高考數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)復(fù)習(xí)

單元知識(shí)總結(jié)

一、不等式的性質(zhì)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的大小關(guān)系

(l)a—b>O<^>a>b；

<(2)a-b=0<=>a=b；

(3)a—b<0oa<b.

(4)7>le>a>b；

b

若a、bGR*,則，(5)7-=l<z>a=b：

b

(6)：<1oaVb.

b

2.不等式的性質(zhì)

(l)a>bu>bVa(對(duì)稱性)

a>b

(2)na>c(傳遞性)

b>c

(3)a>b<=>a+c>b+c(力口法單調(diào)性)

a>b

=>ac>bc

c>0

(4)（乘法單調(diào)性）

a>b

c<0

(5)a+b>cna>c—b(移項(xiàng)法則)

a>b

⑹c>dna+c>b+d（同向不等式可力口）

a>b

⑺cVd=Lc>b—d（異向不等式可減）

a>b>01

(8)=>ac>bd(同向正數(shù)不等式可乘)

c>d>0

a>b>01ab

(9乂)異向正數(shù)不等式可除)

0<c<dJcd

a>b>0

(10)…=>an>b。(正數(shù)不等式可乘方)

a>b>()「「

(11)、Tn或〉行(正數(shù)不等式可開方)

(⑵a>b>°n：V((正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù))

3.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

(a20),

(l)|a|Na；|a|=

(a<0).

(2)如果a>0,那么

|x|Vaox-<a-=—a<x<a；

|x|>a<=>x2>a2=x>a或xV—a.

(3)|a?b|=|a|?|b|.

(4)仁|=K(bWO).

b|b|

(5)|a|—|b|^|a±b|^|a|+|b|.

(6)|a,+a?+.......+a?|<|aJ+|a2|+........+|a..|.

二、不等式的證明

1.不等式證明的依據(jù)

(1)實(shí)數(shù)的性質(zhì)：a>b同號(hào)0ab>0；a、b異號(hào)oabVO

a—b>0<=>a>b；a—bVOoaVb；a—b=0<=>a=b

(2)不等式的性質(zhì)(略)

(3)重要不等式:?|a|>0；空>0；(a-b>>O(a>beR)

②於+b222ab(a、b￡R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"二”號(hào))

_i_hI

③22V^(a、bGR,,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào))

2.不等式的證明方法

(1)比較法:要證明a>b(a<b),只要證明a—b>O(a—b<

0),這種證明不等式的方法叫做比較法.

用比較法證明不等式的步驟是：作差一一變形一一判斷符

號(hào).

(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明

過的不等式，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明不等式

的方法叫做綜合法.

(3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成

立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時(shí)，從而斷定原不

等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法.

證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸

納法等.

三、解不等式

1.解不等式問題的分類

(1)解一元一次不等式.

(2)解一元二次不等式.

(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式.

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

(8)阿jVg(x)與，xfx)］同解

f(x).0

(9)當(dāng)a>1時(shí),am>a9與f(x)>g(x)同解,當(dāng)0<a<l時(shí),

與f(x)Vg(x)同解.

(10)當(dāng)a>l時(shí)，logaf(x)>log&g(x)與彳同解?

f(x)<g(x)

當(dāng)OVaVl時(shí)，logaf(x)>logug(x)與，f(x)>()同解.

g(x)>0

單元知識(shí)總結(jié)

一、坐標(biāo)法

1.點(diǎn)和坐標(biāo)

建立了平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和一對(duì)有序?qū)?/p>

數(shù)(X,y)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

2.兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x”y),P(x,y),則兩點(diǎn)間的距離

ppXX212

li2l=7(2I)(y2-yi)

特殊位置的兩點(diǎn)間的距離，可用坐標(biāo)差的絕對(duì)值表示：

⑴當(dāng)x尸x時(shí)(兩點(diǎn)在y軸上或兩點(diǎn)連線平行于y軸)，則

|PP|=|y—y,|

(2)當(dāng)y尸y：時(shí)(兩點(diǎn)在x軸上或兩點(diǎn)連線平行于x軸)，則

|PP|=|X-X,|

3.線段的定比分點(diǎn)

(1)定義：設(shè)P點(diǎn)把有向線段正分成暗和隨兩部分，那么有向

線段暗和垣的數(shù)量的比，就是P點(diǎn)分眄所成的比，通常用人表示，

pp___

即入=木，點(diǎn)P叫做分線段PF2為定比人的定比分點(diǎn).

