2025屆寧夏銀川市、石嘴山市高三學(xué)科教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)銀川市·石嘴山市2025年普通高中學(xué)科教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效.4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.5．本試卷共5頁(yè)．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)解不等式求集合，再由交運(yùn)算求集合.【詳解】由題設(shè)，則.故選：B2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得到答案.【詳解】.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及已知區(qū)間的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求函數(shù)值，即可得.【詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，故，所以.故選：A4.已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換得，再求出其單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】，令，解得，所以其單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5.已知函數(shù)，若函數(shù)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，得到有三個(gè)根，再分離參數(shù)得到去分析與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，方程必然成立，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得，則與有兩個(gè)交點(diǎn)，若，則，若，則，如圖所示，結(jié)合圖像，要與有兩個(gè)交點(diǎn)，需滿足.故選：C6.如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB，BC，CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D，已知，，則質(zhì)點(diǎn)P位移的大小是（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律，定義，結(jié)合模長(zhǎng)計(jì)算可得.【詳解】由題意可得質(zhì)點(diǎn)P位移為，所以因?yàn)?，，所以，設(shè)的夾角為，所以，因?yàn)樗?，所?故選：D7.已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．若，則（）A. B. C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】令，設(shè)，若，即，聯(lián)立拋物線與直線，并應(yīng)用韋達(dá)定理及已知得，進(jìn)而確定坐標(biāo)，結(jié)合得，即可求弦長(zhǎng).【詳解】令，則，可設(shè)，若，即，聯(lián)立拋物線和直線，可得，則，，而，即，故，，所以，則，可得，故，，所以，則，，由上，聯(lián)立，可得，即，所以，可得，故，所以.故選：B8.現(xiàn)有編號(hào)為A，B，C的三盞燈和三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)單獨(dú)控制一盞燈，每按一次開關(guān)相應(yīng)的燈都按紅、黃、藍(lán)的順序變換一次顏色．假設(shè)三盞燈初始顏色均為紅色，如果三個(gè)開關(guān)總共按90次，則三盞燈的顏色不可能是（）A.紅、紅、紅 B.紅、藍(lán)、黃 C.紅、黃、黃 D.黃、黃、黃【答案】C【解析】【分析】依據(jù)規(guī)律可知，按、、次后燈為黃色、藍(lán)色、紅色，則可計(jì)算共按次數(shù)，通過(guò)判斷其方程是否有正整數(shù)根來(lái)做出選擇.【詳解】由題意可知，按次后燈為黃色，按次后燈為藍(lán)色，按次后燈為紅色，其中，設(shè)分別與A，B，C三盞燈對(duì)應(yīng)，A：若最后為紅、紅、紅，則共按次，即，故A可實(shí)現(xiàn)；B：若最后為紅、藍(lán)、黃，則共按次，即，故B可實(shí)現(xiàn)；C：若最后為紅、黃、黃，則共按次，即，故C不可能實(shí)現(xiàn)；D：若最后為紅、藍(lán)、黃，則共按次，即，故D可實(shí)現(xiàn)；故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圓柱內(nèi)有一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在圓柱的上、下底面圓周上，則（）A.圓柱的軸截面為正方形B.過(guò)正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分C.圓柱的表面積為D.若圓柱的上下底面是一個(gè)球的兩個(gè)平行截面，則該球的體積是【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意求軸截面的邊長(zhǎng)即可；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱性分析判斷；對(duì)于C：求圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)，進(jìn)而可得表面積；對(duì)于D：可知該球的球心為，進(jìn)而求球的半徑和體積.【詳解】如圖所示，對(duì)于正方體和圓柱，正方體的中心為，對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：，所以圓柱的軸截面不為正方形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的中心也為圓柱的中心，根據(jù)對(duì)稱性可知過(guò)正方體中心的平面將圓柱分成體積相等的兩部分，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：可知圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，所以圓柱的表面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：可知該球的球心為，則，即球的半徑為，所以該球的體積是，故D正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的圖象位于直線與之間C.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則曲線在處的切線方程為或D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】代入結(jié)合正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得A正確；由正弦函數(shù)的值域可得B正確；由正弦函數(shù)的極值點(diǎn)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義和點(diǎn)斜式方程可得C正確；舉反例可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由正弦函數(shù)的值域可得，即函數(shù)的圖象位于直線與之間，故B正確；對(duì)于C，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，又，所以，且，所以由點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程為或，故C正確；對(duì)于D，舉反例，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作漸近線的垂線l，垂足為N，l與另一條漸近線交于點(diǎn)M，且M，N都在x軸上方，，點(diǎn)在E上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.雙曲線的離心率C.直線與的斜率之積是2 D.雙曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)I，則【答案】AD【解析】【分析】由題設(shè)，且漸近線為，若垂直于，則，聯(lián)立漸近線求得、，結(jié)合已知得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系判斷A、B；應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式判斷C；設(shè)點(diǎn)P處的切線為并聯(lián)立雙曲線，由求得，即可求得，即可判斷D.【詳解】由題設(shè)，且漸近線為，若垂直于，則，，可得，同理得，由，則，整理得，可得，B錯(cuò)，所以，故漸近線方程為，A對(duì)，在雙曲線上，則，則，所以，則，C錯(cuò)；點(diǎn)P處的切線為，聯(lián)立，得，所以，則，所以，則，故切線為，令，則，故，D對(duì).