFLCD,

??他144十〃'十力"

故猜想正確.

第三節(jié)直接證明與間接證明

［考情展望］1.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程.數(shù)列知識為載體，考查

分析法、綜合法和反證法的原理.2.結(jié)合具體問題考查學(xué)生運用上述三種方法解決問題的能

力.

本抓住2個基礎(chǔ)知識點

一、直接證明

內(nèi)容綜合法分析法

利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成

定義理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證,立的充分條件,直至最后，把要證明的

最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件

實質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因

框圖

四日卜|。-@一,,」周一1一…

表示

^43一得到一個明顯成立的條件

二、間接證明

反證法：假設(shè)原命題不成土(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最

后得出矛盾.因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.

反證法中的“矛盾”所包含的層面:

⑴與已知條件矛盾；

⑵與假設(shè)矛盾；

(3)與定義、公理、定理矛盾：

(4)與事實矛盾.

I【基礎(chǔ)自測】I

1.用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應(yīng)假設(shè)()

A.三個內(nèi)角都不大于60。

B.三個內(nèi)角都大于6于

C.三個內(nèi)角至多有一個大于60°

D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60°

【答案】B

2.命題''對于任意用cos"。一sir?〃=cos2的證明：“cos'。-sin。=

（cos26—sir/0）（cos2伊+sin’，）=cos20—sin20=cos2夕”過程應(yīng)用了（）

A.分析法

B.綜合法

C.綜合法、分析法綜合使用

D.間接證明法

【答案】B

3.要證：/+9一1一才爐W0,只要證明（）

A.2瓶一1一步爐WOB.

?0

卜2

C.3—1—D.（才一1）（斤一1）20

乙

【答案】D

4.用反證法證明命題“如果那么時，假設(shè)的內(nèi)容是

【答案】需忘赤

突破掌握3個核心考向

考向一[200]綜合法

已知a,b,。為正實數(shù)，a+/)+c=l,求證：/+4+12；

O

【嘗試解答】法一??%+〃+0=1

?，?(a+6+o)2=3+〃+/4-2aZ?+2ac+2Z?c^a24-Z?24-<?24-c?24-Z>~+3+/+//+/=3(才

+Z?2+c2)

:.4+毋+/2；

法二設(shè)<?=-+a，/?=-+B,c=-+y.

JJJ

貝ij由a+b+。=1可知。+尸+/=0

???,+"d=G+"）+《+￡）+《+y

i2

=-+T（a+￡+y）+a4夕'+r2

JJ

=J+/+￡'+y22；.

JJ

規(guī)律方法11.綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知（從題設(shè)到

結(jié)論）的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷（命題）出發(fā)，經(jīng)過?系列

的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性.

2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.

對點訓(xùn)練（2013?安徽高考改編）設(shè)數(shù)列｛,｝滿足a=2,功+%=8,且對任意〃￡N\

函數(shù)f{x）=（4一品+1+&42）x+d+icosx-a+2sinx滿足產(chǎn)傳）=0.

求證：數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列.

【證明】由題設(shè)可得6（x）=&-a+1+&+2-&+isinx-&+2cosx.

對任意〃￡N\f（萬）=即一&+i+/+2—品+1=0,

即4+1一%一當(dāng)卜2—4]，故｛a｝為等差數(shù)列.

考向二[201]分析法

【嘗試解答】由已知及力0可知0<從1,

ba

要證，1++J-,

V]一〃

只需證也+a,y]\-b>1,

只需證1+a一6一位1,

Q—°]]

只需證a—b—仍>0即——>1,即7—>1.

anba

這是已知條件，所以原不等式得證.

規(guī)律方法21.對于無理不等式，常用分