當(dāng)P點(diǎn)內(nèi)分質(zhì)時(shí)，x>o；當(dāng)P點(diǎn)外分麗時(shí)，x<o.

(2)公式：分P(x”y)和P(x,y)連線所成的比為人的分點(diǎn)

坐標(biāo)是

x,+Xx.

特殊情況，當(dāng)p是PF2的中點(diǎn)時(shí)，入=1，得線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)

公式

X]+X2

."2

V2

二、直線

1.直線的傾斜角和斜率

(1)當(dāng)直線和x軸相交時(shí)，把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角，叫做這條直線的傾斜角.

當(dāng)直線和x軸平行線重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為0.

所以直線的傾斜角?！闧0,叮).

(2)傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直

線的斜

率，直線的斜率常用k表示，RPk=tana(a

/.當(dāng)k2()時(shí)，a二arctank.(銳角)

當(dāng)kVO時(shí)，a=n-arctank.(鈍角)

(3)斜率公式:經(jīng)過兩點(diǎn)P,(x?y)、P(x1,yj的直線的斜率

為

2.直線的方程

⑴點(diǎn)斜式已知直線過點(diǎn)(x“y),斜率為k,則其方程為:

y-y.=k(x—X,)

(2)斜截式已知直線在y軸上的截距為b,斜率為k,則

其方程為：y=kx+b

(3)兩點(diǎn)式已知直線過兩點(diǎn)(X”y)和(x”y),則其方程為:

(4)截距式已知直線在x,y軸上截距分別為a、b,則其

方程為：

XV

-+-=1

ab

(5)參數(shù)式已知直線過點(diǎn)P(x,?yj,它的一個(gè)方向向量是

(a,b),

x=x+at

則其參數(shù)式方程為°n-(1為參數(shù))，特別地，當(dāng)方向向量為

[y=y0+bt

V(COSQ,sinQ)(a為傾斜角)時(shí)，則其參數(shù)式方程為

X=xo+tcosQ

(I為參數(shù))

y=y0+tsina

這時(shí)，t的幾何意義是tv=poP，|t|=|p0p|=|p0p|

(6)一般式Ax+By+C=()(A、B不同時(shí)為()).

(7)特殊的直線方程

①垂直于x軸且截距為a的直線方程是x=a,y軸的方程是

x=0.

②垂直于y軸且截距為b的直線方程是y=b,x軸的方程

是y=0.

3.兩條直線的位置關(guān)系

(1)平行：當(dāng)直線，和，有斜截式方程時(shí)，k,=k,且bWb..

ARC

當(dāng)/]和，2是一般式方程時(shí)，=~D~

A22

(2)重合：當(dāng)/和，有斜截式方程時(shí),k,二k且b產(chǎn)b”當(dāng)/和L

是

A._B.C.

一般方程時(shí),

A,BeC)

(3)相交:當(dāng)/,Z是斜截式方程時(shí)，kHk

AR

當(dāng)心/,是一般式方程時(shí)，六W廿

A2B2

A.x+B,y+C,=0

交點(diǎn)：的解

Ax+By+C=0

①222

斜＜到角：4到6的角tan。=：(1+口2r0)

交

夾角公式：乙和4夾角tan0=l：213(l+k]k2H0)

1?K?K2

…工士（當(dāng)6和4有敘截式方程時(shí)，k,k=-1

②垂R?2

［當(dāng)人和乙是一般式方程時(shí)，AA+B1B2=O

4.點(diǎn)P（x“y）與直線/：Ax+By+C=O的位置關(guān)系：

Ax0+By0+C=0=P在直線/上（點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程）

Ax0+Byo+C#0u>P在直線/外.

點(diǎn)P（x0,y。）到直線/的距離為：dJAx（）+「y°：C|

VA-+B~

5.兩條平行直線L:Ax+By+C=0,I：Ax+By+C=0間

的距離為：d;.

VA2+B2

6.直線系方程

具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方

程的特點(diǎn)是除含坐標(biāo)變量x,y以外，還含有特定的系數(shù)（也稱

參變量）.

確定一條直線需要兩個(gè)獨(dú)立的條件，在求直線方程的過程

中往往先根據(jù)一個(gè)條件寫出所求直線所在的直線系方程，然后

再根據(jù)另一個(gè)條件來確定其中的參變量.

（1）共點(diǎn)直線系方程：

經(jīng)過兩直線/,：Ax+By+C=0,/:Ax+By+C=0的交點(diǎn)

的直線系方程為：A,x+By+C,+'（Ax+By+C）=0,其中'

是待定的系數(shù).