故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學(xué)舉辦知識(shí)競(jìng)賽，題庫(kù)中共有1000道試題，其中有500道A類題，300道B類題，200道C類題．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某同學(xué)答對(duì)A，B，C三類試題的概率分別為．若該同學(xué)從題庫(kù)中隨機(jī)選一道試題作答，則他答對(duì)的概率是________．【答案】##0.68【解析】【分析】利用全概率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，設(shè)學(xué)生答對(duì)試題為事件，則，，，，，，所以.故答案為：.13.在中，點(diǎn)D在邊BC上，，則________．【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，利用正弦定理可得，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】不妨設(shè)，因，由正弦定理可得，則，即，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象與直線交于A，B兩點(diǎn)，且在處取得極值．設(shè)，若，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】令，研究的奇偶性、單調(diào)性并確定各區(qū)間的函數(shù)值符號(hào)，畫出其大致圖象，根據(jù)與的平移關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象及極值定義求三角形面積.【詳解】令，顯然定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，由，在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，且、上，上，在區(qū)間內(nèi)趨向時(shí)趨向正無(wú)窮，在、內(nèi)趨向時(shí)趨向負(fù)無(wú)窮，顯然在處取得極小值，為，故的大致圖象如下，根據(jù)與的平移關(guān)系，若與的交點(diǎn)，則，極值點(diǎn)，當(dāng)，結(jié)合對(duì)稱性易知，，又，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某制藥廠生產(chǎn)一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標(biāo)準(zhǔn)含量為/片．由于升級(jí)了生產(chǎn)工藝，需檢驗(yàn)采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了生產(chǎn)的10片藥品作為樣本，測(cè)得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．（1）計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差；（2）判斷采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)（若，則認(rèn)為采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分不達(dá)標(biāo)；反之認(rèn)為達(dá)標(biāo)）．【答案】（1），；（2）達(dá)標(biāo).【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可得到答案；（2）計(jì)算兩者的平方值并比較大小即可.【小問(wèn)1詳解】，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，故采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分達(dá)標(biāo)．16.已知數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）等式兩邊同時(shí)除以可得；（2）（ii）由錯(cuò)位相減法求和即可；（ii）構(gòu)造數(shù)列，由不等式組求數(shù)列的最值大即可.【小問(wèn)1詳解】因，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因?yàn)?，所以，令，不妨設(shè)的第項(xiàng)取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.17.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的極值；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，求a的值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究極值即可；（2）先求出在點(diǎn)處的切線，再由導(dǎo)數(shù)幾何意義求的切點(diǎn)，根據(jù)共切線且切點(diǎn)在切線上求參數(shù)值；（3）問(wèn)題化為當(dāng)，時(shí)，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究左側(cè)的單調(diào)性及最值，即可證.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)且，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無(wú)極大值；【小問(wèn)2詳解】由，則，故切線方程為，而，令，則，所以切點(diǎn)為，且在上，所以，可得；【小問(wèn)3詳解】由，問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)，時(shí)，恒成立，令且，則，所以，對(duì)于且，則，所以，，即在上單調(diào)遞增，，，即在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以，故在上單調(diào)遞減，則，綜上，恒成立，結(jié)論得證.18.如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為1和2的正方形，O為底面ABCD的中心，．（1）求證：平面ABCD；（2）設(shè)M為的中點(diǎn)，CM交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q滿足．（i）求直線AP與平面所成角的正弦值；（ⅱ）求平面與平面APQ夾角的余弦值的取值范圍，并說(shuō)明t取何值時(shí)，平面平面APQ．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）；（ⅱ），時(shí)平面平面APQ．【解析】【分析】（1）由題設(shè)得，利用三角形相似及等腰三角形的性質(zhì)得，再應(yīng)用線面垂直的判定即可證；（2）（i）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，并確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值；（ⅱ）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值范圍，進(jìn)而確定面面垂直對(duì)應(yīng)的參數(shù)值即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，顯然，易知為直角三角形，即，連接，又，為公共邊，則，即，由題意為中點(diǎn)，則，由且都在面內(nèi)，則平面ABCD；【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）知平面ABCD，而且，則，即為平行四邊形，故，故面ABCD，且為正方形，可構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，由M為的中點(diǎn)，CM交于點(diǎn)P，設(shè)，由，，則，所以，則，可得，則，而面的一個(gè)法向量為，所以，故直線AP與平面所成角的正弦值；（ⅱ）由，則，故，又，，若是面，即面的一個(gè)法向量，則，取，故，若是面APQ的一個(gè)法向量，則，取，故，所以，由，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)平面平面APQ．19.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切．（1）求橢圓及圓的方程；（2）過(guò)作兩條互相垂直的射線交橢圓于兩點(diǎn)．（i）證明：直線與圓相切；（ii）求面積的取值范圍．【答案】（1）橢圓：，圓：；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及點(diǎn)在橢圓上，求出的值，得到橢圓方程；根據(jù)圓心到切線的距離為半徑，求得圓的方程；（2）分類討論當(dāng)直線的斜率存在和不存在時(shí)