2025版數(shù)學(xué)中考《二輪總復(fù)習(xí)微專題學(xué)案》二輪講義28 圓的基本性質(zhì)含答案或解析

微專題28圓的基本性質(zhì)考點(diǎn)精講構(gòu)建知識(shí)體系考點(diǎn)梳理1.圓的基本概念及性質(zhì)圓在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦直徑經(jīng)過(guò)①的弦叫做直徑弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓??；小于半圓的弧叫做劣弧圓周角在圓中，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角圓心角頂點(diǎn)在②并且兩邊都與圓相交的角叫做圓心角弦心距圓心到弦的垂直距離與圓有關(guān)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，③是它的對(duì)稱中心(2)旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合3.垂徑定理及其推論(1)定理：垂直于弦的直徑④弦，并且⑤弦所對(duì)的兩條弧(2022年版課標(biāo)將探索并證明垂徑定理調(diào)整為考查內(nèi)容)(2)推論：平分弦(不是直徑)的直徑⑥于弦，并且⑦弦所對(duì)的兩條弧4.弦、弧、圓心角之間的關(guān)系(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的?、?，所對(duì)的弦⑨(2)推論：①在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角⑩，所對(duì)的弦?②在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角?，所對(duì)的優(yōu)弧與劣弧分別?5.圓周角定理及其推論(6年6考)定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的?推論(1)同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角?；(2)直徑(或半圓)所對(duì)的圓周角是?，90°的圓周角所對(duì)的弦是?常見(jiàn)圖形及結(jié)論圖①圖②圖③∠APB＝12∠應(yīng)用如圖①，已知AP是☉O的直徑，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)(不與A，P重合)，連接AB，則有∠ABP＝90°6.三角形的外接圓圖示外心三角形外接圓圓心或三角形?的交點(diǎn)叫做外心性質(zhì)三角形的外心到三角形的?的距離相等角度關(guān)系∠BOC＝?∠A7.圓的內(nèi)接四邊形概念四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角?，如圖，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°；(2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，如圖，∠DCE＝?練考點(diǎn)1.下列結(jié)論正確的是()A.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B.半圓是弧C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.弧是半圓2.如圖，已知AB是☉O的直徑，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足為E，連接OC.(1)若AB＝10，CD＝8，則cos∠OCE＝；(2)若CD＝4，AE＝6，則☉O的半徑為；(3)若☉O的半徑為7，P是CD上一點(diǎn)，且PC＝4，PD＝6，則OP＝.第2題圖3.如圖，在☉O中，AB和CD是兩條弦，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F.對(duì)于下列命題：第3題圖①如果OE＝OF，那么∠AOB＝∠COD；②如果AB＝CD，那么OE＝OF；③如果OE＝OF，那么AB＝CD；④如果OE＝OF，那么OB＝CD，其中真命題是.4.如圖，若AB是☉O的直徑，點(diǎn)C在☉O上(不與A，B重合)，則∠ACB的度數(shù)為.第4題圖5.如圖，四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝100°，則∠BAD＝，∠BCD＝.第5題圖高頻考點(diǎn)考點(diǎn)1圓基本性質(zhì)的相關(guān)證明及計(jì)算(6年6考)例1(2022廣東22題改編)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AC為☉O的直徑，∠ADB＝∠CDB.例1題圖①(1)核心設(shè)問(wèn)試判斷△ABC的形狀，并給出證明；[2022廣東22(1)題考查](2)核心設(shè)問(wèn)若AB＝2，AD＝1，求CD的長(zhǎng)度；[2022廣東22(2)題考查](3)核心設(shè)問(wèn)如圖②，連接DO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G，若∠ADB＝2∠BDG，求證：AB∥DG；[2018廣東24(1)題考查]例1題圖②(4)如圖③，BD交AC于點(diǎn)H，且AH＝OH，求sin∠ACD的值.例1題圖③考點(diǎn)2圓內(nèi)接四邊形例2(2024珠海香洲區(qū)二模)如圖，已知四邊形ABCD，過(guò)點(diǎn)A，B，C的圓交AD于點(diǎn)E，連接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，則∠DCE的度數(shù)為()A.10° B.30° C.50° D.60°例2題圖變式1(2024吉林省卷)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交CD于點(diǎn)E.若∠BEC＝50°，則∠ABC的度數(shù)是()變式1題圖A.50° B.100° C.130° D.150°真題及變式命題點(diǎn)與圓周角定理及其推論有關(guān)的計(jì)算(6年6考) 1.