在這個(gè)方程中，無論入取什么實(shí)數(shù)，都得不到A,x+B.y+

C=0,因此它不表示/：,?當(dāng)人=0時(shí),即得A,x+By+C=0,此

時(shí)表示1、.

(2)平行直線系方程：直線y=kx+b中當(dāng)斜率k一定而b變

動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線Ax+By+C=O平行的直

線系方程是Ax+By+入=0(入WC),人是參變量.

(3)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0(AW0,BW0)

垂直的直線系方程是：Bx-Ay+X=0.

如果在求直線方程的問題中，有一個(gè)已知條件，另一個(gè)條

件待定時(shí)，可選用直線系方程來求解.

7.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

(1)二元一次不等式Ax+By+C>()(或V0)表示直線Ax+

By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.

二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示

的平面點(diǎn)集的交集，即各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部

分.

(2)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值

或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題，

例如，z=ax+by,其中x,y滿足下列條件：

A|X+B|y+C|2()(或W0)

4/+84+口20(或忘0)

,~~_(*)

AnX+BnX+Cn20(或W0)

求Z的最大值和最小值，這就是線性規(guī)劃問題，不等式組

(*)是一組對(duì)變量X、y的線性約束條件，z=ax+by叫做線性目

標(biāo)函數(shù).滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可

行解組成的集合叫做可行域，使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最

小值的可行解叫做最優(yōu)解.

三、曲線和方程

1.定義

在選定的直角坐標(biāo)系下，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元

方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：

(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解(一點(diǎn)不

雜)；

(2)以方程f(x,y)=()的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)(一

點(diǎn)不漏).

這時(shí)稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程；曲線C為方程f(x,

y)=0的曲線(圖形).

設(shè)P={具有某種性質(zhì)(或適合某種條件)的點(diǎn)},Q={(x,

y)|f(x,y)=0},若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x“yj,則用集合的觀點(diǎn),

上述定義中的兩條可以表述為：

⑴M￡P(guān)n(x°,y0)eQ,即P=Q；

(2)(x0,yo)eQ=M￡P(guān),即QqP.

以上兩條還可以轉(zhuǎn)化為它們的等價(jià)命題(逆否命題)：

(l)(x()，y0)任QnM它P；

(2)M任Pn(Xo，y0)紀(jì)Q.

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)PqQ且QqP,即P=Q時(shí)，才能稱方程f(x,y)=0

為曲線C的方程；曲線C為方程f(x,y)=0的曲線(圖形).

2.曲線方程的兩個(gè)基本問題

(1)由曲線(圖形)求方程的步驟：

①建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用變數(shù)對(duì)(x,y)表示

曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②立式：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合p={M|p(M)}；

③代換：用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0；

④化簡(jiǎn)：化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；

⑤證明：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

上述方法簡(jiǎn)稱“五步法”，在步驟④中若化簡(jiǎn)過程是同解變

形過程；或最簡(jiǎn)方程的解集與原始方程的解集相同，則步驟⑤

可省略不寫，因?yàn)榇藭r(shí)所求得的最簡(jiǎn)方程就是所求曲線的方

程.

(2)由方程畫曲線(圖形)的步驟：

①討論曲線的對(duì)稱性(關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn))；

②求截距：

方程組二°的解是曲線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

y=0

方程組=。的解是曲線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

x=0

③討論曲線的范圍；

④列表、描點(diǎn)、畫線.

3.交點(diǎn)

求兩曲線的交點(diǎn)，就是解這兩條曲線方程組成的方程組.

4.曲線系方程

過兩曲線f(K,y)=0和f(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程是f(x,

y)+Xf(x,y)=0(入￡R).

四、圓

1.圓的定義

平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓.

2.圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)+(y—b)=r.(a,b)為圓心,r為半徑.

特別地：當(dāng)圓心為(0,())時(shí)，方程為x：+y=r

(2)一般方程x;+y+Dx+Ey+F=0

…D,E,D2+E2-4F

配方(x+y)2+(y+-)2=-----------

DF

當(dāng)D'+E?—4F>()時(shí)，方程表示以(一3，—3)為圓心，以

1&)2+E2-4F為半徑的圓；

力F

當(dāng)D2+E2—4F=0時(shí)，方程表示點(diǎn)(一5，

當(dāng)D+E—4FV0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，無軌跡.

