《備考指南 文科數(shù)學(xué)》課件-第1章 第2講

集合與常用邏輯用語(yǔ)第一章第2講命題及其關(guān)系，充分條件與必要條件【考綱導(dǎo)學(xué)】1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系．3．理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系：(2)四種命題的真假關(guān)系：①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有__________的真假性．②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性________________．相同沒(méi)有關(guān)系充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要1．(教材習(xí)題改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是(

)A．“若x<y，則x2<y2” B．“若x≤y，則x2≤y2”C．“若x>y，則x2>y2” D．“若x≥y，則x2≥y2”【答案】B

【解析】根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．2．已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線．在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．2C．3 D．4【答案】B

【解析】向量a，b共線?x－x(x＋2)＝0?x＝0或x＝－1，所以命題p為真，其逆命題為假，故其否命題為假，其逆否命題為真．故選B．3．(2018年天津)設(shè)x∈R，則“x3＞8”是“|x|＞2”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A

【解析】由x3＞8，得x＞2，則|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜－2或x＞2，則x3＜－8或x3＞8.故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要條件．故選A．4．(2018年北京)設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B

【解析】若a，b，c，d成等比數(shù)列，則ad＝bc，反之?dāng)?shù)列－1，－1,1,1滿足－1×1＝－1×1，但數(shù)列－1，－1,1,1不是等比數(shù)列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要不充分條件．故選B．5．(教材習(xí)題改編)下列命題：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分條件；②“圓心到直線的距離等于半徑”是“這條直線為圓的切線”的充要條件；③“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要條件；④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件．其中為真命題的是________________________(填序號(hào))．【答案】②④1．易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論，不否定命題的條件．2．易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)“x2＋2x－8＜0”是命題．(

)(2)四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)為0或2或4.(

)(3)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是180°”．(

)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(

)(5)給定兩個(gè)命題p，q，若p是q的充分不必要條件，則?p是?q的必要不充分條件．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√課堂考點(diǎn)突破2四種命題及其相互關(guān)系

(1)命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(

)A．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”，為真命題B．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”，為真命題C．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”，為假命題D．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”，為假命題(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(

)A．真、假、真 B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命題為假命題，所以其逆否命題也是假命題．(2)由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，|z1|＝|z2|，所以原命題為真，因此其逆否命題為真；取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)，所以其逆命題為假，故其否命題也為假．【規(guī)律方法】(1)由原命題寫(xiě)出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，如果命題不是“若p，則q”的形式，應(yīng)先改寫(xiě)成“若p，則q”的形式；如果命題有大前提，寫(xiě)其他三種命題時(shí)需保留大前提不變．(2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題為假命題，只需舉出反例．(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假．【跟蹤訓(xùn)練】1.(1)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(

)A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”(2)已知命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是(

)A．否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題B．逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)”，是假命題C．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)”，是真命題D．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)不是增函數(shù)”，是真命題【答案】(1)B

(2)D【解析】(1)將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題，故原命題的逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”．(2)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，所以m≤1，即已知命題是真命題．所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內(nèi)不是增函數(shù)”是真命題．充分必要條件的判定

(1)已知α，β為第一象限的兩個(gè)角，則“α＞β”是“sinα＞sinβ”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)“a＝2”是“函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上為增函數(shù)”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】(1)D

(2)A【規(guī)律方法】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷．(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件．【跟蹤訓(xùn)練】2．(1)(2018年黃岡模擬)若向量a＝(m,0)，b＝(0，m－2)，則“m＝2”是“a∥b”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】(1)A

(2)C根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍

(1)(2018年濟(jì)南一模)若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b，b∈R}，則A?B的一個(gè)充分不必要條件是(

)A．b≥2 B．1＜b≤2C．b≤1 D．b＜1【答案】(1)D

(2)A【規(guī)律方法】充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上．解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．課后感悟提升31個(gè)區(qū)別——“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區(qū)別“A是B的充分不必要條件”中，A是條件，B是結(jié)論；“A的充分不必要條件是B”中，B是條件，A是結(jié)論．在進(jìn)行充分、必要條件的判斷中，要注意這兩種說(shuō)法的區(qū)別．2條規(guī)律——四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假．(2)當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假．同時(shí)要關(guān)注“特例法”的應(yīng)用．3種方法——判斷充分條件和必要條件的方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假，并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．(2)等價(jià)法：利用p?q與?q??p，q?p與?p??q，p?q與?q??p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(3)集合法：如果A?B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果A＝B，則A是B的充要條件．【答案】A

2．(2018年浙江)已知平面α，直線m，n滿足