大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

演講人：日期：大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)目錄CONTENTS函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分與定積分微分方程初步空間解析幾何與向量代數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)重積分及曲線曲面積分01函數(shù)與極限函數(shù)概念及性質(zhì)函數(shù)定義函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，按照某種規(guī)則，將定義域內(nèi)的每一個(gè)元素映射到值域內(nèi)的唯一元素上。函數(shù)的表示方法函數(shù)可以通過(guò)解析式、圖像、表格、列表等多種方式表示。函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等，這些性質(zhì)有助于對(duì)函數(shù)進(jìn)行更深入的分析和研究。函數(shù)的分類根據(jù)函數(shù)的不同特點(diǎn)，可以將其分為初等函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等。極限定義與性質(zhì)極限的定義極限是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在該點(diǎn)附近取值的近似值。02040301極限的存在性判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否存在極限，通常需要通過(guò)左右極限的比較或者利用極限運(yùn)算法則進(jìn)行求解。極限的性質(zhì)包括唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)等，這些性質(zhì)是求解極限問(wèn)題的基礎(chǔ)。極限的計(jì)算方法包括直接代入法、因式分解法、有理化法、洛必達(dá)法則等，需要根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行選擇和應(yīng)用。無(wú)窮小的定義無(wú)窮小是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)概念，指以數(shù)0為極限的變量，即無(wú)限接近于0的變量。無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)的，它們之間存在倒數(shù)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)量趨于無(wú)窮大時(shí)，其倒數(shù)趨于無(wú)窮小。無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較在比較無(wú)窮小與無(wú)窮大時(shí)，通常通過(guò)比較它們的階數(shù)或者利用極限的方法來(lái)確定它們之間的大小關(guān)系。無(wú)窮大的定義無(wú)窮大是數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念，表示在某種變化過(guò)程中，變量無(wú)限增大或無(wú)限減小的趨勢(shì)。無(wú)窮小與無(wú)窮大比較01020304洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是求解極限的一種有效方法，特別適用于求解“0/0”型或“∞/∞”型的極限問(wèn)題。兩個(gè)重要極限在求解極限的過(guò)程中，有兩個(gè)重要的極限需要牢記，即“e的極限”和“三角函數(shù)極限”，它們經(jīng)常出現(xiàn)在各種極限問(wèn)題中。泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式和麥克勞林公式是求解函數(shù)極限的重要工具，可以將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。極限的四則運(yùn)算法則在極限運(yùn)算中，加法、減法、乘法和除法等四則運(yùn)算具有特定的運(yùn)算法則，需要遵循這些法則進(jìn)行計(jì)算。極限運(yùn)算法則02導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率。導(dǎo)數(shù)定義描述函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映函數(shù)在該點(diǎn)附近的瞬時(shí)變化率。幾何意義分別表示函數(shù)在某點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)的變化率，若兩者相等則函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義010203基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)為其指數(shù)乘以原函數(shù)自變量降一次冪。冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)為原函數(shù)乘以自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零。常數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為原函數(shù)自變量乘以分之一再乘以自然對(duì)數(shù)底數(shù)的倒數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)具有周期性，其導(dǎo)數(shù)可通過(guò)三角恒等式推導(dǎo)得出。三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法則通過(guò)對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)使用鏈?zhǔn)椒▌t，即外層函數(shù)導(dǎo)數(shù)與內(nèi)層函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)分別對(duì)參數(shù)方程中的自變量和因變量求導(dǎo)，得到導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。參數(shù)方程求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)及微分應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)，得到二階、三階等導(dǎo)數(shù)。微分概念函數(shù)在某點(diǎn)的微小變化量，可近似表示為線性部分與非線性部分的和。微分的應(yīng)用用于近似計(jì)算、誤差估計(jì)、函數(shù)的極值與拐點(diǎn)求解等。泰勒公式與麥克勞林公式利用高階導(dǎo)數(shù)信息，對(duì)函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式近似。