(3)參數(shù)方程以(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方

程為

x=a+rcos0

.0（0為參數(shù)）

y=ub+rsinU

特別地，以(0,0)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為

x=rcos0,

0（。為參數(shù)）

y=rsin0

3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑為!*.

(1)點(diǎn)在圓外od>r；

(2)點(diǎn)在圓上od二r；

⑶點(diǎn)在圓內(nèi)odVr.

4.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線/：Ax+By+C=0和圓C：(X—a)J+(y—b)=r,則

|Aa+Bb+C|

d=—.=~.

VA2+B2

(1)相交o直線與圓的方程組成的方程組有兩解，△>()或dVr；

(2)相切o直線與圓的方程組成的方程組有一組解，△=0或4=r；

(3)相離<=>直線與圓的方程組成的方程組無解，△V0或d>r.

5.求圓的切線方法

(1)已知圓x：+y+Dx+Ey+F=().

①若已知切點(diǎn)(x：,y.)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x+x())+E(y+y0)

xx=yy+---------+F=0.

o()2

當(dāng)(x()，y0)在I員I外時(shí)，x()x+yoy+D(x°，)+F=0表示

過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.

②若已知切線過圓外一點(diǎn)(x“，y”)，則設(shè)切線方程為y-

y-k(x-xt),再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，注意不

要漏掉平行于y軸的切線.

③若已知切線斜率為k,則設(shè)切線方程為y=kx+b,再利

用相切條件求b,這時(shí)必有兩條切線.

(2)已知圓x+y=r.

①若已知切點(diǎn)P,(x“y)在圓上，則該圓過P點(diǎn)的切線方程

為x.,x+y.：y=r.

②已知圓的切線的斜率為k,圓的切線方程為丫=kxirx/k^+l.

6.圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓圓心分別為O、0,半徑分別為「、n,則

(1)兩圓外切oQQzl=「1+「2；

⑵兩圓內(nèi)切0QQ2IW-M；

⑶兩圓相交。匕一「21<1。。21<勺+12.

單元知識(shí)總結(jié)

一、圓錐曲線

1.橢圓

⑴定義

定義1：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)E、E的距離之和等

于常數(shù)(大于|FE|),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦

點(diǎn)).

定義2：點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離

的比是常

數(shù)?=￡(0<e<J)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓.

a

(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程

圖8-2

圖8—1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1十%=l(a>b>0)

a-tr

22

圖8—2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：今+4=l(a>b>0)

b-a~

(3)幾何性質(zhì)

條件{M|MF1|+|MF2|=2a,23>^^2|}

|MFJ|MF?

.I點(diǎn)M到L的距離一點(diǎn)M到％的距離一°<eVl}

標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2x2v2

—+^-=l(a>b>0)_+2_=l(a>b>0)

a2b2b~a~

頂點(diǎn)AQa,0),A2(a,0)A((0,-a)?A2(0,a)

B](0>—b),Bj(O,b)Bj(—b>0)?BjCb?0)

軸對(duì)稱軸:x軸，y軸.長(zhǎng)軸K[A]A2=2a,短軸長(zhǎng)IB^Hb

焦點(diǎn)Fj(—c,0),F2(C?0)F](0,—c),F2(0,c)

222

焦距|F|F2|=2C(C>0),c=a—b

單元知識(shí)總結(jié)

一、圓錐曲線

1.橢圓

⑴定義

定義1：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)E、E的距離之和等

于常數(shù)(大于IFF」)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦

點(diǎn)).

定義2：點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離

的比是常

數(shù)e=￡(OVeVl)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓.

a

(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程

佟|8-1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—7+^7=l(a>b>0)

ab

22

佟|8—2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—Y+=1(a>b>0)

b~a-

(3)幾何性質(zhì)

條件{M|MF1|+|MF2|=2a,2a>\V^2\}

IMFJIMF.

〈Ml點(diǎn)M到L的距離-點(diǎn)M到I2的距離i0<eVl}

標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2X2y2

—+^-=I(a>b>0)—+^v=l(a>b>0)

a"b~h'a"

頂點(diǎn)A((—a,0),A2(a,0)A|(0?-a),A2(0>a)

B](0,-b),B2(0,b)B,(-b,0),B^b,0)

軸對(duì)稱軸：x軸,y軸.長(zhǎng)軸長(zhǎng)[A]A2=2a,短軸長(zhǎng)

—

焦點(diǎn)F|(c>0)?F2(C,0)F|(0,—c)?F2(0,c)

222

焦距|F|F2|=2C(C>0),c=a—b

離心率e=-((Xe<l)

a

222)

.a".