(2023廣東9題3分)如圖，AB是☉O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝()A.20° B.40° C.50° D.80°第1題圖1.1變思維方式——融入中點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在☉O上，連接AB，AD，CD，CA，∠BAD＝90°，∠ADC＝59°，若點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，則∠BAC的度數(shù)為()變式1.1題圖31°B.28°C.14°D.4°2.(2021廣東7題3分)如圖，AB是☉O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則☉O的直徑為()第2題圖A.3 B.23 C.1 D.22.1變條件——與內(nèi)接四邊形結(jié)合如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，則AC的長(zhǎng)為()變式2.1題圖5B.35C.27D.7＋2拓展訓(xùn)練3.(2024長(zhǎng)沙)如圖，在☉O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE＝4，則☉O的半徑長(zhǎng)為()A.4 B.42 C.5 D.52第3題圖新考法4.[真實(shí)問(wèn)題情境](2024涼山州)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測(cè)出AB＝40cm，CD＝10cm，則圓形工件的半徑為()第4題圖A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm5.[數(shù)學(xué)文化](2024珠海香洲區(qū)二模)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，書(shū)中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為：“如圖，CD為☉O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長(zhǎng).”則CD＝寸.第5題圖

考點(diǎn)精講①圓心②圓心③圓心④平分⑤平分⑥垂直⑦平分⑧相等⑨相等⑩相等?相等?相等?相等?一半?相等?90°?直徑?三條垂直平分線?三個(gè)頂點(diǎn)?2?互補(bǔ)?∠BAD練考點(diǎn)1.B2.(1)45；(2)1033.①②③4.90°5.50°，130°高頻考點(diǎn)例1(1)解：△ABC為等腰直角三角形.證明：∵AC為☉O的直徑，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∵AB＝AB，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形；(2)解：由(1)知△ABC為等腰直角三角形，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝2，又∵在Rt△ACD中，AD＝1，∴CD＝AC2－AD(3)證明：∵∠ADB＝∠CDB＝2∠BDG，∴∠BDG＝∠CDG，∴BG＝CG，由題意知DG為☉O的直徑，∴DG⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DG；(4)解：如解圖，連接OB，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥AB，交AB于點(diǎn)K，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，AB＝CB，OB⊥AC，設(shè)AB＝CB＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝(2x)2∴OA＝OB＝x，∵AH＝OH，∴AH＝OH＝12OA＝12∴HK＝AH·sin45°＝24x在Rt△OBH中，由勾股定理得BH＝(12x)∵∠ACD＝∠ABD，∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝HKBH＝24x例1題解圖例2B【解析】∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CED＝∠B＝70°，∵∠D＝80°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝30°.變式1C【解析】∵BE∥AD，∠BEC＝50°，∴∠D＝∠BEC＝50°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，∴∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＝180°－50°＝130°.真題及變式1.B【解析】∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵AC＝AC，∴∠D＝∠B＝40°.變式1.1C【解析】如解圖，連接BD，∵點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，∴AB＝AD，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝12(180°－∠BAD)＝45°.∵∠ADC＝59°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝14°，∵BC＝BC，∴∠BAC＝∠BDC＝14變式1.1題解圖2.B【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB是☉O的直徑，∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3－1＝2，在Rt△ADE中，∵DE＝12AD，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CAB＝30°，∴AD＝BD，∴點(diǎn)O與點(diǎn)E重合，∴OA＝AD2－OD2＝3，∴AB第2題解圖變式2.1C【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥DE，∴DE＝AD·cos60°＝1，AE＝AD·sin60°＝3，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝AE2＋CE2變式2.1題解圖3.B【解析】∵圓心O到AB的距離OE＝4，∴OE⊥AB，∴AE＝12AB＝4，∴在Rt△OAE中，OA＝AE2＋4.C【解析】如解圖，在CD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)O，設(shè)點(diǎn)O為圓心，連接OA，則△OAD為直角