03微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都不為零，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)?？挛髦兄刀ɡ砦⒎种兄刀ɡ砑捌渥C明洛必達(dá)法則的適用條件當(dāng)極限為“0/0”型或“∞/∞”型時(shí)，可以通過(guò)對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)，再取極限來(lái)確定未定式的值。洛必達(dá)法則的擴(kuò)展對(duì)于其他類型的未定式，如“0*∞”、“∞-∞”等，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為“0/0”型或“∞/∞”型，再應(yīng)用洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則求解極限問(wèn)題通過(guò)求解一階導(dǎo)數(shù)，判斷其符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性的判斷通過(guò)求解一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以及判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)確定函數(shù)的極值點(diǎn)。極值的判斷在閉區(qū)間上，函數(shù)的最值點(diǎn)必然在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取得，通過(guò)比較這些點(diǎn)的函數(shù)值，可以確定函數(shù)的最值。最值的判斷函數(shù)單調(diào)性、極值和最值判斷曲線的凹凸性通過(guò)求解二階導(dǎo)數(shù)，判斷其符號(hào)，從而確定曲線的凹凸性。拐點(diǎn)的判斷拐點(diǎn)是曲線凹凸性的分界點(diǎn)，通過(guò)求解二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以及判斷三階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)確定拐點(diǎn)。漸近線的分析包括水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線，通過(guò)分析函數(shù)的極限行為，來(lái)確定漸近線的位置和性質(zhì)。曲線凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線分析04不定積分與定積分不定積分定義在微積分中，一個(gè)函數(shù)f的不定積分，或原函數(shù)，或反導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于f的函數(shù)F，即F′=f。不定積分概念及性質(zhì)不定積分性質(zhì)線性性，積分常數(shù)，積分區(qū)間的可加性，微積分基本定理等。不定積分應(yīng)用求解函數(shù)的原函數(shù)，計(jì)算定積分，解決物理和工程問(wèn)題等。換元積分法和分部積分法技巧換元積分法通過(guò)變量替換，將復(fù)雜函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)進(jìn)行積分，包括湊微分法和換元法。分部積分法對(duì)于形如∫udv的積分，將其轉(zhuǎn)化為∫vdu-uv的形式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。換元積分法與分部積分法的關(guān)系換元積分法可以看作分部積分法的一種特殊情況，兩者在求解過(guò)程中相互轉(zhuǎn)化。定積分定義、性質(zhì)和計(jì)算方法定積分定義定積分是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限，表示函數(shù)在該區(qū)間上的總體累積效果。定積分性質(zhì)定積分計(jì)算方法線性性，積分區(qū)間可加性，保號(hào)性，積分中值定理等。直接積分法（如積分公式法、湊微分法）、換元積分法、分部積分法以及利用定積分性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算等。廣義積分的應(yīng)用在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中，經(jīng)常遇到無(wú)窮大量或無(wú)限過(guò)程的積分，需要通過(guò)廣義積分進(jìn)行處理。廣義積分定義反常積分又叫廣義積分，是對(duì)普通定積分的推廣，包含無(wú)窮上限/下限或被積函數(shù)含有瑕點(diǎn)的積分。廣義積分收斂性判斷方法比較判別法（與已知收斂或發(fā)散的積分進(jìn)行比較）、積分極限定理（將積分看作數(shù)列極限進(jìn)行判斷）、阿貝爾定理（針對(duì)冪級(jí)數(shù)積分）等。廣義積分收斂性判斷05微分方程初步微分方程基本概念及分類微分方程的定義微分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。微分方程的線性與非線性微分方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均為一次的稱為線性微分方程，否則稱為非線性微分方程。齊次與非齊次方程若微分方程中所有項(xiàng)都含有未知函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)，則稱為齊次方程；否則為非齊次方程。一階常微分方程求解方法分離變量法將方程化為兩個(gè)變量的分離形式，然后分別積分求解。02040301一階線性非齊次方程法利用常數(shù)變易法，找到一階線性非齊次方程的通解。齊次方程法通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將一階非線性齊次方程化為一階線性非齊次方程求解。積分因子法通過(guò)求解積分因子，將一階線性方程化為恰當(dāng)方程，進(jìn)而求解。令高階導(dǎo)數(shù)等于某個(gè)新函數(shù)，從而將高階方程降為一階方程組求解。利用已知解或特解，構(gòu)造高階方程的通解或一般解。通過(guò)恰當(dāng)代換，將高階方程化為低階方程或可積分的方程。線性微分方程組的降階法，包括矩陣法和行列式法等。高階常微分方程降階法線性微分方程通解與特解的關(guān)系通解包含所有特解，特解是通解的一個(gè)特例。線性齊次方程的解的結(jié)構(gòu)線性非齊次方程的解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和求解由基礎(chǔ)解系和系數(shù)構(gòu)成，基礎(chǔ)解系是線性無(wú)關(guān)的解集。由對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和一個(gè)特解構(gòu)成。06空間解析幾何與向量代數(shù)空間直角坐標(biāo)系為了確定空間中任意一點(diǎn)的位置，需要建立空間直角坐標(biāo)系，由三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸組成。向量運(yùn)算包括向量的加減法、數(shù)乘、點(diǎn)積、叉積等運(yùn)算，以及向量的模長(zhǎng)、方向角等概念。坐標(biāo)變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換，以及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。