準(zhǔn)線方程/|：x=----：l?x=—：y=----:h：y——

c2ccc

|MF]|=a+ex0,|MF1|=a+ey0,

住占半徑

|MF2|=a-ex0|MF2|=a-ey0

>外

22

點(diǎn)和橢圓金十的>=1=（X0,y0）在橢圓上

的關(guān)系

<內(nèi)

(k為切線斜率)，(k為切線斜率)，

y=kx±Va2k2+b2y=kx±Vb2k2+a2

切線方程二+型=1x(/+y°y_]

a2b2b2a2

（x。，y（））為切點(diǎn)(x0,yO)為切點(diǎn)

（x（l,y（））在橢圓外（x0,y（））在橢圓外

切點(diǎn)弦*十維=1十緝=]

方程a2b2b2a2

氏一*]|川+1<2或|〃一丫2|，1+3

弦長(zhǎng)公式

其中（X1,y1）,（X2，丫2）為割弦端點(diǎn)坐標(biāo)，k為割弦所在直

線的斜率

2.雙曲線

（1）定義

定義1：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)E、R的距離的差的絕對(duì)值等

于常數(shù)（小于|FE|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲

線的焦點(diǎn)）.

定義2：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之

比是常數(shù)e（e>l）時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線（這定點(diǎn)叫做雙

曲線的焦點(diǎn)）.

（2）圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程

圖8-3的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

22

—鼻=l(a>0,b>0)

a-1

圖8—4的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

y2x2

z--7=l(a>0,b>0)

a7'b

(3)幾何性質(zhì)

P=[M|MF1|-|MF2|=2a,a>0,2a<\P^].

條件p_(M|IMFJ_|M-_

T?點(diǎn)M到L的距離一點(diǎn)M到I2的距離一勤eb

22V2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程二一==1包>0,b>0)二一r=l(a>0,b>0)

a2b2a-b-

頂點(diǎn)A|(~a?0)?A2(a?0)A|(0,-a),A2(0>a)

軸對(duì)稱軸:x軸,y軸,實(shí)軸長(zhǎng)|A]A?|=2a,虛軸長(zhǎng)出圍|=26

住占

八，、、、Fj(-c,0),F2(C,0)F[(0,-c).F2(0,c)

焦距|F]F?|=2c(c>0),c2=a2+b2

離心率e=-(e>l)

a

._a2._a2a"aJ

/]：x———；1,：x------/i：y=———：I、：y=——

準(zhǔn)線方程C-ccc

漸近線y=±，(或]一「=0)y=±：x(或t-]=0)

方程aa~b~ba-b~

共漸近線鳥-￥-y2x2

k(k/0)彳一彳

的雙曲線=k(k￥0)

a2b2a2b2

系方程

|MF1|=ex+a,|MF)|=ey+a,

焦點(diǎn)半徑00

|MF|=ex—a|MF|=ey—a

y2RA0llIkuy2KA0URll

(k為切線斜率)(k為切線斜率)

k>2或kV-匕k>3或kv-色

aabb

JUJ_U=j

切線方程a，/1

a9b，

（（x0?y（））為切點(diǎn)（（x（ry（））為切點(diǎn)

Xy+y（）X2

xy=az的切線方程：°=a（（x0,y0）為切點(diǎn)

2

（X。，y。）在雙曲線外(x,y())在雙曲線外

切點(diǎn)弦0

x（）x_yy_yy_xx_

方程a2bo」co

a'b"

凡一xjJi+k?或+J

弦長(zhǎng)公式

其中（x「y,）,（x2,y?）為割弦端點(diǎn)坐標(biāo)，k為

割弦所在直線的斜率

3.拋物線

（1）定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌

跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線/叫做拋物

線的準(zhǔn)線.

(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，類型及幾何性質(zhì)，見下表:

①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下特點(diǎn)：都以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以一

條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸；方程不同，開口方向不同；焦點(diǎn)在對(duì)稱軸

上，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線距離.

②p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離.

③弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線為y=kx+b拋物線為y?=2px,|AB|=Vl+k2

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：|AB|=p+xi+xz

4.圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一

定義

與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的

軌跡叫做圓錐曲線，定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫

做離心率，用e表示，當(dāng)OVeVl時(shí)，是橢圓，當(dāng)時(shí)，

是雙曲線，當(dāng)e=l時(shí)，是拋物線.

