天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查試卷一（解析版）

第1頁/共1頁河西區(qū)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第I卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第I卷1至3頁，第II卷4至8頁．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利!第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件，互斥，那么．·如果事件，相互獨(dú)立，那么．·錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高．一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用并集、補(bǔ)集的定義求解.【詳解】由，得，而，所以.故選：D2.設(shè)，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可判斷.【詳解】若，此時(shí)，但，即，所以“”不是“”的充分條件；若，則，得，所以“”是“”的必要條件；故選：B.3.對(duì)變量，有觀測(cè)數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖；對(duì)變量，有觀測(cè)數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（）A.變量與正相關(guān)，與正相關(guān) B.變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C.變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān) D.變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖點(diǎn)的變化關(guān)系確定正負(fù)相關(guān)性即可.【詳解】由變量，的散點(diǎn)圖，知隨增大，也增大，變量與正相關(guān)，由變量，的散點(diǎn)圖，知隨增大，減小，與負(fù)相關(guān).故選：B4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換底公式即可化簡(jiǎn)；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；利用正弦函數(shù)的值域即可.【詳解】；；，則故選：A5.若、，且，則下列不等式恒成立的是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過舉反例判斷ABD；根據(jù)基本不等式判斷C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；當(dāng)時(shí)，滿足，而，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】利用判斷A；利用判斷C；利用判斷B；利用來判斷D選項(xiàng).【詳解】，則，即故A錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，，則，故B錯(cuò)誤；，，則，故D正確.故選擇：D.7.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，且在上有且僅有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得出，解出的表達(dá)式，由可求出的取值范圍，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，可得出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，則，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有兩個(gè)對(duì)稱中心，則，解得，故，所以，.故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，滿足，且，的面積為，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得，利用三角形面積求出半焦距，再利用直角三角形性質(zhì)，結(jié)合二倍角的正切求出即可得解.【詳解】由，得，而，的面積為，則，，令雙曲線的半焦距為，則，即，直線方程為，，而，則，聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為.故選：A9.如圖，在體積為的正四棱錐中，，，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，記四棱錐的體積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用四點(diǎn)共面中的向量關(guān)系來求解，再利用三棱錐體積變換來求比值，從而解答問題.【詳解】如圖所示，

由四點(diǎn)共面，且四邊形為正方形，可得，由，，設(shè)，可得：，即，根據(jù)四點(diǎn)共面，可得，即，設(shè)，分別是點(diǎn)到平面和點(diǎn)到平面的距離，則，所以，，，同理，，，，則四棱錐與四棱錐的體積比為.故選：B.第II卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故答案為：.11.二項(xiàng)式展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令得，則，其系數(shù)為，故填.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．12.已知拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為5，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則_____．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，最后根據(jù)切線的性質(zhì)，利用勾股定理求值.【詳解】在拋物線中，，則，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得.把代入，得，因?yàn)椋?，?將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，從而圓心為，半徑.故.故答案為：.13.某體育器材商店經(jīng)營三種型號(hào)的組合器械，三種型號(hào)組合器械的優(yōu)質(zhì)率分別為0.9，0.8，0.7，市場(chǎng)占有比例為，某健身中心從該商店任意購買一種型號(hào)的組合器械，則買到的組合器械是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為_____；若該健身中心從三種型號(hào)的組合器械各買一件，則恰好買到兩件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為_____．【答案】①.0.82②.0.398【解析】【分析】依據(jù)題意，分析事件關(guān)系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件與相互獨(dú)立事件求解第二空即可.【詳解】第一空：由全概率公式可得：；第二空：恰好買到兩件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品是“AB優(yōu)C不優(yōu)，AC優(yōu)B不優(yōu)，BC優(yōu)A不優(yōu)”這三個(gè)互斥事件的和，故所求概率為：，故答案為：0.82；0.398.14.如圖所示，四邊形內(nèi)接于圓，，，則_____；設(shè)，且，則四邊形的面積為_____．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）過作垂足為，則，再用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合垂直向量求解即可；（2）在延長線上取點(diǎn)，使，取中點(diǎn)，由已知可得過圓心，求得，進(jìn)而可求得梯形的高與上底，從而可求面積.【詳解】（1）過作垂足為，則，所以；（2）在延長線上取點(diǎn)，使，取中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，由，可得，所以直線MN過圓心，在中，，，所以，，因?yàn)?，所?所以，所以等腰梯形高為，，所以等腰梯形面積為．故答案為：①；②.15.定義函數(shù)，，若至少有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】分析可知，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式或不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，設(shè)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)分別為、且，由韋達(dá)定理可得，則必有，則必為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若使得函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則必有，即，解得，所以，，且當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖中的實(shí)線所示：由圖可知，此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；若，設(shè)函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)分別為、且，由韋達(dá)定理可得，則必有，從而可知，必為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如下圖中的實(shí)線所示，若使得函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得，此時(shí)，.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求角大?。唬?）設(shè)，．（i）求的值；（ii）求的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)求出角.根據(jù)已知條件套用余弦定理求.根據(jù)二倍角，兩角和與差公式代入求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈?；即，得；所以，因?yàn)?；所?【小問2詳解】，則.，則，.所以.17.如圖所示，在幾何體中，底面，，，，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與平面所成角的余弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）求出平面的法向量，利用線面角的向量法求解.（3）由（1）（2）求出平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出的長.【小問1詳解】由底面，，得直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線兩兩垂直分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，顯然是平面的一個(gè)法向量，而，，即，因此平面，又平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（1）知，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由（2）知平面的法向量，由平面與平面所成角的余弦值為，得，解得，所以線段的長為.18.已知橢圓左、右頂點(diǎn)為、，左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由離心率可得，再由弦長求出即可.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出三角形面積的比，再結(jié)合韋達(dá)定理求出的縱坐標(biāo)的比值即可得解.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，得，則，半焦距，又過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為，由，得，于是，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，，由消去得，，，，于是，而，，因此，設(shè)，則，解得，于是，所以與的面積之比的取值范圍是.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，集合中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的公差的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出的表達(dá)式，設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分別利用裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和，即可得出；（3）分析可知，集合中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù)，、進(jìn)行討論，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性質(zhì)可得出解的個(gè)數(shù)，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，該數(shù)列的公差為，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，解得，則.【小問2詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的和為，則.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，可得，上述兩個(gè)等式作差得，整理可得，所以，【小問3詳解】集合中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù)，若，則，與已知矛盾；若，則，與已知矛盾，所以，，又因?yàn)椋?，，即、、、、，共個(gè)解，故.20.已知函數(shù).（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值：（2）求證：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)：（3）設(shè)，若在單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；.（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，將橫坐標(biāo)帶入結(jié)合切線方程的斜率即可求得的值，進(jìn)而可得切點(diǎn)坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可得的值.（2）令，再求得，由導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可得的單調(diào)區(qū)間.由可得的最小值符號(hào)，再由及零點(diǎn)存在定理可判斷在有一個(gè)零點(diǎn)；表示出，并構(gòu)造函數(shù)，由的符號(hào)可得的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知在有一個(gè)零點(diǎn)，從而證明出結(jié)論.（3）由題意可得的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，并求得，再構(gòu)造函數(shù)，并由的符號(hào)可判斷的單調(diào)情況，從而由的最值判斷出的符號(hào)，即可得的單調(diào)情況.對(duì)分類討論，從而由的符號(hào)得符合題意的的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù).則，由條件知，所以，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.把代入，解得.（2）證明：令，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所?又，所以在有一個(gè)零點(diǎn).又，令，則，所以在單調(diào)遞減，故，即，所以在有一個(gè)零點(diǎn).于是可知：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，