江蘇省蘇州市昆山經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本張?jiān)嚲砜偡譃?50分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上.3.請(qǐng)將答案填涂填寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效.一、單選題：本大題共8題，每題5分，共計(jì)40分.1.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.和2.設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A.2 B. C.-1 D.-23.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)在上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.5.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.6006.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.若對(duì)任意的，且，都有成立，則的最大值為（）A B.1 C.e D.8.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)圖象的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選題：本大題共3題，每題6分，共計(jì)18分.9.已知函數(shù)那么下列說(shuō)法正確的是（）A.，在點(diǎn)處有相同切線B.函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)C.對(duì)任意恒成立D.，的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)10.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確是（）A.在處取得極大值B.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C.D當(dāng)時(shí)，方程有兩解11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為C.若在上為減函數(shù)，則D.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則三、填空題：本大題共3題，每題5分，共計(jì)15分.12.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．13.設(shè)，函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______14.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)滿足，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四、解答題：本大題共5題，共計(jì)77分.15.已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．16.已知函數(shù)（1）若直線與曲線相切，求a的值；（2）若存在，使得，求a的取值范圍．17.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；（2）若，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本張?jiān)嚲砜偡譃?50分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上.3.請(qǐng)將答案填涂填寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效.一、單選題：本大題共8題，每題5分，共計(jì)40分.1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.和【答案】B【解析】【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A.2 B. C.-1 D.-2【答案】B【解析】【分析】由已知及導(dǎo)數(shù)的定義求即可.【詳解】由題設(shè)，.故選：B3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【詳解】．故選：B.4.已知函數(shù)在上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)無(wú)極值的條件，利用判別式解得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)極值,所以在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.5.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【答案】C【解析】【分析】先涂區(qū)域②③④，再討論①與④的顏色是否相同，結(jié)合計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜?，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.6.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問(wèn)題.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，，所以，故選：D．7.若對(duì)任意的，且，都有成立，則的最大值為（）A. B.1 C.e D.【答案】A【解析】【分析】將已知不等式變形為，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的最大值.【詳解】由可得，由,且,所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，所以，令，則,當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；所以，故.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的比較問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問(wèn)題.8.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)圖象的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將已知不等式變形為，可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，可得出，然后分、、三種情況討論，在第一種情況下，直接驗(yàn)證即可；在第二、三種情況下，結(jié)合參變量分離法可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，對(duì)任意的，，即，即，因?yàn)?，故，故，令，其中，則，由可得，由可得，所以，由題意可得恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然該不等式成立，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，；當(dāng)時(shí)，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、多選題：本大題共3題，每題6分，共計(jì)18分.9.已知函數(shù)那么下列說(shuō)法正確的是（）A.，在點(diǎn)處有相同的切線B.函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)C.對(duì)任意恒成立D.，的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)證明切線斜率不同否定即可，對(duì)于B，構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)即可，對(duì)于C，舉反例否定即可，對(duì)于D，先將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，求出確定的零點(diǎn)，并證明其唯一性，再利用零點(diǎn)存在性定理找到另一個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】對(duì)于A，，，，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，令，，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無(wú)極大值，故函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)，故B正確:對(duì)于C，，顯然，故C錯(cuò)誤:對(duì)于D，若，的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則有2個(gè)零點(diǎn)，，結(jié)合，顯然，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，而易知，且在上單調(diào)遞減，故在該區(qū)間上不存在其它零點(diǎn)，而易知上單調(diào)遞增，且，故由零點(diǎn)存在性定理得一定存在作為零點(diǎn)，綜上有2個(gè)零點(diǎn)，也即，的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BD10.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.在處取得極大值B.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C.D.當(dāng)時(shí)，方程有兩解【答案】ACD【解析】【分析】A.利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；B.由A畫出函數(shù)圖象判斷；C.根據(jù)在遞減，結(jié)合判斷；D.由A知：畫出函數(shù)的圖象判斷.【詳解】A.，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，所以在處取得極大值，故正確；B.由A畫出函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)樵谶f減，又，則，而，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞減，又，則，即，即，所以，故正確；D.由A知：函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，方程有兩解，故正確，故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為C.若在上為減函數(shù)，則D.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷A；導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求三角形面積判斷B；問(wèn)題化為在上恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的最小值，即可得參數(shù)范圍判斷C；問(wèn)題化為有唯一解，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性和值域判斷D.【詳解】對(duì)于A，為增函數(shù)，時(shí)趨向負(fù)無(wú)窮，時(shí)趨向正無(wú)窮，所以存在使，故上在上為減函數(shù)，錯(cuò)；對(duì)于B，由題設(shè)，則，且，所以在處的切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，對(duì)；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則在上恒成立，即，令，則，易知時(shí)，時(shí)，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，錯(cuò)；對(duì)于D，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有唯一解，則，令且，則，令，顯然在上為增函數(shù)，，則，使得，易知時(shí)，時(shí)，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以有且只有一個(gè)解時(shí)，，即，對(duì).故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C、D，化為在上恒成立、有唯一解為關(guān)鍵.三、填空題：本大題共3題，每題5分，共計(jì)15分.12.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，且，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：13.設(shè)，函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到的取值范圍.【詳解】∵，∴.當(dāng)時(shí)，由得，，當(dāng)時(shí)，由得，，令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由得，由得，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在畫函數(shù)圖象的過(guò)程中常借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性.14.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)滿足，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由，得，利用，可求得，利用導(dǎo)數(shù)證明在上遞增，等價(jià)于，由單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由，得，，令，，，，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，，在上遞增，，，可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等.四、解答題：本大題共5題，共計(jì)77分.15.已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值點(diǎn)列方程求解即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出單調(diào)性寫出極值和最值即可得出值域【小問(wèn)1詳解】由，得，又當(dāng)時(shí)，有極值－5，所以，解得所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，有極小值．所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134

+0－0+

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域?yàn)椋?6.已知函數(shù)（1）若直線與曲線相切，求a的值；（2）若存在，使得，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)可得a的值.（2）根據(jù)的范圍確定函數(shù)定義域，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用可求a的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】∵，∴．設(shè)切點(diǎn)為，則，即，解得．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由得，∴的定義域?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴．∵存在，使得，∴，結(jié)合，解得．當(dāng)時(shí)，由得，∴的定義域?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴．∵存在，使得，∴，結(jié)合，解得．綜上，的取值范圍為．17.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，列不等式來(lái)求得的取值范圍.（2）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，設(shè)，若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，所以，解得.所以a的取值范圍是.小問(wèn)2詳解】若有兩個(gè)不等實(shí)根，，即不是的根.所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，是的極小值點(diǎn)，且極小值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)的大致圖形，則的取值范圍是，所以的取值范圍是18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；（2）若，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得在區(qū)間上的最小值.（2）先求得的最大值和最小值，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則由，可知的取值范圍為，故原函數(shù)可化為，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞增，因此在時(shí)取到最小值，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，在上取到最小值.【小問(wèn)2詳解】依題意，故當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，總存在，使得，設(shè)在上取值的集合為集合，則有.當(dāng)時(shí)，顯然有在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，由可知，解得當(dāng)