二、利用平移化簡(jiǎn)二元二次方程

1.定義

缺xy項(xiàng)的二元二次方程Ax2+Cy，+Dx+Ey+F=()(A、C

不同時(shí)為⑴※，通過配方和平移，化為圓型或橢圓型或雙曲線

型或拋物線型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的過程，稱為利用平移化簡(jiǎn)二元

二次方程.

A=C是方程※為圓的方程的必要條件.

A與C同號(hào)是方程※為橢圓的方程的必要條件.

A與C異號(hào)是方程※為雙曲線的方程的必要條件.

A與C中僅有一個(gè)為。是方程※為拋物線方程的必要條件.

2.對(duì)于缺xy項(xiàng)的二元二次方程：

Ax=+Cy，+Dx+Ey+F=O(A,C不同時(shí)為0)利用平移變換,

可把圓錐曲線的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其方法有：①待定系

數(shù)法；②配方法.

橢圓：3+W=l或3+普=1

a2b2b2a2

中心O'(h,k)

雙曲線：—經(jīng)更=i或叱一

a~b~a~b-

中心O'(h,k)

拋物線：對(duì)稱軸平行于x軸的拋物線方程為

(y—k>=2p(x—h)g!c(y—k)3=—2p(x—h),

頂點(diǎn)O'(h,k).

對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線方程為：

(x—h)2=2p(y—k)^c(x—h)2=—2p(y—k)

頂點(diǎn)O'(h,k).

以上方程對(duì)應(yīng)的曲線按向量a=(—h,—k)平移，就可將其

方程化為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

離心率e=-（O<e<l）

a

a2,a2.a2.a2

準(zhǔn)線方程/z,：x=----；/：x=—/［：y=----；G：y=—

c2ccc

|MF||=a+ex0,|MF||=a4-ey0,

隹占半徑

|MF2|=a—ex0|MF2|=a—ey0

>外

點(diǎn)和橢圓巫+4=10（Xo，y0）在橢圓上

的關(guān)系azb~

<內(nèi)

（k為切線斜率）,（k為切線斜率）,

y=kx±Va2k2+b2y=kx±Vb2k2+a2

切線方程w+邛=1學(xué)+#=1

a"b'b~a-

（x（i?y0）為切點(diǎn)（xo?y0）為切點(diǎn)

（x0，y。）在橢圓外（x0,y。）在橢圓外

切點(diǎn)弦w+邛=]咨+紗=]

方程a*b~b2a2

氏一]|，1+1<2或|以一丫2|/+±

弦長(zhǎng)公式

其中（X1,Y|）,（x2?丫2）為割弦端點(diǎn)坐標(biāo)，k為割弦所在直

線的斜率

2.雙曲線

⑴定義

定義1：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)E、E的距離的差的絕對(duì)值等

于常數(shù)（小于|FE|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲

線的焦點(diǎn)）.

定義2：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之

比是常數(shù)e(e>l)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(這定點(diǎn)叫做雙

曲線的焦點(diǎn)).

(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程

圖8—3的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

x2y2

--------r=l(a>O,b>0)

a~b~

圖8—4的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

y2x2

J——r=l(a>0,b>0)

a~b~

(3)幾何性質(zhì)

P=[M|MF1|-|MF2|=2a,a>0,2a<\P^].

條件p_(M|IMFJ_|M-_

T?點(diǎn)M到L的距離一點(diǎn)M到I2的距離一勤eb

22V2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程二一==1包>0,b>0)二一r=l(a>0,b>0)

a2b2a-b-

頂點(diǎn)A|(~a?0)?A2(a?0)A|(0,-a),A2(0>a)

軸對(duì)稱軸:x軸,y軸,實(shí)軸長(zhǎng)|A]A?|=2a,虛軸長(zhǎng)出圍|=26

住占

八，、、、Fj(-c,0),F2(C,0)F[(0,-c).F2(0,c)

焦距|F]F?|=2c(c>0),c2=a2+b2

離心率e=-(e>l)

a

._a2._a2a"aJ

/]：x———；1,：x------/i：y=———：I、：y=——

準(zhǔn)線方程C-ccc

漸近線y=±，(或]一「=0)y=±：x(或t-]=0)

方程aa?b~ba-b~

共漸近線鳥-￥-y2x2

k(k/0)彳一彳

的雙曲線=k(k￥0)

a2b2a2b2

系方程

|MF1|=ex+a,|MF)|=ey+a,

焦點(diǎn)半徑00

|MF|=ex—a|MF|=