空間直角坐標(biāo)系建立及向量運(yùn)算平面方程和直線方程表示方法平面方程一般式Ax+By+Cz+D=0，法向量為(A,B,C)，可用于判斷點(diǎn)與平面的位置關(guān)系。直線方程一般式(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，表示過(guò)點(diǎn)(x0,y0,z0)且方向向量為(a,b,c)的直線。直線與平面的關(guān)系通過(guò)平面方程和直線方程可以判斷直線與平面的平行、相交等位置關(guān)系。曲面方程描述空間中曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如球面方程、柱面方程等。曲線方程描述空間中曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如空間曲線參數(shù)方程、一般式等。隱函數(shù)與顯函數(shù)曲面方程和曲線方程中可能涉及隱函數(shù)和顯函數(shù)的轉(zhuǎn)換，需要注意相關(guān)求解技巧。方程組的解法對(duì)于復(fù)雜的曲面和曲線方程，可能需要采用方程組的解法進(jìn)行求解。曲面方程和曲線方程描述技巧空間幾何體體積、表面積計(jì)算公式常見(jiàn)幾何體體積公式如長(zhǎng)方體、球體、圓柱體、圓錐體等體積公式。常見(jiàn)幾何體表面積公式如長(zhǎng)方體、球體、圓柱體、圓錐體等表面積公式。等積體原理體積相等的兩個(gè)幾何體，在某些情況下可以通過(guò)等積變換相互轉(zhuǎn)化。比表面積概念對(duì)于某些復(fù)雜幾何體，可能需要通過(guò)比表面積來(lái)近似計(jì)算其表面積或體積。07多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)定義設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過(guò)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)概念、極限和連續(xù)性多元函數(shù)極限設(shè)函數(shù)f:D→R，P0∈D。若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)P∈D且|P-P0|<δ時(shí)，都有|f(P)-f(P0)|<ε，則稱f在P0處極限存在。多元函數(shù)連續(xù)性設(shè)函數(shù)f:D→R，若對(duì)于D中每一點(diǎn)P0，都有l(wèi)im(P→P0)f(P)=f(P0)，則稱f在D上連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)，在點(diǎn)(x,y)處，若極限lim(Δx→0)[f(x+Δx,y)-f(x,y)]/Δx存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。如果函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依賴于Δx,Δy，僅與x、y和Δx、Δy的值有關(guān)，則稱AΔx+BΔy為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。對(duì)于函數(shù)z=f(x,y)，其在某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)對(duì)該點(diǎn)的一個(gè)自變量求導(dǎo)而另一個(gè)自變量保持不變來(lái)得到。全微分的計(jì)算可以通過(guò)求出函數(shù)在各個(gè)自變量處的偏導(dǎo)數(shù)，并將其與自變量的增量相乘，最后求和得到。全微分定義偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算全微分計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算及應(yīng)用01020304首先求出多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，解出駐點(diǎn)。利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，具體可通過(guò)判斷二階偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)或利用Hessian矩陣進(jìn)行。對(duì)于無(wú)法直接判斷極值的點(diǎn)，可以通過(guò)比較函數(shù)在定義域內(nèi)其他點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)確定其是否為極值。除了駐點(diǎn)外，還需要考察定義域的邊界點(diǎn)，以確定全局極值。多元函數(shù)極值問(wèn)題求解策略尋找駐點(diǎn)判斷極值比較函數(shù)值邊界點(diǎn)考察方向?qū)?shù)定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處可微分，l為過(guò)P0的任意一條直線，則函數(shù)f在l上的方向?qū)?shù)表示為?f/?l，它反映了函數(shù)在l方向上的變化率。梯度計(jì)算對(duì)于函數(shù)f(x,y)，其梯度gradf可通過(guò)求解其偏導(dǎo)數(shù)并組合成向量得到。梯度定義梯度是一個(gè)向量，其方向與函數(shù)在該點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向一致，其大小為該方向上的方向?qū)?shù)的最大值。梯度應(yīng)用梯度在多元函數(shù)優(yōu)化、求解極值以及方向性問(wèn)題的解決中具有重要意義。方向?qū)?shù)與梯度概念引入08重積分及曲線曲面積分極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算，適用于被積函數(shù)或積分區(qū)域在極坐標(biāo)下表示更簡(jiǎn)便的情況。選擇合適的積分順序根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，選擇合適的積分順序，有時(shí)可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算根據(jù)被積函數(shù)或積分區(qū)域的對(duì)稱性，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，如對(duì)稱區(qū)間上的奇函數(shù)積分為零等。直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法將二重積分化為累次積分，利用定積分的方法進(jìn)行計(jì)算，或根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征選用合適的坐標(biāo)系。二重積分計(jì)算方法和技巧利用三重積分的定義進(jìn)行計(jì)算將三重積分視為空間中的體積，通過(guò)分割、近似、求和、取極限等步驟進(jìn)行計(jì)算。投影法將三重積分投影到某一平面上，轉(zhuǎn)化為二重積分進(jìn)行計(jì)算，適用于被積函數(shù)在某個(gè)變量上易于積分的情況。截面法通過(guò)求解三維空間中某一截面上的二重積分，再通過(guò)積分求解整